Как найти биссектрису угла треугольника (3 видео)

Вычисление биссектрисы треугольника с известными свойствами

Математика, как известно, царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

Свойства
Свойства в равнобедренных треугольниках
Определение биссектрисы треугольника
Определение длины
Нахождение величины угла

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

Содержание

Свойства
Свойства в равнобедренных треугольниках
Определение биссектрисы треугольника
Определение длины
Нахождение величины угла
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
Определение биссектрисы угла треугольника
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Пример задачи
Длина биссектрисы треугольника
🔥 Видео

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Свойства

Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса медиана, а также высота его угла.
Разумеется, что будет верным и обратное свойство. То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.
Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
BD/3 = 5/4.
Значит, BD = 3,75.
ABxAC = 54=20.
CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Это интересно: в чем выражается эволюционный характер развития общества?

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Дано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

По свойству биссектрисы треугольника:

Согласно утверждению 1,

Что и требовалось доказать.

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле