Как найти апофему в треугольнике (8 видео)

Апофема пирамиды. Формулы для апофемы правильной треугольной пирамиды

Пирамида — это пространственный полиэдр, или многогранник, который встречается в геометрических задачах. Основными свойствами этой фигуры являются ее объем и площадь поверхности, которые вычисляются из знания любых двух ее линейных характеристик. Одной из таких характеристик является апофема пирамиды. О ней пойдет речь в статье.

Содержание

Фигура пирамида
Апофема правильной пирамиды
Треугольная пирамида и формулы для определения ее апофемы
Задача на вычисление апофемы
Апофема правильной пирамиды, формула
Апофема правильной пирамиды выводится из следующих формул
Апофема правильной треугольной пирамиды: формула и пример задачи
Какая фигура будет рассмотрена?
Формула апофемы пирамиды правильной треугольной
Решение задачи на определение значения hb
🌟 Видео

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Фигура пирамида

Прежде чем приводить определение апофемы пирамиды, познакомимся с самой фигурой. Пирамида представляет собой многогранник, который образован одним n-угольным основанием и n треугольниками, составляющими боковую поверхность фигуры.

Всякая пирамида имеет вершину — точку соединения всех треугольников. Перпендикуляр, проведенный из этой вершины к основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре основание, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая равностороннее основание, называется правильной. На рисунке показана пирамида с шестиугольным основанием, на которую смотрят со стороны грани и ребра.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Апофема правильной пирамиды

Ее также называют апотемой. Под ней понимают перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к стороне основания фигуры. По своему определению этот перпендикуляр соответствует высоте треугольника, который образует боковую грань пирамиды.

Поскольку мы рассматриваем пирамиду правильную с n-угольным основанием, то все n апофем для нее будут одинаковыми, поскольку таковыми являются равнобедренные треугольники боковой поверхности фигуры. Заметим, что одинаковые апофемы являются свойством правильной пирамиды. Для фигуры общего типа (наклонной с неправильным n-угольником) все n апофем будут разными.

Еще одним свойством апофемы пирамиды правильной является то, что она одновременно является высотой, медианой и биссектрисой соответствующего треугольника. Это означает, что она делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Видео:Нахождение апофемы пирамидыСкачать

Треугольная пирамида и формулы для определения ее апофемы

В любой правильной пирамиде важными линейными характеристиками являются длина стороны ее основания, ребро боковое b, высота h и апофема h_b. Эти величины друг с другом связаны соответствующими формулами, которые можно получить, если начертить пирамиду и рассмотреть необходимые прямоугольные треугольники.

Правильная треугольная пирамида состоит из 4 треугольных граней, причем одна из них (основание) должна быть обязательно равносторонней. Остальные являются равнобедренными в общем случае. Апофему треугольной пирамиды можно определить через другие величины по следующим формулам:

Первое из этих выражений справедливо для пирамиды с любым правильным основанием. Второе выражение характерно исключительно для треугольной пирамиды. Оно показывает, что апофема всегда больше высоты фигуры.

Не следует путать апофему пирамиды с таковой для многогранника. В последнем случае апофемой называется перпендикулярный отрезок, проведенный к стороне многогранника из его центра. Например, апофема равностороннего треугольника равна √3/6*a.

Видео:Усеченная пирамида. 11 класс.Скачать

Задача на вычисление апофемы

Пусть дана правильная пирамида с треугольником в основании. Необходимо вычислить ее апофему, если известно, что площадь этого треугольника равна 34 см 2 , а сама пирамида состоит из 4 одинаковых граней.

В соответствии с условием задачи мы имеем дело с тетраэдром, состоящим из равносторонних треугольников. Формула для площади одной грани имеет вид:

Откуда получаем длину стороны a:

Для определения апофемы h_b воспользуемся формулой, содержащей боковое ребро b. В рассматриваемом случае его длина равна длине основания, имеем:

Подставляя значение a через S, получим конечную формулу:

Мы получили простую формулу, в которой апофема пирамиды зависит только от площади ее основания. Если подставить значение S из условия задачи, то получим ответ: h_b ≈ 7,674 см.

Видео:Правильная треугольная пирамида.Скачать

Апофема правильной пирамиды, формула

Апофема правильной пирамиды находится по формуле

f — апофема правильной пирамиды (SF)
n — число сторон правильного многоугольника — основания правильной пирамиды
a — сторона правильного многоугольника (AB или BC или CD или DE или EA) — основания правильной пирамиды
h — высота правильной пирамиды (OS)

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Апофема правильной пирамиды выводится из следующих формул

Синим цветом на рисунке изображена вписанная в основание правильной пирамиды окружность. Треугольник SFO прямоугольный. Его стороны: OS — высота правильной пирамиды ( h), OF — радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (основание правильной пирамиды ( r)), SF — апофема правильной пирамиды ( f). По теореме Пифагора

подставив сюда только радиус вписанной окружности получается формула (1).

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Апофема правильной треугольной пирамиды: формула и пример задачи

При изучении характеристик пространственных фигур в курсе стереометрии большое внимание уделяется таким свойствам, как площадь и объем. В то же время знать линейные параметры фигур важно, чтобы иметь возможность рассчитать указанные свойства. В данной статье ответим на вопрос, как найти апофему пирамиды правильной треугольной.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Какая фигура будет рассмотрена?

Треугольная пирамида с правильным основанием представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним треугольником (основание) и тремя равнобедренными треугольниками (боковые стороны). Чтобы иметь возможность более четко представить эту пирамиду, покажем ее на рисунке.

Вам будет интересно: Зазноба — это . Значение слова

Важной точкой любой пирамиды является ее вершина, которая не принадлежит основанию. Если опустить перпендикуляр из нее на основание, то его длина будет высотой фигуры. В дальнейшем будем обозначать высоту буквой h. Высота правильной пирамиды падает точно в геометрический центр треугольника (точка пересечения его медиан, а также биссектрис и высот). Вторым линейным параметром, который следует знать, является длина стороны основания треугольной пирамиды, то есть длина стороны равностороннего треугольника. Обозначим ее буквой a.

Треугольная пирамида имеет собственное название — тетраэдр. Тетраэдр не является чисто теоретической геометрической фигурой. Она также встречается в некоторых природных структурах. Так, в алмазе атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами, которые образуют тетраэдр. Другой пример — это молекула метана, в которой углерод, соединенный с четырьмя атомами водорода, образует правильную треугольную пирамиду.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Формула апофемы пирамиды правильной треугольной

Перейдем непосредственно к вопросу статьи. Для треугольной пирамиды правильной апофемой называется любая из высот боковых треугольников, опущенная из вершины фигуры. Обозначим ее hb. Поскольку рассматриваемая фигура состоит из трех боковых треугольников, которые равны друг другу, то она имеет три одинаковых апофемы hb.

Определение длины апофемы не составляет большого труда. Предположим, что высота h и длина стороны a известны. Проводим высоту фигуры и рассматриваем треугольник прямоугольный, который находится внутри пирамиды и образован следующими сторонами:

апофемой hb (гипотенуза);
высотой h (один катет);
1/3 медианы m равностороннего треугольника (второй катет).

Длина медианы m треугольника в основании равна:

Пользуясь теоремой Пифагора, получаем формулу для длины апофемы hb:

Эта формула показывает, что длина апофемы hb для любых параметров треугольной пирамиды всегда больше ее высоты h.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Решение задачи на определение значения hb

Решим интересную задачу. Рассчитаем длину апофемы для тетраэдра, у которого все ребра равны друг другу.

Обозначим длину ребра буквой a. Она же является стороной треугольника в основании. Чтобы определить hb, необходимо найти h. Сделать это не сложно, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, ребром a и двумя третями медианы m. Получаем:

h = √(a2 — 4/9*m2) = √(a2 — 4/9*3/4*a2) = a*√(2/3)

Теперь применяем формулу для апофемы, получаем:

hb = √(a2/12 + h2) = √(a2/12 + 2/3*a2) = √3/2*a

Мы получили очевидный результат. Апофема правильной пирамиды треугольной равна длине медианы любого из равносторонних треугольников.