Как находить общие точки окружности и прямой

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Как находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямой

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Как находить общие точки окружности и прямой

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.Как находить общие точки окружности и прямой

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Как находить общие точки окружности и прямой

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.Как находить общие точки окружности и прямой

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений

Как находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямой

Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим

Как находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямой

Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим

Как находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой Как находить общие точки окружности и прямойи Как находить общие точки окружности и прямойКак находить общие точки окружности и прямой.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как находить общие точки окружности и прямойОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как находить общие точки окружности и прямойСвойства хорд и дуг окружности
Как находить общие точки окружности и прямойТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как находить общие точки окружности и прямойДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как находить общие точки окружности и прямойТеорема о бабочке

Как находить общие точки окружности и прямой

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак находить общие точки окружности и прямой
КругКак находить общие точки окружности и прямой
РадиусКак находить общие точки окружности и прямой
ХордаКак находить общие точки окружности и прямой
ДиаметрКак находить общие точки окружности и прямой
КасательнаяКак находить общие точки окружности и прямой
СекущаяКак находить общие точки окружности и прямой
Окружность
Как находить общие точки окружности и прямой

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак находить общие точки окружности и прямой

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак находить общие точки окружности и прямой

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак находить общие точки окружности и прямой

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак находить общие точки окружности и прямой

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак находить общие точки окружности и прямой

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак находить общие точки окружности и прямой

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак находить общие точки окружности и прямойДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак находить общие точки окружности и прямойЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак находить общие точки окружности и прямойБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак находить общие точки окружности и прямойУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак находить общие точки окружности и прямойДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как находить общие точки окружности и прямой

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак находить общие точки окружности и прямой

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак находить общие точки окружности и прямой

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак находить общие точки окружности и прямой

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак находить общие точки окружности и прямой

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак находить общие точки окружности и прямой

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак находить общие точки окружности и прямой

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Определение точки пересечения окружности с прямой

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как находить общие точки окружности и прямой

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак находить общие точки окружности и прямой
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак находить общие точки окружности и прямой
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак находить общие точки окружности и прямой
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак находить общие точки окружности и прямой

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как находить общие точки окружности и прямой

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Пересекающиеся хорды
Как находить общие точки окружности и прямой
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как находить общие точки окружности и прямой
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как находить общие точки окружности и прямой
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как находить общие точки окружности и прямой
Пересекающиеся хорды
Как находить общие точки окружности и прямой

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как находить общие точки окружности и прямой

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Тогда справедливо равенство

Как находить общие точки окружности и прямой

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как находить общие точки окружности и прямой

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как находить общие точки окружности и прямой

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как находить общие точки окружности и прямой

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как находить общие точки окружности и прямой

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как находить общие точки окружности и прямой

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Как находить общие точки окружности и прямой

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как находить общие точки окружности и прямой

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📺 Видео

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 класс

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Точки на числовой окружностиСкачать

Точки на числовой окружности

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: