Как доказать что это диаметр окружности

Радиус и диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

Как доказать что это диаметр окружности

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как доказать что это диаметр окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как доказать что это диаметр окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Как доказать что это диаметр окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что это диаметр окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что это диаметр окружностиТеорема о бабочке

Как доказать что это диаметр окружности

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак доказать что это диаметр окружности
КругКак доказать что это диаметр окружности
РадиусКак доказать что это диаметр окружности
ХордаКак доказать что это диаметр окружности
ДиаметрКак доказать что это диаметр окружности
КасательнаяКак доказать что это диаметр окружности
СекущаяКак доказать что это диаметр окружности
Окружность
Как доказать что это диаметр окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак доказать что это диаметр окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак доказать что это диаметр окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак доказать что это диаметр окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак доказать что это диаметр окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак доказать что это диаметр окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак доказать что это диаметр окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак доказать что это диаметр окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак доказать что это диаметр окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак доказать что это диаметр окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак доказать что это диаметр окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак доказать что это диаметр окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как доказать что это диаметр окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак доказать что это диаметр окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак доказать что это диаметр окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак доказать что это диаметр окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак доказать что это диаметр окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак доказать что это диаметр окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак доказать что это диаметр окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что это диаметр окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак доказать что это диаметр окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что это диаметр окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что это диаметр окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак доказать что это диаметр окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что это диаметр окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Пересекающиеся хорды
Как доказать что это диаметр окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что это диаметр окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что это диаметр окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как доказать что это диаметр окружности
Пересекающиеся хорды
Как доказать что это диаметр окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что это диаметр окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Тогда справедливо равенство

Как доказать что это диаметр окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как доказать что это диаметр окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что это диаметр окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как доказать что это диаметр окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что это диаметр окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как доказать что это диаметр окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как доказать что это диаметр окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Как найти диаметр окружности

Как доказать что это диаметр окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости.

Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности, а также сама окружность.

Если говорить проще, окружность — это замкнутая линия, как, например, обруч и велосипедное колесо. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, как блинчик или вырезанный из картона кружок.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Как узнать диаметр. Формулы

В данной теме нам предстоит узнать три формулы:

1. Общая формула.

Исходя из основных определений нам известно, что значение диаметра равно двум радиусам: D = 2 × R, где D — диаметр, R — радиус.

2. Если перед нами стоит задача найти диаметр по длине окружности

D = C : π, где C — длина окружности, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Чтобы получить правильный ответ, можно поделить столбиком или использовать онлайн-калькулятор.

3. Если есть чертеж окружности

  • Начертить внутри круга прямую горизонтальную линию. Ее месторасположение не играет значительной роли.
  • Отметить точки пересечения прямой и окружности.
  • Начертить при помощи циркуля две окружности одного радиуса (больше, чем радиус первоначальной окружности), первую — с центром в точке A, вторую — с центром в точке B.
  • Провести прямую через две точки, в которых произошло пересечение. Отметить точки пересечения полученной прямой с окружностью. Диаметр равен этому отрезку.
  • Теперь осталось измерить диаметр круга при помощи линейки. Получилось!

Эти простые формулы могут пригодиться не только на школьных уроках, но и если вы решите освоить профессию дизайнера интерьера, архитектора или модельера одежды.

🎥 Видео

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.Скачать

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Свойство диаметра окружности. 7 класс.

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)
Поделиться или сохранить к себе: