К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Задача 11238 К окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Условие

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

a)По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
MF=ME;
NE=NG
Р(Δ АМN)=AM+MN+AN=AM+ME+EN+AN=AM+MF+NG+AN=AF+NG=
=(1/2)AB+(1/2)AD=AB=AD
б)Пусть радиус окружности равен R, тогда сторона квадрата равна 2R.
АМ=2R/3; BM=4R/3
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
ТЕ=ТQ;
МЕ=МF=(4R/3)-R=R/3
Пусть ТЕ=ТQ=x
Тогда ТВ=х-R; ТМ=х-(R/3).
По теореме Пифагора из треугольника ТВМ:
ТВ^2+ВМ^2=TM^2
(x-R)^2+(4R/3)^2=(x-(R/3))^2
24R^2/9=4Rx/3
x=2R
ТЕ=ТQ=2R
Из треугольника ТВМ
tg∠ BTM=BM/TB=4R/3/R=4/3
Из треугольника ТСР
СР=ТС*tg∠ BTM=4R

Δ РКС подобен ΔPOL
KC:OL=CP:LP
KC=R*4R/3R=4R/3
ТК=ТС-КС=3R-(4R/3)=5R/3
BK=TK-TB=(5R/3)-R=2R/3
BK:KC=2R/3:(4R/3)=1:2
О т в е т. 1:2

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Ответ: б) 1:3

3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
Ответ: б) 18√3

4. В треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1, H— лежат на одной окружности.
б) Найдите A1 H, если BC = 2√3.

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Ответ: б) √10

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
Ответ: б) 1:4

7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23.
Ответ: б) 115/6

8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Ответ: б) 2,88

12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC =OBC+OCB.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°.

13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый.
а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C 1 , B 1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB 1 C 1 .
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B 1 C 1 =6 и площадь треугольника AB 1 C 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB 1 C 1 .

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны
б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ: б) 0,65

18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30.
Ответ: б) 3:4

19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 .

б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60.
Ответ: б) 5:2

20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.
Ответ: б) 3

21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что CK*CE = AB*CD.
б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15.
Ответ: б) 2:1

22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25.
Ответ: б) 25:36

23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Ответ: б) 5:4

24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB.

25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7.

28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Видео:ЕГЭ по математике. Задание №16 #11Скачать

ЕГЭ по математике. Задание №16 #11

В квадрат вписана окружность проведена касательная

Видео:11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

В квадрат вписана окружность проведена касательная

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках М и Р соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

Б) Прямая МР пересекает прямую CD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

PS=PZ, NM=MZ. Следовательно по свойств касательных к окружности из одной точки MP=MZ+PZ=MN+PS

Б) [math]bigtriangleup ONE=bigtriangleup OLK[/math] ( по катету и острому углу): ON=OL как радиус окружности, [math]angle LOK=angle NOE[/math]

Следовательно, KP=BE (т.к. KP=LK-LD и BE=NE-NB, LK=NE, NB=LD

[math]bigtriangleup PAMsimbigtriangleup PDK[/math] (по двум углам) [math]angle DPK=angle APM[/math] как вертикальные , [math]angle A=angle D=90^circRightarrowfrac =frac =frac [/math]

AM+MB=AB? MB=3AM. Следовательно 4AM=AB. Значит AM=1/4*AB

Видео:ОГЭ без рекламы математика 2021 задача 25 5 и 6 вариантыСкачать

ОГЭ без рекламы  математика 2021 задача 25 5 и 6 варианты

Задача 11238 К окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Условие

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

a)По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
MF=ME;
NE=NG
Р(Δ АМN)=AM+MN+AN=AM+ME+EN+AN=AM+MF+NG+AN=AF+NG=
=(1/2)AB+(1/2)AD=AB=AD
б)Пусть радиус окружности равен R, тогда сторона квадрата равна 2R.
АМ=2R/3; BM=4R/3
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
ТЕ=ТQ;
МЕ=МF=(4R/3)-R=R/3
Пусть ТЕ=ТQ=x
Тогда ТВ=х-R; ТМ=х-(R/3).
По теореме Пифагора из треугольника ТВМ:
ТВ^2+ВМ^2=TM^2
(x-R)^2+(4R/3)^2=(x-(R/3))^2
24R^2/9=4Rx/3
x=2R
ТЕ=ТQ=2R
Из треугольника ТВМ
tg∠ BTM=BM/TB=4R/3/R=4/3
Из треугольника ТСР
СР=ТС*tg∠ BTM=4R

Δ РКС подобен ΔPOL
KC:OL=CP:LP
KC=R*4R/3R=4R/3
ТК=ТС-КС=3R-(4R/3)=5R/3
BK=TK-TB=(5R/3)-R=2R/3
BK:KC=2R/3:(4R/3)=1:2
О т в е т. 1:2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Задача 16 (планиметрия) ЕГЭ 2017 #2Скачать

Задача 16 (планиметрия) ЕГЭ 2017 #2

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая
К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая.(1)

Из равенства (1) найдем d:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Ответ: К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Решение задачи №1 из ЕГЭ математикаСкачать

Решение задачи №1 из ЕГЭ математика

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:ЕГЭ Задание 16 Доказать, что параллелограмм прямоугольникСкачать

ЕГЭ Задание 16 Доказать, что параллелограмм   прямоугольник

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Ответ: К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Ответ: К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:№152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. НайдитеСкачать

№152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая
К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(5)

Из формулы (5) найдем R:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая
К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(6)

или, умножая числитель и знаменатель на К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая, получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Ответ: К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Чертим на ЕГЭ по математике аккуратнее и быстрее всех! Задание №16. Урок 11.Скачать

Чертим на ЕГЭ по математике аккуратнее и быстрее всех! Задание №16. Урок 11.

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая
К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяв (8), получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Ответ: К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(9)

где К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяв (9), получим:

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Ответ: К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Видео:Математика ЕГЭ | Разбор задач Геометрия ЕГЭ С часть | 18 день Марафона | Подготовка с репетиторомСкачать

Математика ЕГЭ | Разбор задач Геометрия ЕГЭ С часть | 18 день Марафона | Подготовка с репетитором

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающаяК окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(13)

Из (13) следует, что

К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).К окружности вписанной в квадрат авсд проведена касательная пересекающая

💥 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Поделиться или сохранить к себе: