К двум непересекающимся окружностям равных радиусов
Обновлено
Поделиться
К двум непересекающимся окружностям равных радиусов
К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.
а) Пусть O1 — центр окружности, которая касается отрезка CD, O2 — центр окружности, которая касается отрезка CE, R — радиус окружностей. Окружность с центром O1 касается отрезка CD в точке K, а прямой DE в точке M; окружность с центром O2 касается отрезка CE в точке L, а прямой DE в точке N (рис. 1).
Тогда периметр треугольника CDE
б) Точка O1 лежит на биссектрисах углов MDC и ACD (рис. 2), следовательно,
В прямоугольном треугольнике CO1D имеем:
Аналогично, Получаем, что
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Видео:✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
К двум непересекающимся окружностям равных радиусов
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 16. Планиметрия с доказательством.
29. Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции. а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1. б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC =4√13.
30. В трапеции АBCD ∠BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M. а) Докажите, что ∠BАM равен ∠CАD. б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.
31. Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что ∠ АBM и ∠MCD прямые. а) Доказать, что MA = MD. б) Расстояние от M до AD= BC, а ∠АDC равен 55. Найдите ∠BAD. Ответ: б) 80
32. Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO = KO. б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/64 от площади трапеции ABCD. Ответ: б) 3:5
33. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN. а) Докажите, что AD = 4BC. б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √6.
34. В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O. а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны. б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD=4. Ответ: б) 2/9
35. Две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая MK пересекающая обе окружности в точках M и K, причем точка A находится между ними. а) Докажите, что треугольники BMK и O1AO2 подобны. б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если O1O2 = 5, MK = 7. Ответ: б) 84/25
36. Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно. а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны. б) Найдите AD, если ∠ DAE = ∠BAC радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB=2. Ответ: б) 8
37. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно. а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны. б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2 , если AC = 20 и BC = 15. Ответ: б) 3,5
38. Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны. а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны. б) Найти отношение BH к ED, если ∠ BCD=135. Ответ: б) 1:2
39. Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника, делит его площадь пополам, а другой в отношении 11:17. а) Докажите, что данный четырехугольник ‐ трапеция. б) Найдите отношение оснований этой трапеции. Ответ: б) 2:5
40. Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O. а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность. б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.
41. На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M. а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС. б) Найти площадь SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24. Ответ: б) 268,8
42. В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9. а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам б) Пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN. Ответ: б) 3:1
43. Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника. а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD. б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и cos ∠ CAD=3/5. Ответ: б) 8√13
44. К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой. а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей. б) Найдите DE, если радиусы окружностей =5, расстояние между их центрами =18, а AC = 8. Ответ: б) 12,375
45. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB. б) Найдите BC, если AH = 21 и ∠BAC = 30°. Ответ: б) 7√3
46. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на стороне BC, а вершина E — на стороне AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2. Ответ: б) 6-3√3
47. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. Ответ: б) 3,2
48. Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC. а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1 , лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1 . б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1 , A1BC1 и B1AC1 . Ответ: б) 1,5
49. В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO. а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности. б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1 , если AB = 10, AC = 6 и BC = 8. Ответ: б) 18
50. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7, AD=17. Ответ: б) 4,2
51. Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2. а) Докажите, что ∠BAC=30°. б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC=√21. Ответ: б) 14
52. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите отношение BC к AD. Ответ: б) 0,4
53. Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что ∠BAC+∠AKC=90°. а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 12, а cos∠BAC=0,6. Ответ: б) 10
54. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC. б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4. Ответ: б) 1:15
55. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K. а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный. б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если cos∠BAC=3/4. Ответ: б) 2
56. Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла. б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если BC=6√21. Ответ: б) 3
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
К двум непересекающимся окружностям
К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.
а) Пусть O1 — центр окружности, которая касается отрезка CD, O2 — центр окружности, которая касается отрезка CE, R — радиус окружностей. Окружность с центром O1 касается отрезка CD в точке K, а прямой DE в точке M; окружность с центром O2 касается отрезка CE в точке L, а прямой DE в точке N (рис. 1).
Тогда периметр треугольника CDE
б) Точка O1 лежит на биссектрисах углов MDC и ACD (рис. 2), следовательно,
В прямоугольном треугольнике CO1D имеем:
Аналогично, Получаем, что
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать
Задача 27559 9.13. Точка пересечения двух общих.
Условие
9.13. Точка пересечения двух общих касательных к двум непересекающимся окружностям, меньшая из которых имеет радиус r, лежит на линии их центров на расстоянии 6r от центра большей окружности и делит отрезок касательной между точками касания в отношении 1:3. Найдите площадь фигуры, состоящей из двух частей, ограниченных касательными и большими дугами окружностей.
Все решения
Из подобия треугольников МО_(1)А и КО_(2)А О_(1)М=3r- радиус большего круга. АО_(2)=2r
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы и обратно. Катет О_(1)М=3r Гипотенуза О_(1)А=6r Значит, ∠ МАО = 30 градусов, вертикальные углы между касательными 60 градусов.
S(большого круга)=Pi*(3r)^2=9Pir^2 S(малого круга)=Pi*r^2=Pir^2 S(криволинейного треугольника розового цвета)=2*S( Δ О_(1)МА)- s( большого сектора с углом в 120 градусов)= =2*(1/2)*3r*6r*sin60 градусов -(1/3)*Pi*(3r)^2= =9r^2sqrt(3)-3Pir^2 S( криволинейного треугольника сиреневого цвета) = 2S(ΔО_(2)АК)-s(малого сектора с углом в 120 градусов)= =2*(1/2)*r*2r*sqrt(3)/2-(1/3)Pi*r^2=r^2sqrt(3)-(Pir^2/3)
О т в е т. 9Pir^2 + Pir^2 + (9r^2sqrt(3)-3Pir^2)+(r^2sqrt(3)-(Pir^2/3))=(20/3)Pir^2+10r^2sqrt(3)
Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать
К двум непересекающимися окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная?
Геометрия | 5 — 9 классы
К двум непересекающимися окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная.
Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.
Для внешних касательных точки касания А и В («сверху»), А1 и В1 («снизу»), внутренняя касательная пересекает внешние в точках К (c прямой АВ) и K1 (с прямой А1В1).
С — «верхняя» точка касания внутренней касательной, С1 — «нижняя».
Получается вот что — одной окружности (ну, пусть слева на чертеже) касательные касаются в точках А, А1(это внешние) и С1 (это — внутренняя, как бы ниже линии центров), а другой (которая справа) — в точках В, В1(внешние) и С (внутренняя, выше линии центров).
Точка К1 лежит ниже линии центров (и «слева»), и К1А1 = К1С1 ; точка К лежит выше линии центров (и «справа»), КВ = КС.
К двум окружностям с центрами в точках О1 и О 2 , касающимся внешним образом в точке А проведена общая касательная ВС(В и С точки касания)?
К двум окружностям с центрами в точках О1 и О 2 , касающимся внешним образом в точке А проведена общая касательная ВС(В и С точки касания).
Докажите что угол ВАС прямой.
Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать
Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2 / 3 внутреннего отрезка секущей?
Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2 / 3 внутреннего отрезка секущей.
Определите длину касательной.
Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать
К двумокружностям с центрами в точках O1O2 касающимся внешним образом вточке А, проведена общая касательная ВС (В и С — точки касания)?
окружностям с центрами в точках O1
O2 касающимся внешним образом в
точке А, проведена общая касательная В
С (В и С — точки касания).
Докажите, что угол BAC прямой.
Видео:Планиметрия с окружностями | Задачи из ЕГЭ прошлых лет | №17 ЕГЭ по математикеСкачать
Окружности радиусами 6 и 2 касаются внешне ?
Окружности радиусами 6 и 2 касаются внешне .
Найдите расстояние от точки касания до общей касательной к окружностям.
Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
Две окружности касаются внешним образом?
Две окружности касаются внешним образом.
Их радиусы относятся как 3 : 1, а длина их общей внешней касательной равна 6.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать
Окружности, радиусы которых равны 4 см и 9 см, имеют внешнее касание?
Окружности, радиусы которых равны 4 см и 9 см, имеют внешнее касание.
К окружностям проведена общая внешняя касательная.
Найдите расстояние между точками касания.
Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать
Окружности?
Радиусы которых равны 4см и 9см, имеют внешнее касание.
К окружностям проведена общая внешняя касательная.
Найдите расстояние между точками касания.
( Желаельно с рисунком).
Если вам необходимо получить ответ на вопрос К двум непересекающимися окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.
5у — 4х = — 1таких точек бесконечно много, подберём несколько таких : х = 1 5у — 4 = — 1 5у = 3 у = 0, 6(1 ; 0, 6) х = 1, 2 5у — 6 = — 1 5у = 5 у = 1(1, 2 ; 1).
🔥 Видео
Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать
Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать
Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать
Получаем, что
