Из скольких треугольников состоит параллелепипед

В данной публикации мы рассмотрим определение, элементы, виды и основные свойства параллелепипеда, в т.ч. прямоугольного. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Определение параллелепипеда

Параллелепипед – это геометрическая фигура в пространстве; шестигранник, гранями которого являются параллелограммы. Фигура имеет 12 ребер и 6 граней.

Параллелепипед – это разновидность призмы с параллелограммом в качестве оснований. Основные элементы фигуры те же, что и у призмы.

Примечание: Формулы для расчета площади поверхности (для прямоугольной фигуры) и объема параллелепипеда представлены в отдельных публикациях.

Видео:Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать

Виды параллелепипедов

1. Прямой параллелепипед – боковые грани фигуры перпендикулярны ее основаниям и являются прямоугольниками.
2. Прямой параллелепипед может быть прямоугольным – основаниями являются прямоугольники.
3. Наклонный параллелепипед – боковые грани не перпендикулярны основаниям.
4. Куб – все грани фигуры являются равными квадратами.
5. Если все грани параллелепипеда – это одинаковые ромбы, он называется ромбоэдром.

Видео:5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами.

2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

3. Квадрат диагонали (d) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины (a), ширины (b) и высоты (c).

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Примечание: к параллелепипеду, также, применимы свойства призмы.

Видео:Диагональ прямоугольного параллелепипедаСкачать

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Прямоугольный параллелепипедСкачать

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Видео:Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Видео:Математика 5 класс (Урок№31 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

• Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
  Sб = Ро*h
  Ро — периметр основания
  h — высота
• Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
  Sп = Sб+2Sо
  Sо — площадь основания
• Объем прямого параллелепипеда
  V = Sо*h

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

• Объем прямоугольного параллелепипеда
  V = a · b · h
  a — длина, b — ширина, h — высота
• Площадь боковой поверхности
  Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
  Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
• Площадь поверхности
  Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Видео:Прямоугольный параллелепипед. Пирамида. 5 классСкачать

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
5. Диагонали куба равны.
6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

• Объем куба через длину ребра a
  V = a3
• Площадь поверхности куба
  S = 6a2
• Периметр куба
  P = 12a

Видео:Стереометрия | ПараллелепипедСкачать

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Видео:Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

• прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
• параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
• основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
• три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
• диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать

Геометрические фигуры. Параллелепипед.

Параллелепипед — призма, основанием которой является параллелограмм либо (равносильно) многогранник с шестью гранями, являющимися параллелограммами. Шестигранник.

Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед являются гранями этого параллелепипеда, стороны этих параллелограммов являются ребрами параллелепипеда, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. У параллелепипеда каждая грань является параллелограммом.

Как правило выделяют любые 2-е противолежащие грани и называют их основаниями параллелепипеда, а оставшиеся грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, которые не принадлежат основаниям являются боковыми ребрами.

2 грани параллелепипеда, которые имеют общее ребро являются смежными, а те, которые не имеют общих ребер — противоположными.

Отрезок, который соединяет 2 вершины, которые не принадлежат 1-ой грани является диагональю параллелепипеда.

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда, которые не параллельны, являются линейными размерами (измерениями) параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 3 линейных размера.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Типы параллелепипеда.

Существует несколько видов параллелепипедов:

Прямым является параллелепипед с ребром, перпендикулярным плоскости основания.

Прямой параллелепипед с прямоугольником в основании является прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда каждая из граней является прямоугольником.

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые грани расположены, по отношению к основаниям, под углом, не равным 90 градусов.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения имеют равную величину, является кубом. Каждая из граней куба – это равные квадраты.

Произвольный параллелепипед. Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде в основном определяются при помощи векторной алгебры. Объём параллелепипеда равняется абсолютной величине смешанного произведения 3-х векторов, которые определяются 3-мя сторонами параллелепипеда (которые исходят из одной вершины). Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними показывает утверждение, что определитель Грама данных 3-х векторов равняется квадрату их смешанного произведения.

Видео:Периметр прямоугольного параллелепипедаСкачать

Свойства параллелепипеда.

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Всякий отрезок с концами, которые принадлежат поверхности параллелепипеда и который проходит через середину его диагонали, делится ею на две равные части. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в 1-ой точке и делятся ею на две равные части.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и имеют равные размеры.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме квадратов 3-х его измерений.

В параллелепипед вписывают тетраэдр. Объем этого тетраэдра будет равняться третьей части объема параллелепипеда.

📺 Видео

Формула объема прямоугольного параллелепипедаСкачать

Объем прямоугольного параллелепипеда. 5 классСкачать

Найти объем параллелепипеда (геометрия от bezbotvy)Скачать

Диагональ параллелепипедаСкачать