Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломСвойства хорд и дуг окружности
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломТеорема о бабочке

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
КругХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
РадиусХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
ХордаХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
ДиаметрХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
КасательнаяХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
СекущаяХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Окружность
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаХорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Пересекающиеся хорды
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом
Пересекающиеся хорды
Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Видео:№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1Скачать

№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Тогда справедливо равенство

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломХорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломЕсли расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломЕсли описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломЕсли стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Видео:Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломЕсли углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Видео:Задание 1 Углы (диаметры, хорды)Скачать

Задание 1  Углы (диаметры, хорды)

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под угломДве равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Хорды проведенные от диаметра окружности пересекаются под углом

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

📽️ Видео

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.Скачать

№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.

Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: