Группа движения правильного треугольника (8 видео)

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Сведения, излагаемые в этом параграфе, будут использованы при решении задач с помощью теории Пойа. Пусть F — геометрическая фигура. Под самосовмещением фигуры F понимают такое перемещение (движение) F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в F. Тривиальным примером самосовмещения является тождественное преобразование с, при котором каждая точка переходит сама в себя. Рассмотрим множество G всех самосовмещен ий фигуры F.

Произведение дх -д2 двух самосовмещений д и дг определим как композицию движений pite) — это движение, возникающее в результате последовательного выполнения а затем д]. Легко проверить, что — группа. Чем «более симметричной» будет фигура F, тем «более богатой» будет ее группа самосовмещений. Например, для круга и шара соответствующие группы бесконечны. Группы самосовмещений многоугольников и многогранников Группа вращений правильного n-угольника.

Под вращением правильного п-уголь-ника будем понимать поворот в его плоскости, приводящий к его самосовмещению. Очевидно, что если поворот нетривиален (т.е. не является тождественным преобразованием), то его центром является центр правильного n-угольника. Поскольку при вращении всякая вершина должна перейти в вершину, угол поворота (с точностью до угла, кратного 2тт) равен кк = 0,1. п — 1. Группа снмметрнй правильного п-угольника.

Под симметрией правильного п-уголь-ника будем понимать его самосовмещение в пространстве. К перечисленным выше поворотам в плоскости добавляются «опрокидывания* многоугольника, т.е. повороты на 180° вокруг осей симметрии многоугольника8^. Их ровно п штук. Если п четно, то осями симметрии являются п/2 прямых, соед»жяющих пары противоположных вершин многоугольника, и п/2 прямых, соединяющих середины его противоположных сторон.

При нечетном п каждая из осей симметрии проходит через некоторую вершину n-угольника и середину противоположной стороны. Группы вращений многогранников. Под вращением многогранника будем понимать его самосовмещение. 1. Куб. Сначала покажем, что группа вращений куба содержит 24 элемента. Будем считать, что куб расположен таким образом, что о его гранях можно говорить: нижняя, верхняя, передняя и т.д.

Самосовмещение куба полностью определяется тем, 1) какая грань из шести станет нижней и 2) какая из смежных с ней граней будет передней. Согласно правилу произведения имеется всего 6 • 4 = 24 разных самосовмещения. Перечислим их: • тождественное преобразование; Группы самосовмещений многоугольников и многогранников • повороты на ±90 180° вокруг прямых, соединяющих центры противоположных граней (таких вращений 3-3 = 9);

Эти преобразования равносильны осевым симмстриям. • повороты на 180° вокруг прямых, соединяющих середины противоположных ребер куба (6); • повороты на ±120° вокруг диагоналей куба (8)9 Легко проверить (рассмотрев, например, подстановки на множестве вершин, порождаемые вращениями), что все эти самосовмещения различны; так как всего их ровно 24, других самосовмещений нет. 2. Тетраэдр. Под тетраэдром будем понимать правильный тетраэдр.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Будем считать, что тетраэдр расположен в пространстве таким образом, что о его гранях можно говорить: нижняя, передняя, задние левая и правая. Самосовмещение тетраэдра полностью определяется тем, 1) какая грань из четырех становится нижней и 2) какая из оставшихся трех граней будет передней. Таким образом, всего данная группа содержит 4 • 3 = 12 элементов: • тождественное преобразование; • повороты на ±120° вокруг высот тетраэдра (всего 8 таких поворотов); • повороты на 180° вокруг прямых, соединяющих середины скрещивающихся ребер тетраэдра (таких поворотов 3).

Все названные самосовмешения различны, общее их число 12; поэтому они исчерпывают рассматриваемую группу.

3. Правильная n-угольная пирамида. Очевидно, что группа вращений правильной n-угольной пирамиды, отличной от правильного тетраэдра, изоморфна группе вращений правильного n-угольника, лежащего в ее основании. 4. Двойная пирамида (диэдр). Эта геометрическая фигура представляет собой объединение двух одинаковых правильных п-угольных пирамид, чьи основания совмещены, а вершины находятся по разные стороны от основания.

Если диэдр не является октаэдром, то его группа вращений изоморфна группе симметрий правильного п-угольника. Как известно, октаэдр — многогранник, двойственный кубу (центры граней октаэдра являются вершинами некоторого куба; центры граней куба являются вершинами некоторого октаэдра). Неудивительно поэтому, что группы вращений октаэдра и куба изоморфны. То же справедливо и для групп вращений двух оставшихся правильных многогранников10). 5.

Икосаэдр и додекаэдр. Рассуждая так же, как и в случае куба или тетраэдра, легко найти число элементов группы самосовмешений додекаэдра, зная, что он имеет 20 вершин и из каждой вершины исходит 3 ребра. 9) Рассмотрим, например, поворот куба ABCDABCD вокруг диагонали АС. Высота треугольной пирамиды ABDA лежит на диагонали АС; основанием этой пирамиды яа!яется правильный треугольник В А D (каждая его сторона — диагональ грани куба), который самосовмсшастся при поворотах на углы, кратные 120°. |0) Всего правильных многогранников — ровно пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Упражнения 1.

Какими свойствами (рефлексивность, антирефлексивность,

симметричносгь, антисимметричность, транзитивность) обладают следующие бинарные отношения на множестве действительных чисел? 2. Какие из отношений предыдущей задачи являются отношениями эквивалентности? Для каждого из таких отношений выяснить, что представляют собой классы эквивалентности и сколько элементов они содержат.

3. На множестве учеников класса введем отношение «учится лучше». Будем говорить «Ученик А учится лучше ученика В», если по большинству контрольных работ А имел оценки выше, чем В. Обладает ли данное отношение свойством транзитивности? 4. На множестве А введено симметричное и транзитивное отношение К такое, что Доказать, что отношение Я рефлексивно. Соглашение. В задачах данного раздела е обозначает нейтральный элемент группы.

Пусть конечное множество, на котором определена бинарная операция Таблица из п строк и п столбцов, в которой на пересечении i-й строим и j-ro столбца стоит элемент множества А, равный а, * о^, называется таблицей умножения, или квадратом Кэаи. 5. На множестве > определим две бинарные операции: Группы самосовмещений многоугольников и многогранников 1) (наибольший общий делитель); 2) (наименьшее о§щее кратное). Составить для этих операций квадраты Кэли. 6.

Составим матрицу коэффициентов дробно-линейной функции Какая матрица будет соответствовать сложной функции На множестве функций выберем в качестве бинарной операции композицию функций (будем считать, что областью определения всех функций является множество R). Составить квадрат Кэли для данной операции.

Доказать, что рассматриваемая алгебраическая структура является группой. 8. На множестве (Q 0) х Q введена операция Доказать, что данная алгебраическая структура является группой. 9. Доказать, что в квадрате Кэли конечной группы каждый элемент группы встречается в каждой строке (и каждом столбце) ровно один раз. 10. Составить квадрат Кэли для следующих групп: 1) вращений правильного треугольника; 2) вращений квадрата; 3) вращений правильного пятиугольника;

4) симметрий ромба, не являющегося квадратом; 5) симметрий правильного треугольника; 6) симметрии прямоугольника, не являющегося квадратом; 7) симметрий квадрата. 11. Доказать, что группа из задачи 7 изоморфна группе симметрии квадрата. 12. Какие из следующих числовых множеств образуют аддитивные группы? 3.

Какие из следующих числовых множеств образуют мультипликативные группы? 14. Доказать, что если в группе каждый элемент себе обратен , то группа — абелева. 15. Найти с точностью до изоморфизма все группы, состоящие не более чем из 4 элементов. 16. Пусть — сюръективное гомоморфное отображение абелевой группы G на группу Н. Доказать, что Я — абелева группа. 17. Пусть ( — группа, д 6 G. Доказать, что отображение , заданное правилом , является изоморфизмом. 1В.

Пусть — конечная группа. Доказать, что Наменьшее п > 0, при котором дя = е, называют порядком элемента д. 19. Порядком конечной группы называется количество ее членов. Доказать, что конечная группа четного порядка обязательно содержит элемент второго порядка. 20. Пусть группа обладает единственным элементом второго порядка. Доказать, что этот элемент перестановочен с каждым элементом группы. Ответы 1. См. табл. Нет. 5. НОД (табл. 4). НОК (табл. 5). См. табл. 6.

8. Указание. Нейтрааьный элемент , обратный 9. Возьмем строку, соответствующую элементу а. В ней встретится элемент Ь, если для некоторого элемента х выполняется равенство . Аналогично, в столбце, соответствующем элемент>’ о. встретится элемент b, если для некоторого элемента у выполняется равенство Таким образом, задача сводится к доказательству существования и единственности решения каждого из уравнений (1) и (2).

Умножив равенство (1) слева на элемент а’ (элемент, обратный к а), получим х — а’ *Ь. Значит, если решение уравнения (1) существует, то оно единственно. С другой стороны, непосредственной подстановкой в (1) убеждаемся, что а’ *Ь — решение. Аналогично, находим решение уравнения 15. Указание. Использовать результат упражнения 9. Приведем набросок решения для случая п = 4. Один из элементов гру ппы — нейтральный (е); пусть три других — a, b и с.

Рассмотрим два возможных случая. 1. Каждый элемент группы себе обратен . каждый элемент диагонали квадрата Кэли — е. Ясно, как выглядят строка и столбец, отвечающие е. Теперь нам предстоит заполнить пустые клетки в таблице На пересечении второй строки и третьего столбца может стоять только элемент с, так как во второй строке уже есть элементы а и е, а в третьем столбце — элемент b (напомним, что в каждой строке и каждом столбце квадрата Кэли по одному разу встречается каждый элемент группы). Аналогичные рассуждения позволяют однозначно заполнить оставшиеся клетки таблицы.

Операция, заданная полученной таблицей, удовлетворяет аксиомам (Gl), (G3) и (G4). Осталось проверить выполнение аксиомы (G2). Это можно сделать непосредственно либо привести пример группы, имеющей данный квадрат Кэли. 2. Не каждый элемент группы себе обратен. Пусть, например, а2 = Ь. Имеем таблицу Хотя в ней пустых клеток больше, чем в предьиушем случае, но и она заполняется однозначно. Здесь удобно начать с пересечения второй строки и четвертого столбца.

16. Указание. Воспользоваться тем, что у каждого элемента группы Я есть прообраз в G и тем, что в силу коммутативности G. 17. Указание. Заметить, Группы самосовмещений многоугольников и многогранников 18. Указание. В силу конечности группы в последовательности степеней есть одинаковые элементы. 19. Если а’ — элемент, обратный к а, то о — элемент, обратный к о’. Стало быть, элементы порядка выше второго (для каждого такого элемента а имеем а Ф а) разбиваются на пары взаимно обратных.

Поэтому в группе (с четным числом элементов) содержится и четное число элементов порядка 1 и 2. Но порядок 1 имеет только нейтральный элемент. Значит, порядок 2 имеют нечетное число элементов. 20. Пусть — произвольный элемент группы. Докажите, что ада

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Содержание

Изучение групп самосовмещений правильных многогранников
Изучение групп самосовмещений правильных многогранников
БЕСЕДИН Игорь Юрьевич, Малая академия наук, г. Ставрополь, *****@***com
МАКОХА Анатолий Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный университет, г. Ставрополь
1. Описание всех групп самосовмещений.
Введение.
Постановка задачи.
Кристаллографические классы.
Правильные многогранники.
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
Определение равностороннего треугольника
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Свойство 6
Пример задачи
🔥 Видео

Видео:24 Группа симметрий правильного многоугольникаСкачать

Изучение групп самосовмещений правильных многогранников

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Изучение групп самосовмещений правильных многогранников

Видео:Группы симметрий правильных многогранниковСкачать

БЕСЕДИН Игорь Юрьевич, Малая академия наук, г. Ставрополь, ***@*com

Видео:Теория групп (игрушечная) | полная таблица умножения группы вращений треугольникаСкачать

МАКОХА Анатолий Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный университет, г. Ставрополь

1. Описание всех групп самосовмещений.

Введение.

Теория групп находит широкое применение в современной математике и физике, кристаллографии, физике твердого тела и физике элементарных частиц. Наиболее интересны для рассмотрения группы самосовмещений правильных многогранников. Прежде всего, потому, что имеют максимальное количество элементов в группе при минимальном количестве вершин в многограннике.

Постановка задачи.

Задачи научного исследования:

· изучить классы, группы и подгруппы самосовмещений правильных многогранников и их свойства;

· создать систему визуального моделирования свойств и поворотов групп самосовмещений правильных многогранников.

Кристаллографические классы.

В пространстве имеется конечное число федоровских групп движений. Для того чтобы суметь определить эти группы, необходимо охарактеризовать геометрически отдельные движения. Если сначала рассмотреть движения, оставляющие неподвижной некоторую точку, то можно доказать, что в этом случае должны остаться неподвижными все точки некоторой прямой, проходящей через данную точку, и что движение может быть заменено поворотом на определенный угол вокруг этой прямой, как вокруг оси.

Для того чтобы найти все кристаллографические классы пространственных групп движений, нам нужно только исследовать дискретные группы движений поверхности шара. Точно так же, как и на плоскости, можно и для пространства прийти к заключению, что в федоровской группе движений не могут существовать иные углы поворота, кроме углов, кратных , , ,.

Таким образом, подобно тому, как на плоскости группы содержат только двух-, трех-, четырех — и шестикратные центры поворотов, пространственные федоровские группы движений могут содержать только двух-, трех-, четырех — и шестикратные оси. Но то же самое должно иметь место и для групп кристаллографических классов. После этого ограничения остаются только одиннадцать классов кристаллов.

Прежде всего возьмем случаи, когда существует только одна единственная n-кратная ось в группе Оn. Такие классы обозначаются в кристаллографии через Сn. Мы имеем здесь пять классов:

1. С1 (тождество, класс групп переносов)

Теперь допустим, что существует несколько осей, среди которых не более одной кратности выше 2. Относящиеся сюда группы и классы обозначаются символом Dn (диэдр). Таких классов имеется четыре:

6. D2 (три равнозначные оси)

Остается еще возможность существования нескольких осей более высокой кратности, чем двукратные. Более подробное рассмотрение таких случаев показывает, что эквивалентные точки на шаре должны располагаться либо в вершинах правильного тетраэдра, либо правильного октаэдра. Свойства симметрии этих многогранников позволяют непосредственно вывести распределение осей; все оси получаются, если соединить с центром шара все вершины, все центры граней и все середины ребер многогранников. Таким образом тетраэдр образует класс:

10. T. Если соединить центр шара с одной из вершин тетраэдра, то прямая эта пройдет также через центр противолежащей грани. Так как эта грань представляет равносторонний треугольник, а с другой стороны, в каждой вершине сходятся три грани, то мы получаем четыре трехкратные оси. Если, далее, соединить шесть середин ребер тетраэдра с центром шара, то мы получим три прямых, так как середины ребер попарно диаметрально противоположны. Эти оси могут быть только двукратными, если тетраэдр должен переходить сам в себя. Таким образом, класс Т содержит три двукратные оси, которые, кроме того, попарно перпендикулярны друг другу.

Исследование последнего класса: 11. O производится аналогично. Шесть вершин октаэдра расположены попарно противоположно друг к другу и в каждой вершине сходятся четыре грани. Таким образом, мы получаем три четырехкратные оси. Точно так же восемь граней октаэдра расположены попарно противоположно. Так как они всегда представляют равносторонние треугольники, то они дают четыре трехкратные оси. Наконец, так как октаэдр имеет двенадцать ребер, причем ребра попарно противоположны, то класс О содержит шесть двукратных осей.

Одиннадцать классов, установленных нами, приводят всего к 65 пространственным федоровским группам движений. Таким образом, разделение на классы чрезвычайно облегчает обозрение такого большого количества групп.

Правильные многогранники.

Определение кристаллографических классов привело нас к правильным тетраэдру и октаэдру.

Мы предъявляем следующие требования к правильному многограннику: все его вершины, все его ребра и все его грани должны быть равноправны. Кроме того, все грани правильных многогранников должны представлять правильные многоугольники.

Правильный многогранник, прежде всего не должен иметь входящих углов и ребер. В самом деле, так как все углы и все ребра не могут быть входящими, то существование входящих углов или ребер приводило бы к неравноправности вершин и ребер. Отсюда следует, что сумма углов многоугольников, сходящихся в вершине многогранника, должна быть меньше 2p, так как в противном случае все многоугольники расположились бы в одной плоскости или должны были бы образовать входящие ребра, исходящие из такой вершины. Далее, так как в каждой вершине должны сходиться по меньшей мере три многоугольника и так как из правильности многоугольников следует равенство всех их углов, то все эти углы должны быть меньше, чем 2p.

Но в правильном шестиугольнике каждый угол равен как раз с возрастанием n угол правильного n-угольника возрастает. Таким образом, в качестве граней правильных многогранников нам следует рассматривать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Так как правильный четырехугольник, т. е. квадрат, содержит только прямые углы, то в вершине правильного многогранника могут сходиться только три квадрата, в противном случае сумма углов достигла бы 2p; точно так же в вершине правильного многогранника не могут сходиться более чем три пятиугольника. В соответствии с этим можно заключить, что возможен только один многогранник, ограниченный квадратами, и один, ограниченный правильными пятиугольниками. Однако в вершине правильного многогранника могут сходиться три, четыре или пять равносторонних треугольников, так как лишь шесть треугольников дают сумму углов, равную 2p. Следовательно, равносторонние треугольники могут служить гранями трех различных многогранников. Таким образом, мы приходим всего к пяти возможностям для правильных многогранников. Все эти пять возможностей действительно осуществляются.

Все они могут быть вписаны в шар и каждый из этих многогранников приводит к дискретной группе движений шара, так что вершины многогранника образуют систему эквивалентных точек. Если провести через все вершины многогранника касательные к шару плоскости, то эти плоскости должны образовать новый многогранник, который должен переходить в самого себя при движениях, содержащихся в группе.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.