- Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
- Виды треугольников
- Как определить вид треугольника
- Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
- Как найти углы прямоугольного треугольника
- Онлайн калькулятор
- Найти угол α зная угол β и наоборот
- Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты
- Формулы
- Пример
- Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
- 💥 Видео
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Виды треугольников.
- Прямоугольный треугольник.
- Свойства прямоугольного треугольника.
- Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:
- Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
- Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
- Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.
Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Сумма всех углов треугольника равна 180°, прямой угол равен 90 0 , следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.
Докажем, что FC = ½ BC
Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.
- Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.
Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:
если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Далее из второго признака равенства треугольников следует:
если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.
Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.
Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.
Доказать: ∆АВС и ∆НМХ
Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.
Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.
№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.
- по катету и прилежащему к нему острому углу;
- по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу;
- по катету и прямому углу;
- двум катетам.
Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.
Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.
Видео:Геометрия Острый угол прямоугольного треугольника равен 32. Найдите градусные меры дуг, на которыйСкачать
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
Виды треугольников
Остроугольный треугольник — это треугольник,
в котором все углы острые.
Прямоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов прямой.
Тупоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов тупой.
Как определить вид треугольника
Для того, чтобы понять какой треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный
нужно знать какая градусная мера у углов в треугольнике.
Если один из углов в треугольнике прямой, значит треугольник прямоугольный. Все углы острые в треугольнике — значит треугольник остроугольный. Если в треугольнике один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный.
В произвольном треугольнике все углы острые, или два угла острые, а третий прямой или тупой. Если в треугольнике вам известно, что один углов тупой или прямой, значит сумма двух других углов не больше 90 градусов.
В прямоугольном треугольнике стороны напротив острых углов называются катетами, а сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.
Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
Чтобы понять как называется угол и как называется треугольник с этими углами — надо знать его градусную меру:
- Острый угол в любом из треугольников не больше 90 градусов.
- Прямой угол в любом из треугольников равен 90 градусам.
- Тупой угол в любом из треугольников больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.
Видео:9. Градусная мера углаСкачать
Как найти углы прямоугольного треугольника
Видео:7 класс, 9 урок, Градусная мера углаСкачать
Онлайн калькулятор
Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для угла α:
- угол β
- длины катетов a и b
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- для угла β:
- угол α
- длины катетов a и b
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти угол α зная угол β и наоборот
Формула
Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты
Катет a =
Катет b =
Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?
Формулы
Пример
Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:
Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Гипотенуза c =
Катет =
Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?
💥 Видео
8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать
Градусная мера угла. 9 класс.Скачать
Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать
Градусная мера углаСкачать
Измерение угла с помощью транспортираСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Угол. Градусная мера угла. 5 класс.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Градусная мера угла | Геометрия 7-9 класс #10 | ИнфоурокСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№5 - Измерение углов.)Скачать
Радианная мера угла. 9 класс.Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать
Угол. Градусная мера угла. Практическая часть - решение задачи. 5 класс.Скачать
72. Градусная мера дуги окружностиСкачать
Построение углов заданной градусной мерыСкачать
Измерения углов. Градусная мера. 7 класс. Геометрия.Скачать