Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Градусная и радианная мера угла

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус – это поворот луча на (frac1) часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение – ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются как “ ).

Радианная мера. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги, для которой данный угол является центральным, к радиусу окружности. Угол равен 1 радиану (обозначается 1 рад), если дуга, на которую он опирается, равна радиусу окружности.

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует (2pi) в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана: (1 рад. =frac<360^>approx57^,2958approx 57^circ 17’45») .

Переход от градусной меры к радианной: (x = frac) , где (x) – величина угла в радианах, (α) − величина угла в градусах.

Переход от радианной меры к градусной: (alpha = frac) , где (α) – величина угла в градусах, (x) − величина угла в радианах.

Градусная мера(30 ^circ)(45 ^circ)(60 ^circ)(90 ^circ)(180 ^circ)(270 ^circ)(360 ^circ)
Радианная мера(frac )(frac )(frac )(frac )(pi)(frac )(2 pi)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

  1. (alpha in(0^; 90^) Rightarrow это угол I координатной четверти;)
  2. (alpha in( 90^; 180^) Rightarrow это угол II координатной четверти;)
  3. (alpha in( 180^; 270^) Rightarrow это угол III координатной четверти;)
  4. (alpha in( 270^; 360^) Rightarrow это угол IV координатной четверти) .

Выразите (15°) в радианах.

Выразите (frac) в градусах.

Чему равен 1 радиан в градусах?

Чему равен 1° в радианах?

Выразите (210°) в радианах.

Выразите (frac5) в градусах.

Градусная мера угла в (frac4) радиан равна

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Глоссарий по теме

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг — часть плоскости, ограниченной окружностью — то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей. А учитывая, что R=1, Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей, осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейчасти окружности или Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Длина полуокружности равна Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейА так как образовался развернутый угол, то Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей180Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей;

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейα рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

можно вычислять по формулеГрадусная и радианная мера углов и дуг окружностей(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад (рис.5)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

находят по формуле: Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей, где Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей(4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

  1. Пусть Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейТогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
  2. Пусть Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейточка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол — α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейполучается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей(рис.6)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти градусную меру угла, равного Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад.

Решение: Используя формулу (1),

находим Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Так как Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей, то Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад, тогда Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей(2)

Ответ: Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Вычисляем по формуле (2): Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад, Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейрад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Решение: Используя формулу (3),

получим: Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Ответ: Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

По формуле (4) вычисляем Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Ответ: 45 Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейм 2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей.

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейто

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейУчитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны. Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ: Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Радианная мера угла. 9 класс.

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac lt t lt frac $$ Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Интервал
$$ -frac leq t leq frac $$ Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Полуинтервал
$$ -frac leq t ltfrac $$ Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Градусная и радианная мера углов и дуг окружностейСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Четыре базовых точки, через каждые 90°
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac+frac $$$$ -frac $$
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Три базовых точки, через каждые 120°
Градусная и радианная мера углов и дуг окружностей
Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

🔥 Видео

Градусная и радианная мера угла. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Градусная и радианная мера угла. Практическая часть. 9 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Градусная мера угла. 9 класс.Скачать

Градусная мера угла. 9 класс.

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Градусная и радианная мера угла. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Градусная и радианная мера угла. Практическая часть. 9 класс.

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Алгебра. 9 класс. Градусная и радианная меры угла /11.01.2021/Скачать

Алгебра. 9 класс. Градусная и радианная меры угла /11.01.2021/

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Алгебра. 9 класс. Градусная и радианная мера угла /13.01.2021/Скачать

Алгебра. 9 класс. Градусная и радианная мера угла /13.01.2021/

ЧТО ТАКОЕ РАДИАН? / РАДИАННАЯ МЕРА УГЛАСкачать

ЧТО ТАКОЕ РАДИАН? / РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА

9 класс. Алгебра. Градусная и радианная мера углов и дуг.Скачать

9 класс. Алгебра. Градусная и радианная мера углов и дуг.

Перевод градусной меры углов в радианнуюСкачать

Перевод градусной меры углов в радианную

Угловая скорость и радианная мера углаСкачать

Угловая скорость  и радианная мера угла

Что такое радиан?Скачать

Что такое радиан?

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Перевод радианной меры углов в градуснуюСкачать

Перевод радианной меры углов в градусную

Градусная и радианная меры угла и дуги (алгебра 9)Скачать

Градусная и радианная меры угла и дуги (алгебра 9)
Поделиться или сохранить к себе: