Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус – это поворот луча на (frac1) часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение – ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются как “ ).
Радианная мера. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги, для которой данный угол является центральным, к радиусу окружности. Угол равен 1 радиану (обозначается 1 рад), если дуга, на которую он опирается, равна радиусу окружности.
Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует (2pi) в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана: (1 рад. =frac<360^>approx57^,2958approx 57^circ 17’45») .
Переход от градусной меры к радианной: (x = frac) , где (x) – величина угла в радианах, (α) − величина угла в градусах.
Переход от радианной меры к градусной: (alpha = frac) , где (α) – величина угла в градусах, (x) − величина угла в радианах.
Градусная мера | (30 ^circ) | (45 ^circ) | (60 ^circ) | (90 ^circ) | (180 ^circ) | (270 ^circ) | (360 ^circ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Радианная мера | (frac ) | (frac ) | (frac ) | (frac ) | (pi) | (frac ) | (2 pi) |
- (alpha in(0^; 90^) Rightarrow это угол I координатной четверти;)
- (alpha in( 90^; 180^) Rightarrow это угол II координатной четверти;)
- (alpha in( 180^; 270^) Rightarrow это угол III координатной четверти;)
- (alpha in( 270^; 360^) Rightarrow это угол IV координатной четверти) .
Выразите (15°) в радианах.
Выразите (frac) в градусах.
Чему равен 1 радиан в градусах?
Чему равен 1° в радианах?
Выразите (210°) в радианах.
Выразите (frac5) в градусах.
Градусная мера угла в (frac4) радиан равна
Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №29. Радианная мера угла
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1) Понятие тригонометрической окружности;
2) Поворот точки вокруг начала координат;
3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.
Глоссарий по теме
Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.
Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.
Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг — часть плоскости, ограниченной окружностью — то можно выделить круговой сектор.
«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей
Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)
Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.
Вычислите длину каждой дуги.
Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или
Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.
Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.
рис.3
Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
;
α рад=(180/π α)° (1)
Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)
можно вычислять по формуле(3)
А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)
находят по формуле: , где (4)
Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.
Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.
Введём понятие поворота точки. (рис.2)
- Пусть Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол
- Пусть точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол — α.
При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.
Давайте рассмотрим такой пример:
при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на
угол (рис.6)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Найти градусную меру угла, равного рад.
Решение: Используя формулу (1),
находим .
Так как , то рад, тогда (2)
Ответ: .
Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.
Вычисляем по формуле (2): рад
рад
При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.
Ответ: рад, рад.
Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .
Решение: Используя формулу (3),
получим:
Ответ: .
Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .
По формуле (4) вычисляем
Ответ: 45 м 2
Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .
Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то
прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.
На окружности можно найти координаты любой точки.
Ответ:
Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
п.1. Понятие тригонометрии
Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.
Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.
Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.
п.2. Числовая окружность
Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.
Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным . |
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°. |
п.3. Градусная и радианная мера угла
Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).
В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$ |
30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
(frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (frac) | (pi) | (frac) | (2pi) |
п.4. Свойства точки на числовой окружности
Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t Например: |
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности. |
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac). Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end |
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
Числовой промежуток | Соответствующая дуга числовой окружности |
Отрезок | |
$$ -frac lt t lt frac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$ | |
Интервал | |
$$ -frac leq t leq frac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$ | |
Полуинтервал | |
$$ -frac leq t ltfrac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$ |
п.6. Примеры
Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end
Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).
Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end |
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).
Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end |
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end |
(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.
Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.
$$ frac $$ | $$ -frac+2pi k $$ |
Четыре базовых точки, через каждые 90° | Две базовых точки, через каждые 180° |
$$ frac+frac $$ | $$ -frac $$ |
Три базовых точки, через каждые 120° | Пять базовых точек, через каждые 72° |
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.
🔥 Видео
Градусная и радианная мера угла. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Градусная мера угла. 9 класс.Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Градусная и радианная мера угла. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать
Алгебра. 9 класс. Градусная и радианная меры угла /11.01.2021/Скачать
8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать
Алгебра. 9 класс. Градусная и радианная мера угла /13.01.2021/Скачать
ЧТО ТАКОЕ РАДИАН? / РАДИАННАЯ МЕРА УГЛАСкачать
9 класс. Алгебра. Градусная и радианная мера углов и дуг.Скачать
Перевод градусной меры углов в радианнуюСкачать
Угловая скорость и радианная мера углаСкачать
Что такое радиан?Скачать
Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать
Перевод радианной меры углов в градуснуюСкачать
Градусная и радианная меры угла и дуги (алгебра 9)Скачать