Гипотенуза треугольника равна диаметру

Окружность описанная около прямоугольного треугольника

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!

То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.

Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием » Плач математика «, рекомендую к прочтению учителям и ученикам.

Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:

Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. То есть если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак прямоугольника. Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. То есть если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

*Прямоугольник является параллелограммом, это его частный случай.

Возьмем треугольник и относительно центра окружности повернем его на 180 0 (перевернём его). У нас получится четырехугольник, вписанный в окружность:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Поскольку мы просто повернули треугольник, то противолежащие стороны четырехугольника равны, значит это параллелограмм. Поскольку треугольник повернут ровно на 180 градусов, значит его вершина диаметрально противоположна вершине «исходного» треугольника.

Получается, что диагонали четырёхугольника равны, так они являются диаметрами. Имеем четырёхугольник у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны, следовательно это есть прямоугольник, а у него все углы прямые.

Вот и всё доказательство!

Можно рассмотреть и такое, тоже простое и понятное:

Из точки С построим отрезок проходящий через центр окружности, другой конец которого будет лежать на противоположной точке окружности (точка D). Точку D соединим с вершинами А и В: Гипотенуза треугольника равна диаметруПолучили четырёхугольник. Треугольник АОD равен треугольнику СОВ по двум сторонам и углу между ними:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Из равенства треугольников следует, что AD = CB.

Аналогично и АС = DB.

Можем сделать вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. Кроме того, его диагонали равны – АВ изначально дан как диаметр, СD также диаметр (проходит через точку О).

Таким образом, АСВD прямоугольник, значит все его углы прямые. Доказано!

Ещё один примечательный подход, который ярко и «красиво» говорит нам о том, что рассматриваемый угол всегда прямой.

Посмотрите и вспомните информацию про вписанный угол . А теперь посмотрите на эскиз:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Угол АОВ не что иное как центральный угол опирающийся на дугу АDB, и равен он 180 градусам. Да, АВ это диаметр окружности, но ничто нам не мешает считать АОВ центральным углом (это развёрнутый угол). Угол же АСВ является вписанным для него, он опирается также же дугу на АDB.

А мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то есть как бы мы не разместили точку С на окружности, угол АСВ всегда будет равен 90 градусам, то является прямым.

Какие выводы можно сделать применительно к решению задач, в частности включённых в экзамен?

Если в условии речь идёт о треугольнике вписанном в окружность и построенном на диаметре этой окружности, то однозначно этот треугольник является прямоугольным.

Если сказано, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, то это означает, что его гипотенуза является совпадает с её диаметром (равна ему) и центр гипотенузы совпадает с центром окружности.

Видео:№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать

№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Гипотенуза треугольника равна диаметруЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Гипотенуза треугольника равна диаметру

3. Теорема Пифагора:

Гипотенуза треугольника равна диаметру, где Гипотенуза треугольника равна диаметру– катеты, Гипотенуза треугольника равна диаметру– гипотенуза. Видеодоказательство

Гипотенуза треугольника равна диаметру

4. Площадь Гипотенуза треугольника равна диаметрупрямоугольного треугольника с катетами Гипотенуза треугольника равна диаметру:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

5. Высота Гипотенуза треугольника равна диаметрупрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Гипотенуза треугольника равна диаметруи гипотенузу Гипотенуза треугольника равна диаметруследующим образом:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Гипотенуза треугольника равна диаметру

7. Радиус Гипотенуза треугольника равна диаметруописанной окружности есть половина гипотенузы Гипотенуза треугольника равна диаметру:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Гипотенуза треугольника равна диаметрувписанной окружности выражается через катеты Гипотенуза треугольника равна диаметруи гипотенузу Гипотенуза треугольника равна диаметруследующим образом:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру вписанной в него окружности

Видео:Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать

Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

Гипотенуза треугольника равна диаметру

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Гипотенуза треугольника равна диаметруДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Гипотенуза треугольника равна диаметру

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

Гипотенуза треугольника равна диаметруAK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Гипотенуза треугольника равна диаметруДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Гипотенуза треугольника равна диаметру

1) Проведем отрезки OK и OF.

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Гипотенуза треугольника равна диаметруЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Гипотенуза треугольника равна диаметру

3. Теорема Пифагора:

Гипотенуза треугольника равна диаметру, где Гипотенуза треугольника равна диаметру– катеты, Гипотенуза треугольника равна диаметру– гипотенуза. Видеодоказательство

Гипотенуза треугольника равна диаметру

4. Площадь Гипотенуза треугольника равна диаметрупрямоугольного треугольника с катетами Гипотенуза треугольника равна диаметру:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

5. Высота Гипотенуза треугольника равна диаметрупрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Гипотенуза треугольника равна диаметруи гипотенузу Гипотенуза треугольника равна диаметруследующим образом:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Гипотенуза треугольника равна диаметру

7. Радиус Гипотенуза треугольника равна диаметруописанной окружности есть половина гипотенузы Гипотенуза треугольника равна диаметру:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Гипотенуза треугольника равна диаметрувписанной окружности выражается через катеты Гипотенуза треугольника равна диаметруи гипотенузу Гипотенуза треугольника равна диаметруследующим образом:

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Гипотенуза треугольника равна диаметру

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Please wait.

Видео:№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать

Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Cloudflare Ray ID: 6d88a8302c9d1628 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

🎥 Видео

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классыСкачать

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классы

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Найдите гипотенузуСкачать

Найдите гипотенузу

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников

Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если его периметр и площадьСкачать

Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, если его периметр и площадь

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся
Поделиться или сохранить к себе: