Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

3. Теорема Пифагора:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность, где Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность– катеты, Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность– гипотенуза. Видеодоказательство

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

4. Площадь Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьпрямоугольного треугольника с катетами Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

5. Высота Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьи гипотенузу Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьследующим образом:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

7. Радиус Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьописанной окружности есть половина гипотенузы Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьвписанной окружности выражается через катеты Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьи гипотенузу Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьследующим образом:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать

№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости

Гипотенуза треугольника вписанного в окружность

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Треугольник вписанный в окружность

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Найдите гипотенузуСкачать

Найдите гипотенузу

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

3. Теорема Пифагора:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность, где Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность– катеты, Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность– гипотенуза. Видеодоказательство

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

4. Площадь Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьпрямоугольного треугольника с катетами Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

5. Высота Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьи гипотенузу Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьследующим образом:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

7. Радиус Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьописанной окружности есть половина гипотенузы Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьвписанной окружности выражается через катеты Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьи гипотенузу Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружностьследующим образом:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность

Тема этого занятия – «Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде». Для начала дадим еще раз определение прямоугольному треугольнику, повторим основные тригонометрические функции и формулы, в которых он применяется. Решим задачи на вписанную в такие треугольники окружность и описанную вокруг них окружность.

🔥 Видео

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Г: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 12Скачать

Г: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 12

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Гипотенуза прямоугольного треугольникаСкачать

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу наСкачать

Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)
Поделиться или сохранить к себе: