Геометрия как найти углы треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  5. Типы треугольников
  6. По величине углов
  7. По числу равных сторон
  8. Вершины углы и стороны треугольника
  9. Свойства углов и сторон треугольника
  10. Теорема синусов
  11. Теорема косинусов
  12. Теорема о проекциях
  13. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Биссектрисы треугольника
  18. Свойства биссектрис треугольника:
  19. Формулы биссектрис треугольника
  20. Высоты треугольника
  21. Свойства высот треугольника
  22. Формулы высот треугольника
  23. Окружность вписанная в треугольник
  24. Свойства окружности вписанной в треугольник
  25. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  26. Окружность описанная вокруг треугольника
  27. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  28. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  29. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  30. Средняя линия треугольника
  31. Свойства средней линии треугольника
  32. Периметр треугольника
  33. Формулы площади треугольника
  34. Формула Герона
  35. Равенство треугольников
  36. Признаки равенства треугольников
  37. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  38. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  39. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  40. Подобие треугольников
  41. Признаки подобия треугольников
  42. Первый признак подобия треугольников
  43. Второй признак подобия треугольников
  44. Третий признак подобия треугольников
  45. Треугольник
  46. Типы треугольников
  47. По величине углов
  48. Остроугольный треугольник
  49. Тупоугольный треугольник
  50. Прямоугольный треугольник
  51. По числу равных сторон
  52. Разносторонний треугольник
  53. Равнобедренный треугольник
  54. Равносторонний (правильный) треугольник
  55. Вершины, углы и стороны треугольника
  56. Свойства углов и сторон треугольника
  57. Сумма углов треугольника равна 180°
  58. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
  59. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
  60. Теорема синусов
  61. Теорема косинусов
  62. Теорема о проекциях
  63. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  64. Формулы сторон через медианы
  65. Медианы треугольника
  66. Свойства медиан треугольника
  67. Формулы медиан треугольника
  68. Формулы медиан треугольника через стороны
  69. Биссектрисы треугольника
  70. Свойства биссектрис треугольника
  71. Формулы биссектрис треугольника
  72. Формулы биссектрис треугольника через стороны
  73. Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
  74. Высоты треугольника
  75. Свойства высот треугольника
  76. Формулы высот треугольника
  77. Формулы высот треугольника через сторону и угол
  78. Формулы высот треугольника через сторону и площадь
  79. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  80. Окружность вписанная в треугольник
  81. Свойства окружности вписанной в треугольник
  82. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  83. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
  84. Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
  85. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  86. Окружность описанная вокруг треугольника
  87. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  88. Свойства углов
  89. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  90. Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
  91. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  92. Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
  93. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  94. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  95. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  96. Средняя линия треугольника
  97. Свойства средней линии треугольника
  98. Признаки
  99. Периметр треугольника
  100. Формулы площади треугольника
  101. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  102. Формула площади треугольника по трем сторонам
  103. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  104. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  105. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  106. Равенство треугольников
  107. Определение
  108. Свойства
  109. Признаки равенства треугольников
  110. По двум сторонам и углу между ними
  111. По стороне и двум прилежащим углам
  112. По трем сторонам
  113. Подобие треугольников
  114. Определение
  115. Признаки подобия треугольников
  116. Свойства
  117. Прямоугольные треугольники
  118. Свойства прямоугольного треугольника
  119. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  120. Свойства

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Геометрия как найти углы треугольника.

Геометрия как найти углы треугольника
Геометрия как найти углы треугольника
Геометрия как найти углы треугольника
Геометрия как найти углы треугольника(1)
Геометрия как найти углы треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Геометрия как найти углы треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Геометрия как найти углы треугольникаНайти Геометрия как найти углы треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника.
Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника.
Геометрия как найти углы треугольника, Геометрия как найти углы треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Геометрия как найти углы треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Геометрия как найти углы треугольника.
Геометрия как найти углы треугольника.

Далее, из формулы

Геометрия как найти углы треугольника.
Геометрия как найти углы треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Геометрия как найти углы треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Геометрия как найти углы треугольникаи Геометрия как найти углы треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Геометрия как найти углы треугольника,
Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника
Геометрия как найти углы треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Геометрия как найти углы треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Геометрия как найти углы треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Геометрия как найти углы треугольника, Геометрия как найти углы треугольника.
Геометрия как найти углы треугольника, Геометрия как найти углы треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Геометрия как найти углы треугольникаи углы Геометрия как найти углы треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Геометрия как найти углы треугольникаГеометрия как найти углы треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Геометрия как найти углы треугольника
Геометрия как найти углы треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Изучаем геометрию в начальной школе вместе с Учи руСкачать

Изучаем геометрию в начальной школе вместе с Учи ру

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

Типы треугольников

По величине углов

Геометрия как найти углы треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

По числу равных сторон

Геометрия как найти углы треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Медианы треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Биссектрисы треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.Скачать

№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.

Высоты треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Окружность вписанная в треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Окружность описанная вокруг треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:№227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два разаСкачать

№227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза

Периметр треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:№1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В(1;-√3 )Скачать

№1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В(1;-√3 )

Формулы площади треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Подобие треугольников

Геометрия как найти углы треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Типы треугольников

Геометрия как найти углы треугольника

По величине углов

Остроугольный треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

Геометрия как найти углы треугольника

— все три стороны равны.

Видео:№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.Скачать

№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

Вершины, углы и стороны треугольника

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

  • если α > β , тогда a > b
  • если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 — m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 — m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 — m c 2

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Геометрия как найти углы треугольника

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник
  • Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 — a 2

    m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 — b 2

    m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 — c 2

    Биссектрисы треугольника

    Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

    Геометрия как найти углы треугольника

    Свойства биссектрис треугольника

    1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AE AB = EC BC

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

    Угол между l c и l c ‘ = 90°

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
  • Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны

    l a = 2 b c p p — a b + c

    l b = 2 a c p p — b a + c

    l c = 2 a b p p — c a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

    l a = 2 b c cos α 2 b + c

    l b = 2 a c cos β 2 a + c

    l c = 2 a b cos γ 2 a + b

    Высоты треугольника

    Геометрия как найти углы треугольника

    Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

    В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

    • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
    • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
    • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

    Свойства высот треугольника

    1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
  • h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

    1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

    Формулы высот треугольника

    Формулы высот треугольника через сторону и угол

    h a = b sin γ = c sin β

    h b = c sin α = a sin γ

    h c = a sin β = b sin α

    Формулы высот треугольника через сторону и площадь

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Окружность вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

    Геометрия как найти углы треугольника

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

    Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

    Геометрия как найти углы треугольника

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
    • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

    Свойства углов

    Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Геометрия как найти углы треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

    d 2 = R 2 — 2 R r

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Средняя линия треугольника

    Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

    Геометрия как найти углы треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    • Любой треугольник имеет три средних линии.
    • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
      MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

    MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

  • Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
    S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC
  • При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    ∆MBN

    Признаки

    Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

    Периметр треугольника

    Геометрия как найти углы треугольника

    Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

    Формулы площади треугольника

    Геометрия как найти углы треугольника

    Формула площади треугольника по стороне и высоте

    Геометрия как найти углы треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

    S = 1 2 a · h a ,
    S = 1 2 b · h b ,
    S = 1 2 c · h c ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

    Формула площади треугольника по трем сторонам

    Геометрия как найти углы треугольника

    Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

    S = p p — a p — b p — c ,

    где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
    a, b, c — стороны треугольника.

    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Геометрия как найти углы треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 1 2 a · b · sin γ ,
    S = 1 2 b · c · sin α ,
    S = 1 2 a · c · sin β ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b ,
    α — угол между сторонами b и c ,
    β — угол между сторонами a и c .

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

    a, b, c — стороны треугольника,
    R — радиус описанной окружности.

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

    Геометрия как найти углы треугольника

    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

    Равенство треугольников

    Геометрия как найти углы треугольника

    Определение

    Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

    Свойства

    У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

    Признаки равенства треугольников

    По двум сторонам и углу между ними

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По стороне и двум прилежащим углам

    Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По трем сторонам

    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Подобие треугольников

    Геометрия как найти углы треугольника

    Определение

    Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

    ∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

    где k — коэффициент подобия.

    Признаки подобия треугольников

    1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
    2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
    3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    S ∆АВС S ∆MNK = k 2

    Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

    Свойства прямоугольного треугольника

    • Геометрия как найти углы треугольника Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
      Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ 1 + ∠ 2 = 90° .
    • Геометрия как найти углы треугольника

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

    Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

    Докажем, что BC=2AC.
    Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
    Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

    Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

    1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
    2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
    3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
    4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

  • Поделиться или сохранить к себе: