- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
- Презентация по геометрии 8 класс «Вписанная окружность Описанная окружность». презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Подписи к слайдам:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- 📸 Видео
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | УмскулСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Презентация по геометрии 8 класс «Вписанная окружность Описанная окружность».
презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему
Понятие окружности вписанной в треугольник и описанной около треугольника.
Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
geometriya_8_klass_vpisannaya_okruzhnost_opisannaya_okruzhnost.ppt | 740 КБ |
Хочешь подготовиться к ЕГЭ за 1450 ₽ в месяц?
Вебинары Учи.Дома помогут подготовиться к ЕГЭ 2022. Поддерживающее коммьюнити из классных преподавателей, которые состоят в комиссии и знают особенности заданий изнутри. Хочешь попробовать бесплатно? Кликай по кнопке!
попробовать бесплатно, онлайн, 40 минут
Предварительный просмотр:
Видео:Вся геометрия 8 класса с нуля для ОГЭ по математике 2024Скачать
Подписи к слайдам:
Геометрия 8 класс
Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника?
В Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника. А А
Треугольник. Описанная окружность . Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 2) Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника. 3 ) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы.
Треугольник. Описанная окружность 4 ) R – радиус описанной окружности R=OA=OB=OC в любом треугольнике. 5) Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится вне треугольника. — для правильного треугольника
Касательная к окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Что можно сказать о сторонах треугольника С D Е по отношению к окружности?
Окружность, вписанная в треугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? Треугольник ABC- описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные ?
В С А М К Р Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. О
В любой треугольник можно вписать окружность.
Треугольник. Вписанная окружность. 1) Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения биссектрис. 2) Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника. 3) p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности p — полупериметр В правильном треугольнике C – гипотенуза
В правильном треугольнике R r
№ 1. В равносторонний треугольник со стороной 4 см вписана окружность. Найдите её радиус. а r S = S = = P = ½ ·4 · 3 = ½ · 12 = 6(см) — полупериметр r r = (см) Решение: S = p · r и (см) Ответ:
№ 2. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС в точках М, К и Р соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 4 см, ВМ = 6 см, СК = 3 см. А В С М К Р 4 3 6 Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны. ВМ = ВК АМ = АР СР = СК 6 3 4 АВ = 10 АС = 7 ВС = 9 Р = 10 + 7 + 9 = 26
№ 3. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если синус одного из углов треугольника равен 3/7, а противолежащий этому углу катет равен 15 см. А В С Центр описанной около п/у треугольника окружности лежит на середине гипотенузы . d = AC 15 АС = 35
№ 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 20 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 24 см . 0 А В 20 С 24 Т.к. ОК АС, то АК=КС=10 К по т. Пифагора ОС =
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
презентация по геометрии 9 класс «Уравнение окружности»
презентация предназначена для введения темы и поможет повторить изученный материал по теме «Уравнение окружности».
презентация к уроку математики «Окружность. Длина окружности.» (6 класс )
В презентации дан устный счёт для определении темы урок, практическая работа и набор задач для нахождения длины окружности.
Презентация к уроку геометрии 8 класса по теме » Описанная окружность»
Презентация к уроку.
Презентация по геометрии 8 класс Вписанная окружность. Описанная окружность.
Данная презентация содержит определения и свойства вписанной окружности и описанной окружности около многоугольника (треугольник). В презентации рассмотрены несложные задачи.
Задачник по геометрии «Вписанные и описанные окружности»
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИТреугольникК окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 23, 78. Найдите периметр данного.
Разноуровневая самостоятельная работа по геометрии «Вписанная и описанная окружность» (8 класс)
Разноуровневая самостоятельная работа по геометрии на тему «Вписанная и описанная окружность», 8 класс.Предназначена для закрепления пройденного материала. Содержит три уровня сложности, в к.
Презентация «Правильный многоугольник.Вписанная и описанная окружности»
Презентация к уроку «Правильный многоугольник.Вписанная и описанная окружности".
📸 Видео
Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать
ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС ЗА 15 МИНУТ / АТАНАСЯН / К ОГЭСкачать
Вся геометрия за 45 минут | Геометрия 7-9 классыСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Радиус описанной окружностиСкачать
Треугольник и окружность #shortsСкачать
Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать