Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.
Существует несколько понятий центра для треугольника.
Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.
Ортоцентр — точка пересечения его высот.
Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.
Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).
- Как найти центр треугольника
- Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- Как определить центр треугольника?
- Как найти середину у треугольника?
- Как найти центр тяжести в треугольнике?
- Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?
- Как найти Инцентр?
- Как найти центр тяжести тела неправильной формы?
- Где находится центр тяжести призмы?
- Где находится центр тяжести у кольца?
- Как найти Центроид фигуры?
- Где находится центр тяжести однородного треугольника?
- Где находится центр тяжести у трапеции?
- Как найти центр масс треугольника?
- Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?
- Где находится центр круга?
- Где лежит центр равнобедренного треугольника?
- Где лежит центр окружности?
Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать
Как найти центр треугольника
Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.
Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.
Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.
Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.
Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:
- ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
- нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.
Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Как найти центр треугольника или вращение вокруг центра многогранника. Corel Draw от ДеревяшкинаСкачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | ||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | ||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | ||
Теорема синусов | |||
Площадь треугольника | |||
Радиус описанной окружности |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Как определить центр треугольника?
Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать
Как найти середину у треугольника?
Пересекающиеся медианы Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.
Видео:Центр масс в математике (или механика помогает геометрии)Скачать
Как найти центр тяжести в треугольнике?
Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике. . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).
Видео:Механика | динамика | центр масс треугольникаСкачать
Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?
Как найти координаты центра тяжести треугольника?
- Рисуем треугольник ABC.
- Ставим точку M — середина BC.
- Ставим точку H — середина AC.
- Пересечение BH и AM — и есть центр тяжести треугольника ABC.
- Найдем его координаты (координаты точки O (xo, yo, zo) )
Видео:97 Медианы и центр тяжести треугольникаСкачать
Как найти Инцентр?
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Инцентр лежит ближе к вершине, расположенной напротив большей стороны треугольника.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Как найти центр тяжести тела неправильной формы?
Центр тяжести тела неправильной формы можно определить так: подвесить его за любую точку, и провести вертикальную линию по отвесу. Затем повернуть тело и повторить операцию. Точка пересечения двух прямых и есть центр тяжести тела.
Видео:100 Фактов о Бермудском Треугольнике, о Которых Вы не ЗналиСкачать
Где находится центр тяжести призмы?
Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды (рис. 18, а) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противоположной вершиной на расстоянии /4 высоты от основания.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Где находится центр тяжести у кольца?
Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.
Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать
Как найти Центроид фигуры?
Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два другие — середины противополежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.
Видео:8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать
Где находится центр тяжести однородного треугольника?
Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.
Видео:🔥 ФОКУС с треугольником #shortsСкачать
Где находится центр тяжести у трапеции?
Для произвольной трапеции (то есть она может быть прямоугольной, тупоугольной, равнобокой или любой другой) справедливо то, что центр ее тяжести лежит на прямой, которая соединяет середины оснований трапеции.
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Как найти центр масс треугольника?
Как найти центр треугольника
Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.
Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать
Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Где находится центр круга?
Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.
Где лежит центр равнобедренного треугольника?
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром. Следовательно, центр описанной около равнобедренного треугольника окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, который является и высотой, и медианой, и биссектрисой угла при вершине.
Где лежит центр окружности?
Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.