Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: sin(x)>=0 (множество решений неравенства)
Решение
Дано неравенство:
$$sin geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Получим:
$$sin = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + operatorname$$
$$x = 2 pi n — operatorname + pi$$
Или
$$x = 2 pi n$$
$$x = 2 pi n + pi$$
, где n — любое целое число
$$x_ = 2 pi n$$
$$x_ = 2 pi n + pi$$
$$x_ = 2 pi n$$
$$x_ = 2 pi n + pi$$
Данные корни
$$x_ = 2 pi n$$
$$x_ = 2 pi n + pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ leq x_$$
Возьмём например точку
$$x_ = x_ — frac$$
=
$$2 pi n + — frac$$
=
$$2 pi n — frac$$
подставляем в выражение
$$sin geq 0$$
$$sin<left (2 pi n — frac right )> geq 0$$
Тогда
$$x leq 2 pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 2 pi n wedge x leq 2 pi n + pi$$
Функция y = sin x, её свойства и график
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x синусоидой .
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды .
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды .
п.2. Свойства функции y=sinx
1. Область определения (xinmathbb) — множество действительных чисел.
2. Функция ограничена сверху и снизу
Область значений (yin[-1;1])
3. Функция нечётная
4. Функция периодическая с периодом 2π
5. Максимальные значения (y_=1) достигаются в точках
Минимальные значения (y_=-1) достигаются в точках
Нули функции (y_=sinx_0=0) достигаются в точках (x_0=pi k)
6. Функция возрастает на отрезках
$$ -fracpi2+2pi kleq xleqfracpi2+2pi k $$
Функция убывает на отрезках
$$ fracpi2+2pi kleq xleqfrac+2pi k $$
7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx на отрезке:
a) (left[fracpi6; fracright]) $$ y_=sinleft(fracpi6right)=frac12, y_=sinleft(fracpi2right)=1 $$ б) (left[frac; fracright]) $$ y_=sinleft(fracright)=-1, y_=sinleft(fracright)=frac12 $$
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) (sinx=3x)
Один корень: x = 0
б) (sinx=2x-2pi)
Один корень: x = π
в) (sinx-sqrt=0)
(sinx=sqrt)
Один корень: x = π
г*) (sinx=left(x-fracpi2right)^2-frac)
(y=left(x-fracpi2right)^2-frac) – парабола ветками вверх, с осью симметрии (x_0=fracpi2) и вершиной (left(fracpi2; -fracright)) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: (x_1=0, x_2=pi)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx, y=-sinx, y=2sinx, y=sinx+2 $$
(y=-sinx) – отражение исходной функции (y=sinx) относительно оси OX. Область значений (yin[-1;1]).
(y=2sinx) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений (yin[-2;2]).
(y=sinx+2) — исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений (yin[1;3]).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx, y=sin2x, y=sinfrac $$
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений (yin[-1;1]).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
(y=sin2x) — период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок (0leq xleq pi).
(y=sinfrac) — период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок (0leq xleq 4pi).
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,