Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

  • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
  • Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Формулы планиметрии для окружности

Тогда, сумма углов треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Формулы планиметрии для окружности

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формулы планиметрии для окружности

Формула Герона для площади треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формулы планиметрии для окружности

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Формулы планиметрии для окружности

  • Все три медианы пересекаются в одной точке.
  • Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
  • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Формулы планиметрии для окружности

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Формулы планиметрии для окружности

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

  • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
  • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формулы планиметрии для окружности

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Теорема косинусов:

Формулы планиметрии для окружности

Теорема синусов:

Формулы планиметрии для окружности

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Формулы планиметрии для окружности

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь правильного треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Формулы планиметрии для окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Формулы планиметрии для окружности

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Формулы планиметрии для окружности

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Некоторые свойства трапеций:

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
  • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Формулы планиметрии для окружности

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

Квадрат

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Формулы планиметрии для окружности

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

Ромб и прямоугольник

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Формулы планиметрии для окружности

Свойства ромба:

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Формулы планиметрии для окружности

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Произвольные фигуры

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Формулы планиметрии для окружности

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Формулы планиметрии для окружности

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Формулы планиметрии для окружности

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Формулы планиметрии для окружности

Многоугольники

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна:

Формулы планиметрии для окружности

Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон):

Формулы планиметрии для окружности

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен:

Формулы планиметрии для окружности

Центральный угол правильного n-угольника равен:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Окружность

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Формулы планиметрии для окружности

Теорема о касательной и секущей:

Формулы планиметрии для окружности

Теорема о двух секущих:

Формулы планиметрии для окружности

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Формулы планиметрии для окружности

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Формулы планиметрии для окружности

Свойство центральных углов и хорд:

Формулы планиметрии для окружности

Свойство центральных углов и секущих:

Формулы планиметрии для окружности

Длина окружности:

Формулы планиметрии для окружности

Длина дуги окружности:

Формулы планиметрии для окружности

Площадь круга:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Площадь кругового сегмента:

Формулы планиметрии для окружности

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Видео:Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

Планиметрия — формулы, определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В окружающем нас мире существует много разнообразных предметов, каждый из которых обладает определенным набором характеристик: размеры, форма, цвет, твердость, химический состав и т.д. Например, круг радиуса 10 см можно вырезать из металлического листа или из бумаги. Понятно, что эти предметы будут иметь как одинаковые характерные свойства, так и различные. Что касается формы и количественных характеристик, то они являются одинаковыми фигурами — два круга радиуса 10 см. Школьные дисциплины, изучающие пространственную форму и количественные характеристики предметов и явлений материального мира, — алгебра и геометрия -относятся к математическим.

Геометрия — это наука о пространственной форме и количественных характеристиках предметов реального мира.
Исследованием прочих характеристик предметов окружающей среды занимаются другие дисциплины. Если в процессе изучения предмета не учитывать никаких других его характеристик, кроме пространственной формы и размеров, получим абстрактный объект, который называют геометрической фигурой.

Слово «геометрия» — греческого происхождения и в переводе означает землеизмерение. Геометрия, которую изучают в школе, называется евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида (см. рубрику «Из летописи геометрии» на с. 45). Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. С планиметрией вы ознакомились в основной школе, а стереометрию будете изучать в старших классах.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Что такое планиметрия

Планиметрия — это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости (рис. 1.1).

Формулы планиметрии для окружности

Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве.
Геометрические фигуры — это абстрактные фигуры, которые напоминают окружающие предметы. Чтобы отличить одну геометрическую фигуру (или понятие) от другой, их описывают в виде утверждения, которое называют определением.

Определение — это утверждение, которое описывает существенные свойства предмета (понятия), позволяющие отличить его от других. Как выяснилось, определить все геометрические фигуры невозможно. Например, точка, прямая, плоскость. Их называют неопределяемыми, начальными (с которых все начинается), или, как принято в планиметрии, основными.

Логическое построение планиметрии можно описать как последовательность следующих этапов.

  1. Выбор геометрических понятий, которые называют основными (абстрактных фигур).
  2. Формулирование основных свойств для этих геометрических понятий с помощью утверждений, которые считаются истинными без доказательств.
  3. Построение других понятий, определяемых через основные понятия и их свойства, и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.

Такое построение науки называют аксиоматическим (греч. «аксиома», что в переводе означает уважение, авторитет, неопровержимая истина). Аксиома — это утверждение, принимающееся как истинное без доказательств. Основные свойства простейших геометрических фигур, которые считаются истинными без доказательства и являются исходными при доказательстве других свойств, называют аксиомами геометрии.

Для школьного курса планиметрии определены:

  1. Основные геометрические фигуры (понятия) — точка, прямая. (Точка — простейшая геометрическая фигура. Все другие геометрические фигуры состоят из точек, в том числе и прямая.)
  2. Аксиомы планиметрии — это основные свойства простейших геометрических фигур.
  3. Система определений планиметрических фигур и теорем, выражающих их свойства.

К определяемым понятиям в геометрии относят отрезок, луч, треугольник и т. п., поскольку для них существуют объяснения «что это такое?». Определяемых понятий много. Приведем пример.

Пусть на прямой а заданы две различные точки Аи В. Фигуру, состоящую из всех точек прямой а, которые лежат между точками А и В, включая точки А и В, называют отрезком (рис. 1.2). Точки А и В называются концами отрезка, а все другие точки — внутренними точками отрезка. Таким образом, отрезок — определяемое понятие.

Формулы планиметрии для окружности

Аксиомы планиметрии

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

С целью установления правильности утверждения о свойствах той или иной геометрической фигуры прибегают к некоторым рассуждениям. Среди них есть такие, которые требуют доказательства (теоремы, задачи). Утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства и которое используется для доказательства других утверждений, называют теоремой.

Теорема состоит из: условия и вывода. Для доказательства теорем в школьном курсе геометрии в основном используют следующие методы:

  • а) по структуре доказательства — прямой (аналитический и синтетический), от противного;
  • б) по использованию математического аппарата — алгебраический, координатный, векторный и др.

Все рассуждения при доказательстве теорем произвольным методом основываются на аксиомах и известных доказанных фактах. Т.е. чтобы доказать теорему, разрешается пользоваться только основными свойствами простейших фигур (аксиомами) и свойствами, доказанными ранее (теоремами). Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя. Например, доказывая теоремы, можно использовать рисунки. Однако это лишь геометрическая модель содержания текста, выраженного словами, поэтому делать по рисунку выводы о свойствах фигур не разрешается.

Итак, геометрия, как и другие математические науки, строится по такой схеме: сначала следует ввести основные понятия, задать аксиомы (правила игры), а потом, опираясь на аксиомы, выводить другие факты (проводить игру по определенным правилам, не противоречащим друг другу).

Опорные факты курса планиметрии

Данный параграф предназначен для повторения курса планиметрии. Необходимость в нем обусловлена тем, что многие вопросы планиметрии на первом этапе обучения в школе рассматриваются несколько поверхностно. В следующих классах уровень изучения материала повышается, а вернуться и углубить пройденное удается не всегда. Поэтому мы систематизируем и обобщим основные сведения по планиметрии, условно разбив их на блоки: взаимное расположение прямых на плоскости; окружность и круг; многоугольники; треугольник и его элементы; выпуклые четырехугольники.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут пересекаться только в одной точке или не пересекаться, т.е. быть параллельными. При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°, а вертикальные — равны. Меньший из них называется углом между прямыми. На рисунке 1.3 изображены две прямые Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, которые пересекаются в точке Формулы планиметрии для окружности, образуя смежные и вертикальные углы:

  1. Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— вертикальные;
  2. Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностииФормулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— смежные.

Формулы планиметрии для окружности

Если один из углов при пересечении двух прямых равен 90°, то все другие углы — смежные и вертикальные — также равны 90°. Такие прямые называют взаимно перпендикулярными. Записывают, например, Формулы планиметрии для окружностиили Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

Расстоянием от точки Формулы планиметрии для окружности до прямой Формулы планиметрии для окружности(рис. 1.4) называют длину отрезка Формулы планиметрии для окружности, перпендикулярного к прямой а, где точка Формулы планиметрии для окружностиоснование перпендикуляра. Расстояние от точки Формулы планиметрии для окружностидо любой точки прямой Формулы планиметрии для окружности, отличной от точки Формулы планиметрии для окружности, больше расстояния от точки Формулы планиметрии для окружностидо прямой Формулы планиметрии для окружности. Т.е. любой отрезок Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности-точка прямой Формулы планиметрии для окружности, отличная от точки Формулы планиметрии для окружности, длиннее отрезка Формулы планиметрии для окружности.

Две различные прямые Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Коротко записывают Формулы планиметрии для окружности. Если прямые не параллельны (Формулы планиметрии для окружности), то они пересекаются (Формулы планиметрии для окружности).

Формулы планиметрии для окружности

Вследствие пересечения двух прямых третьей прямой образуется восемь углов (рис. 1.5) (прямые а и Ь могут пересекаться, но прямая с через точку их пересечения не проходит):

  • внутренние односторонние (углы 4 и 5, 3 и 6);
  • внутренние разносторонние (углы 3 и 5, 4 и 6);
  • внешние односторонние (углы 1 и 8, 2 и 7);
  • внешние разносторонние (углы 1 и 7, 2 и 8);
  • соответствующие (углы 1 и 5, 2 и 6, 8

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружноститретьей прямой внутренние (или внешние) разносторонние углы равны или внутренние односторонние в сумме составляют 180°, то Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружностипараллельны.
  2. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Окружность и круг

Кругом с центром Формулы планиметрии для окружностии радиусом Формулы планиметрии для окружностиназывают фигуру, образованную всеми точками плоскости, которые отдалены от точки Формулы планиметрии для окружностина расстояние, не больше чем Формулы планиметрии для окружности. Круг ограничен окружностью. Окружностью с центром Формулы планиметрии для окружностии радиусом Формулы планиметрии для окружностиназывают множество точек плоскости, отдаленных от точки Формулы планиметрии для окружностина расстояние, равное Формулы планиметрии для окружности(рис. 1.7, а).

Формулы планиметрии для окружности

Отрезки, которые соединяют центр с точками окружности и имеют длину Формулы планиметрии для окружности, называют радиусами окружности (круга).

Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называют круговыми секторами (рис. 1.7, б).

Хорда — отрезок, который соединяет две точки окружности Формулы планиметрии для окружности, — делит круг на два сегмента, а окружность — на две дуги. Диаметр — наибольшая хорда окружности Формулы планиметрии для окружности.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит пополам эту хорду и обе дуги, которые стягиваются ею, и наоборот, если диаметр проведен через середину хорды, то он перпендикулярен этой хорде и делит пополам дугу, которую она стягивает (рис. 1.8, а).

Дуги, которые находятся между параллельными хордами, равны между собой. Равные дуги стягиваются равными хордами, и наоборот, равные хорды стягивают равные дуги.

Равные хорды одинаково отдалены от центра, и наоборот, хорды, одинаково отдаленные от центра, равны между собой. Большая из двух хорд меньше отдалена от центра, и наоборот, из двух хорд больше та, которая меньше отдалена от центра (рис. 1.8, а).

Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?

Формулы планиметрии для окружности

Рассмотрим окружность с центром Формулы планиметрии для окружностии прямую Формулы планиметрии для окружности(рис. 1.8, б). Из точки Формулы планиметрии для окружностипроведем перпендикуляр к прямой Формулы планиметрии для окружности. Пусть Формулы планиметрии для окружности-основание этого перпендикуляра. Возможны три случая: точка Формулы планиметрии для окружностинаходится вне окружности Формулы планиметрии для окружности, на окружности Формулы планиметрии для окружностии внутри окружности Формулы планиметрии для окружности. В каждом из этих случаев окружность и прямая Формулы планиметрии для окружностилибо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку Формулы планиметрии для окружности( Формулы планиметрии для окружности— касательная к окружности), либо имеют две общие точки ( Формулы планиметрии для окружности— секущая).

Прямая, проходящая через точку окружности, является касательной к окружности только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Если касательная параллельна хорде окружности, то точка касания делит пополам дугу, которую стягивает хорда (рис. 1.8, в; Формулы планиметрии для окружности).

Если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки этих касательных (от точек касания до данной точки) равны между собой, а луч, проведенный через данную точку и центр окружности, делит пополам угол между касательными (рис. 1.8, в; Формулы планиметрии для окружности).

Формулы планиметрии для окружности

Вписанным углом в окружность называют угол, образованный двумя хордами, выходящими из одной точки на окружности (рис. 1.9). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, между собой равны. Вписанный угол, который опирается на полуокружность (на диаметр), — прямой.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Центральный угол, стороны которого пересекают окружность в тех же точках, что и вписанный, называется соответствующим центральным углом вписанного (рис. 1.10). Мера вписанного угла равна половине меры соответствующего центрального или дополняет его половину до 180°. Угол, образованный хордой и касательной, которая проходит через конец хорды, измеряется половиной дуги, находящейся между сторонами этого угла (рис. 1.11; Формулы планиметрии для окружности). Угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых находится между сторонами этого угла, а другая — между продолжениями этих сторон.

Формулы планиметрии для окружности

Угол, образованный двумя касательными, называется описанным (рис. 1.8, в; Формулы планиметрии для окружности). Описаный угол измеряется полуразностью двух дуг, которые находятся между его сторонами Формулы планиметрии для окружности.

Длину окружности находят по формуле: Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— диаметр окружности, Формулы планиметрии для окружности— радиус окружности; а длину дуги окружности — по формуле: Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— градусная мера соответствующего центрального угла. Площадь круга: Формулы планиметрии для окружности; площадь кругового сектора: Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— радиус круга, Формулы планиметрии для окружности— градусная мера соответствующего центрального угла. Площадь сегмента: Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а Формулы планиметрии для окружности— площадь треугольника с вершинами в центре круга и на концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «-» следует использовать, когда Формулы планиметрии для окружности180°.

Многоугольники

Многоугольником называется простая замкнутая ломанная. Например, многоугольником Формулы планиметрии для окружностиназывается линия, полученная путем последовательного соединения п различных точек Формулы планиметрии для окружностиотрезками таким образом, чтобы каждая точка была соединена со следующей, а последняя — с первой (рис. 1.12). Различают многоугольники плоские и неплоские.

Плоский многоугольник — часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым.

Многоугольник выпуклый, если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (рис. 1.12, б, г, д).

Формулы планиметрии для окружности

Многоугольники называют равными, если при наложении они совмещаются. Для выпуклого Формулы планиметрии для окружности-угольника сумма внутренних углов равна Формулы планиметрии для окружности, а количество диагоналей любогоФормулы планиметрии для окружности-угольника равно Формулы планиметрии для окружности. Если все стороны выпуклого многоугольника равны между собой и все углы также равны между собой, то его называют правильным (рис. 1.12, д). Если все вершины многоугольника лежат на некоторой окружности, он называется вписанным в эту окружность (рис. 1.13, а). Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, он называется описанным вокруг окружности (рис. 1.13, б). По количеству сторон Формулы планиметрии для окружности-угольника ему дают название. Например, треугольник Формулы планиметрии для окружности, четырехугольник Формулы планиметрии для окружности, пятиугольник Формулы планиметрии для окружностии т.д.

Формулы планиметрии для окружности

Как построить правильный Формулы планиметрии для окружности-угольник?

Если окружность разделить на Формулы планиметрии для окружностиравных частей и точки последовательно соединить отрезками, то получим правильный Формулы планиметрии для окружности-угольник, вписанный в окружность (рис. 1.14).

Формулы планиметрии для окружности

Если окружность разделить на Формулы планиметрии для окружностиравных частей и через точки деления провести касательные к окружности, то отрезки этих касательных образуют правильный Формулы планиметрии для окружности-угольник, описанный вокруг окружности (рис.1.15).

Формулы планиметрии для окружности

Вокруг каждого правильного многоугольника можно описать окружность или в каждый правильный многоугольник можно вписать окружность.

В правильном многоугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Общий центр описанной и вписанной окружностей называется центром правильного многоугольника. Радиус вписанной окружности называют апофемой правильного многоугольника.
Угол, образованный двумя радиусами, проведенными через смежные вершины правильного многоугольника, называется его центральным углом. Все центральные углы правильного многоугольника равны между собой и составляют Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— количество сторон (углов) многоугольника.
В правильном Формулы планиметрии для окружности-угольнике, как и в произвольном Формулы планиметрии для окружности-угольнике, сумма всех углов (внутренних) составляет Формулы планиметрии для окружности. Поэтому каждый его угол определяется по формуле Формулы планиметрии для окружности.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, является точкой пересечения серединных перпендикуляров его сторон (рис. 1.15).

Если сторона правильного многоугольника равна Формулы планиметрии для окружности, радиус вписанной в него окружности — Формулы планиметрии для окружности, а радиус описанной вокруг него окружности — Формулы планиметрии для окружности, то между ними существует связь, которая выражается формулами:

Формулы планиметрии для окружности

Простейшим многоугольником является треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. На рисунке 1.16, Формулы планиметрии для окружностиизображена окружность с центром Формулы планиметрии для окружности, вписанная в треугольник Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности— радиус. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис и находится внутри треугольника. Поскольку площадь треугольника находят по формуле Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— полупериметр треугольника, то отсюда Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— стороны треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник, равноудален от его сторон.

Формулы планиметрии для окружности

Можно ли в любой четырехугольник вписать окружность?
Ответ. Нельзя. В четырехугольник можно вписать окружность только при условии, что суммы длин его противоположных сторон равны.

Вокруг произвольного треугольника можно описать окружность, притом только одну (см. рис. 1.16, б). Центр окружности, описанной вокруг треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам. Центр окружности Формулы планиметрии для окружности, описанной вокруг треугольника Формулы планиметрии для окружности, равноудален от его вершин.

На рисунке 1.16, б изображена окружность с центром Формулы планиметрии для окружности, описанная вокруг треугольника Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности— ее радиус. Если радиус описанной окружности Формулы планиметрии для окружности, стороны треугольника, вписанного в окружность, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— полупериметр треугольника, то

Формулы планиметрии для окружности

Можно ли описать окружность вокруг произвольного четырехугольника?
Ответ. Нельзя. Вокруг четырехугольника можно описать окружность только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°.

Треугольник и его элементы

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки. Рассмотрим Формулы планиметрии для окружности(рис. 1.17), в котором выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла Формулы планиметрии для окружностии три соответственно противолежащие им стороны Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным, если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90°.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (боковые стороны). Основанием равнобедренного треугольника является сторона, которая не равна ни одной из двух других равных сторон.
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним, или правильным.

Соотношение между сторонами и углами треугольника:

  • — против большей стороны лежит больший угол, и наоборот;
  • — против равных сторон лежат равные углы;
  • — теорема синусов: Формулы планиметрии для окружности;
  • — теорема косинусов: Формулы планиметрии для окружности(квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними).

Треугольник можно определить любой тройкой таких основных элементов: либо двумя сторонами и углом между ними, либо одной стороной и двумя углами, либо тремя сторонами.

Например, Формулы планиметрии для окружностисо сторонами Формулы планиметрии для окружностиможно задать так:

  1. Формулы планиметрии для окружности;
  2. Формулы планиметрии для окружности
  3. Формулы планиметрии для окружности

Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника: любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Из трех отрезков можно образовать треугольник тогда и только тогда, когда любая его сторона меньше суммы и больше разности двух других его сторон. В любом треугольнике можно провести три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Формулы планиметрии для окружности

Свойства биссектрисы угла треугольника: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника и является центром вписанной
в него окружности.

Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам (рис. 1.18; Формулы планиметрии для окружности— биссектриса, Формулы планиметрии для окружности).

Основные свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника.
  2. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в соотношении 2 : 1 (считая от вершин треугольника).
  3. Медиана делит треугольник на два треугольника, площади которых равны (рис. 1.18; Формулы планиметрии для окружности— медиана, Формулы планиметрии для окружности).
  4. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть треугольников, площади которых равны.

Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника, которая может находиться во внутренней или внешней области треугольника. Высоты треугольника, проведенные к его сторонам Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, обозначаются Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружностисоответственно. Высота треугольника Формулы планиметрии для окружностиопределяется через его стороны по формуле:

Формулы планиметрии для окружности.

Медиана треугольника Формулы планиметрии для окружности, проведенная к стороне Формулы планиметрии для окружности, определяется через стороны треугольника по формуле:

Формулы планиметрии для окружности

В каждом треугольнике можно построить три средние линии — отрезки, соединяющие середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник, площадь которого относится к площади основного треугольника как 1 : 4.

Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании треугольника равны; высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой.

Свойства равностороннего треугольника: все углы равны (каждый угол равен 60°); каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой; центр окружности, описанной вокруг треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него.

Прямоугольный треугольник имеет сторону, которая лежит против прямого угла, — гипотенузу Формулы планиметрии для окружностии две стороны, образующие прямой угол, — катеты Формулы планиметрии для окружности(рис. 1.19).

Формулы планиметрии для окружности

Стороны прямоугольного треугольника Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности( Формулы планиметрии для окружности— гипотенуза) связаны между собой соотношением, называемым теоремой Пифагора: Формулы планиметрии для окружности. Читается так: квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов
.

Свойства прямоугольного треугольника:

  1. Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности(рис. 1.19).
  2. Высота, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Формулы планиметрии для окружности.
  3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
  4. Для сторон прямоугольного треугольника справедливы отношения: Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Выпуклые четырехугольники

Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 1.20).

Формулы планиметрии для окружности

  1. Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.
  2. Противоположные стороны параллелограмма равны.
  3. Противоположные углы параллелограмма равны.
  4. Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  5. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
  6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма ( Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности) равна сумме квадратов всех его сторон:

Формулы планиметрии для окружности

Чтобы доказать, что некоторый заданный четырехугольник является параллелограммом, следует, согласно определению, убедиться в параллельности его противоположных сторон. Иногда такие рассуждения являются громоздкими, а иногда -излишними. Существуют другие доказанные признаки, на основании которых можно утверждать, что данный четырехугольник является действительно параллелограммом.

Если в четырехугольнике исполняется любое из таких условий:

  1. противоположные стороны попарно равны;
  2. две противоположные стороны равны и параллельны;
  3. противоположные углы попарно равны;
  4. диагонали в точке пересечения делятся пополам, — то такой четырехугольник является параллелограммом.

Прямоугольник — это параллелограмм, в котором все углы равны. Поскольку сумма углов четырехугольника равна Формулы планиметрии для окружности, то в прямоугольнике все углы прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма. Кроме того, он имеет еще одно свойство: диагонали прямоугольника равны.
Для прямоугольника справедлива и обратная теорема: если у параллелограмма диагонали равны, то он — прямоугольник. Эта теорема является признаком прямоугольника.

Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны. Кроме общих свойств параллелограмма, ромб имеет и другие, характерные только для него.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Справедлива и обратная теорема, которая является признаком ромба: если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны или если в нем диагонали делят углы пополам, то такой параллелограмм — ромб.

Формулы планиметрии для окружности

Квадрат — это параллелограмм, в котором все углы равны и все стороны равны.

Таким образом, квадрат — это прямоугольник с равными сторонами или квадрат — это ромб с равными углами (прямыми). Очевидно, что квадрат имеет все свойства прямоугольника и ромба.

Трапеция — это четырехугольник, в котором только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие стороны — боковыми сторонами.

Формулы планиметрии для окружности

Если боковые стороны трапеции равны между собой, такую трапецию называют равнобокой (рис. 1.21; Формулы планиметрии для окружности).

Равнобокая трапеция имеет такие свойства:

  1. Углы, прилежащие к основанию равнобокой трапеции, равны. Справедливо и обратное утверждение: если углы, прилежащие к основанию трапеции, равны, то такая трапеция равнобокая.
  2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
  3. Сумма противоположных углов равнобокой трапеции равна 180°.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией (рис. 1.21; Формулы планиметрии для окружности— средняя линия, Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности).

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме (рис. 1.21; Формулы планиметрии для окружности).

Видео:ВСЕ правила и формулы ПЛАНИМЕТРИИСкачать

ВСЕ правила и формулы ПЛАНИМЕТРИИ

Задачи и методы их решения

Для геометрии закономерным является то, что введенные основные понятия и сформулированная аксиоматика составляют основу для новых утверждений. Однако справедливость последних необходимо доказывать путем определенных рассуждений, основывающихся на ранее доказанных утверждениях или аксиомах. Так формируются математические задачи.

Что такое математическая задача?

Существуют разные определения этого понятия, например: математическая задача — это любое требование вычислить, построить, доказать, исследовать что-либо, или вопрос, равносильный такому требованию.

В каждой задаче что-то дано (условие) и что-то нужно доказать или найти (требование, вывод). Выполнить поставленное требование — и означает решить задачу. Отметим, что если истинность какого-либо, часто используемого математического утверждения установлена путем рассуждения (доказательства), то такое утверждение называют теоремой.

Можно ли утверждать, что для успешного решения геометрических задач и доказательства теорем достаточно свободно владеть всем теоретическим материалом?

Нет. Это не так. При хорошем знании теории следует овладеть еще и практическими навыками. А это возможно только в процессе решения задач, начиная с простейших и постепенно переходя к более сложным.

Математические задачи условно разделены на четыре вида, в соответствии с их требованиями: задачи на вычисление, доказательство, исследование и построение. С ними вы уже ознакомились в курсе планиметрии.

Приступая к решению задачи, следует выбрать метод. Методы делят:

  • а) по структуре — синтетический, аналитический, от противного и др.;
  • б) по использованию математического аппарата — алгебраический, векторный, координатный, метод площадей, метод геометрических преобразований и др.

Суть синтетического метода заключается в том, что, исходя из условия задачи или теоремы с использованием известных утверждений строится цепочка логических рассуждений, последнее из которых совпадает с требованием задачи. Приведем пример.

Пример №1

Формулы планиметрии для окружности

Биссектриса угла прямоугольника делит большую сторону на два отрезка -7 см и 9 см. Найдите периметр этого прямоугольника.
Дано: Формулы планиметрии для окружности— прямоугольник; Формулы планиметрии для окружности— биссектриса, Формулы планиметрии для окружности; Формулы планиметрии для окружности(или Формулы планиметрии для окружности).
Найти: Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности— биссектриса прямого угла Формулы планиметрии для окружности-секущая, поэтому Формулы планиметрии для окружностикак внутренние разносторонние. Формулы планиметрии для окружности— биссектриса, следовательно, Формулы планиметрии для окружности. Таким образом, Формулы планиметрии для окружности.
В Формулы планиметрии для окружности: Формулы планиметрии для окружности, следовательно, Формулы планиметрии для окружности— равнобедренный и Формулы планиметрии для окружности.
1. Если Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности, то Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности.
Формулы планиметрии для окружности.
2. Если Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности.
Формулы планиметрии для окружности.
Ответ. 46 см или 50 см.

Почему именно так?
Пусть по условию Формулы планиметрии для окружности— заданная биссектриса. Точка Формулы планиметрии для окружностиразбивает отрезок Формулы планиметрии для окружностина два отрезка Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности. Далее, учитывая параллельность противоположных сторон прямоугольника и их пересечение секущей ( Формулы планиметрии для окружности— биссектриса), устанавливаем равность двух углов треугольника. Это определяет вид треугольника -равнобедренный, а значит, равность двух сторон. Т.е. Формулы планиметрии для окружности.
Если Формулы планиметрии для окружности, то Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности; периметр: Формулы планиметрии для окружности.
Если Формулы планиметрии для окружности, то Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности; периметр: Формулы планиметрии для окружности. Таким образом, периметр прямоугольника может быть 46 см или 50 см.

Эта задача является опорной, поскольку на такой идее строятся многие задачи и для параллелограмма, и для трапеции. У этих фигур биссектриса угла отсекает всегда равнобедренный треугольник.

Отметим, что сокращенное обозначение углов в виде Формулы планиметрии для окружности Формулы планиметрии для окружности. упрощает запись и экономит время, поэтому в таких случаях им пользоваться удобнее.
Как видим, в процессе решения задачи 1 используются только известные геометрические утверждения и производятся соответствующие вычисления. Причем для каждой геометрической задачи такие рассуждения свои.

Суть аналитического метода состоит в том, что, исходя из требования (вывода) утверждения (теоремы или задачи) и опираясь на известное утверждение, строится цепочка логических рассуждений, которая показывает, что требование является следствием условия. Приведем пример.

Пример №2

Формулы планиметрии для окружности

Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: Формулы планиметрии для окружности— четырехугольник; Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности;Формулы планиметрии для окружности; Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности
Доказать: Формулы планиметрии для окружности— параллелограмм.

Формулы планиметрии для окружности— заданный четырехугольник. Формулы планиметрии для окружности Формулы планиметрии для окружности— середины соответствующих сторон. Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— диагонали четырехугольника Формулы планиметрии для окружности.
В Формулы планиметрии для окружности— средняя линия, следовательно, Формулы планиметрии для окружности.
В Формулы планиметрии для окружности— средняя линия, следовательно, Формулы планиметрии для окружности.
Имеем: 1. Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, следовательно, Формулы планиметрии для окружности(по признаку параллельных прямых).

2. Аналогично Формулы планиметрии для окружностикак средний линии треугольников Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности.
Итак, в четырехугольнике Формулы планиметрии для окружностипротивоположные стороны параллельны, следовательно, он — параллелограмм, согласно признаку параллелограмма. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Почему именно так?

Требование задачи: доказать. Это означает, что истинность утверждения следует подтвердить цепочкой рассуждений.
Чтобы четырехугольник Формулы планиметрии для окружностибыл параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны. Для этого заданный четырехугольник разбиваем на два треугольника одной диагональю, а потом — второй. Средние линии одной пары треугольников параллельны диагонали Формулы планиметрии для окружности, а второй пары — Формулы планиметрии для окружности. (Отрезок, соединяющий середины двух сторон, является средней линией треугольника, которая имеет свойство: параллельна третьей стороне треугольника.) Отсюда, средние линии каждой пары треугольников параллельны между собой. Таким образом, получаем, что в четырехугольнике Формулы планиметрии для окружностипротивоположные стороны параллельны, следовательно, он — параллелограмм.

Отметим: доказательство того, что четырехугольник, вершины которого являются серединами произвольного выпуклого четырехугольника, — параллелограмм, можно проводить и другими методами.
Синтетический и аналитический методы называют также прямыми методами решения математических задач.

Чтобы решить задачу прямым методом, следует начать с анализа содержания задачи, от которого зависит выбор метода решения. Далее необходимо создать модель в виде рисунка и продолжить рассуждать над каждым действием, которые в совокупности образуют цепочку действий, ведущих либо от условия к требованию, либо от требования к условию.

Суть метода доказательства от противного состоит в том, что, имея утверждение, строим новое, возразив выводу данного. Формулируется утверждение. Исходя из вывода противоположного утверждения, строим цепочку истинных утверждений, пока не получим утверждение, которое противоречит либо условию, либо известной аксиоме или теореме, либо предположению. Таким образом приходим к выводу, что противоположное утверждение ошибочно, а потому исходное является истинным (тут действует логический закон: из двух противоположных утверждений одно истинное, другое ошибочное, третьего не дано). Рассмотрим пример.

Формулы планиметрии для окружности

Пример №3

Докажите утверждение: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Строим противоположное утверждение: существуют две прямые, параллельные третьей и не параллельные между собой.

От противного. Предположим, что Формулы планиметрии для окружности, но Формулы планиметрии для окружности. Тогда Формулы планиметрии для окружности.
Получили утверждение, которое противоречит аксиоме параллельности: через точку Формулы планиметрии для окружностина плоскости проходят две различные прямые, параллельные третьей. Следовательно, противоположное утверждение ошибочно, поэтому исходное утверждение — истинное. Т.е. две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу. Ч.т.д.

Почему именно так?

Исходим из вывода нового утверждения: пусть прямые Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, параллельные третьей прямой Формулы планиметрии для окружности, не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке Формулы планиметрии для окружности. Получили, что через точку проходят две различные прямые, параллельные третьей. Это противоречит аксиоме параллельности. Пришли к противоречию. Последнее утверждение ошибочно, следовательно, исходное утверждение — истинное.

Математическую задачу считают решенной, если:

  1. записан ответ в виде числа, выражения, указан алгоритм построения рисунка, если это задача на вычисление, построение или исследование;
  2. подтверждено сформулированное в задаче утверждение, если это задача на доказательство.

Метод от противного называют непрямым методом решения математических задач.

Рассмотрим некоторые другие методы решения геометрических задач, которые делят на виды по использованию математического аппарата.

Алгебраический метод решения задач

Решая задачу алгебраическим методом, следует уделить внимание таким этапам:

  1. Моделирование текста задачи с помощью рисунка (в большинстве случаев).
  2. Введение обозначений искомых величин или тех, которые приводят к искомым (чаще всего буквами латинского алфавита).
  3. Составление уравнения или системы уравнений с использованием введенных определений и известных геометрических соотношений между искомыми и данными величинами.
  4. Решение составленного уравнения или системы уравнений. Возврат к введенным обозначениям и определение искомых геометрических величин. По необходимости, выполнение исследования найденных решений.
  5. Запись ответа.

Задачи, в которых задана зависимость между двумя измерениями, сводятся к решению уравнения. Например, одна из сторон параллелограмма на 3 см длиннее другой, а периметр -30 см. Нужно найти длины сторон параллелограмма. Тогда, введя переменную Формулы планиметрии для окружностикак длину стороны этого параллелограмма, имеем длину второй стороны Формулы планиметрии для окружности. Учитывая определение периметра параллелограмма и его известное значение, получаем уравнение:

Формулы планиметрии для окружности

Приведем другие примеры решения задач алгебраическим методом.

Пример №4

Формулы планиметрии для окружности

Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Гипотенуза относится к катету как 5 : 3. Найдите стороны треугольника.

Дано: Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности
Найти: Формулы планиметрии для окружности

Обозначим коэффициент пропорциональности через Формулы планиметрии для окружности. Тогда Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности Формулы планиметрии для окружностиили Формулы планиметрии для окружности Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности Формулы планиметрии для окружности
Ответ. 15 см, 9 см и 12 см.

Почему именно так?
Формулы планиметрии для окружности— единственное линейное измерение, с которым связаны стороны треугольника.

Формулы планиметрии для окружности

Пусть Формулы планиметрии для окружности, отсюда Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности.
Формулы планиметрии для окружности. Определить сторону Формулы планиметрии для окружностиможно по теореме Пифагора: Формулы планиметрии для окружности, отсюда Формулы планиметрии для окружности. Метод решения — алгебраический, поскольку используется математическая модель — уравнение Формулы планиметрии для окружности.

Пример №5

Формулы планиметрии для окружности

В параллелограмме диагонали равны 16 см и 20 см. Меньшая из них перпендикулярна к его стороне. Найдите площадь этого параллелограмма.
Дано: Формулы планиметрии для окружности— параллелограмм;
Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности.

Найти: Формулы планиметрии для окружности

Почему именно так?
Пусть Формулы планиметрии для окружности— заданный параллелограмм, в котором Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности.
Обозначим стороны параллелограмма:
Формулы планиметрии для окружности. Тогда имеем уравнение: Формулы планиметрии для окружности, отсюда Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности
По теореме Пифагора из Формулы планиметрии для окружности(Формулы планиметрии для окружности):

Формулы планиметрии для окружности, т.е. имеем: Формулы планиметрии для окружностиили Формулы планиметрии для окружности.
Составим систему уравнений:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

Ответ. Формулы планиметрии для окружности

Почему именно так?

В ходе решения этой задачи сначала выбираем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружности— основание параллелограмма, Формулы планиметрии для окружности— высота, проведенная к нему. Формулы планиметрии для окружности, поэтому Формулы планиметрии для окружностиявляется высотой параллелограмма, проведенной к сторонам Формулы планиметрии для окружностиили Формулы планиметрии для окружности, длины которых неизвестны. Стороны параллелограмма связаны с его диагоналями формулой Формулы планиметрии для окружности

Длины сторон параллелограмма являются неизвестными, поэтому, очевидно, следует составить систему уравнений. Одно уравнение можно получить по вышеуказанной формуле, а второе — исходя из того, что диагональ параллелограмма перпендикулярна, имеем прямоугольный треугольник с двумя неизвестными сторонами (они же и стороны параллелограмма).
Отметим, что, принимая во внимание требование задачи, можно не искать обе стороны параллелограмма, а только, например, сторону Формулы планиметрии для окружности.

Метод площадей

Если условие задачи содержит данные, по которым легко найти площадь одним из способов, то это делают в первую очередь. С помощью другого способа для вычисления площади этой самой фигуры делают второй шаг — составляют уравнение, в котором одно из линейных измерений неизвестно. Приравнивая площади, получают уравнение с одним неизвестным.

Пример №6

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите высоту, проведенную к стороне, которая имеет длину 14 см.

Пусть Формулы планиметрии для окружности— стороны некоторого Формулы планиметрии для окружности, причем Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— высота, проведенная к средней стороне. По формуле Герона: Формулы планиметрии для окружностиа по другой формуле: Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

Ответ. Формулы планиметрии для окружности.

Почему именно так?

Имея три стороны треугольника Формулы планиметрии для окружностиможно найти его площадь по формуле Герона: Формулы планиметрии для окружностигде Формулы планиметрии для окружности
С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формулам: Формулы планиметрии для окружностигде Формулы планиметрии для окружности— высота, проведенная к Формулы планиметрии для окружности-й стороне. Осталось выбрать сторону треугольника и получить уравнение: Формулы планиметрии для окружностив котором неизвестным будет Формулы планиметрии для окружности.

Отметим, что хотя во время решения задачи 6 использовалось алгебраическое уравнение, более существенными в решении этой задачи являются рассуждения о площади фигуры. Поэтому такой метод получил название метод площадей.

Пример №7

Формулы планиметрии для окружности

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 6 см. Найдите длину биссектрисы прямого угла.

Дано: Формулы планиметрии для окружности; Формулы планиметрии для окружности— биссектриса; Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности.
Найти: Формулы планиметрии для окружности.

Пусть Формулы планиметрии для окружности— данный прямоугольный треугольник (Формулы планиметрии для окружности), в котором Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности-биссектриса прямого угла.
Введем обозначение: Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности. Найдем площадь Формулы планиметрии для окружностидвумя разными способами:

Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

Почему именно так?

Площадь Формулы планиметрии для окружностиможно найти по формуле Формулы планиметрии для окружности, где Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— два катета.
Биссектриса разделила Формулы планиметрии для окружностина два треугольника, площади которых неизвестны. Их площади можно найти по формуле:

Формулы планиметрии для окружности

где Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности— стороны треугольника, а Формулы планиметрии для окружности— угол между ними, т.е. Формулы планиметрии для окружности.
Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Поскольку Формулы планиметрии для окружностиа биссектриса Формулы планиметрии для окружностиявляется неизвестной, то получим уравнение с одним неизвестным.

Метод векторов

Чтобы применить метод векторов к решению задачи, необходимо выполнить следующие действия:

  1. Перевести задачу на язык векторов, т.е. рассмотреть некоторые данные в ней отрезки как векторы и составить векторное равенство.
  2. Осуществить преобразование для векторного равенства, пользуясь соответствующими свойствами действий над векторами и известными векторными равенствами.
  3. Вернуться от векторного языка к геометрическому.
  4. Записать ответ.

Метод векторов чаще всего используется при решении задач, в которых требуется доказать: параллельность прямых (отрезков), деление отрезка в определенном соотношении; что три точки лежат на одной прямой; что данный четырехугольник — параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция). Проиллюстрируем суть этого метода на примере решения задачи.

Пример №8

Формулы планиметрии для окружности

Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: Формулы планиметрии для окружности— четырехугольник;

Формулы планиметрии для окружности

Доказать: Формулы планиметрии для окружности— параллелограмм.

1. Переведем задачу на язык векторов, заменив отрезки векторами: Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности.

2. Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов: Формулы планиметрии для окружности. Учитывая, что Формулы планиметрии для окружности( Формулы планиметрии для окружности— середина Формулы планиметрии для окружности) и Формулы планиметрии для окружности( Формулы планиметрии для окружности— середина Формулы планиметрии для окружности), получаем равенство: Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности
Поэтому Формулы планиметрии для окружности.
Аналогично Формулы планиметрии для окружности.

3. Поэтому Формулы планиметрии для окружности. Т.е. векторы одинаково направлены, лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Это доказывает, что Формулы планиметрии для окружности— параллелограмм. Ч.т.д.

Почему именно так?

Переведя задачу на язык векторов, получаем требование задачи: доказать равность векторов Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности. Воспользовавшись правилом треугольника для нахождения суммы векторов, имеем:

Формулы планиметрии для окружности

Однако Формулы планиметрии для окружности Формулы планиметрии для окружностипоэтому Формулы планиметрии для окружности.
Аналогично получаем, что Формулы планиметрии для окружности.
Таким образом, Формулы планиметрии для окружностиФормулы планиметрии для окружности, что и требовалось доказать.

Метод координат

Решая задачу координатным методом, следует выполнить такие действия:

  1. Записать геометрическую задачу на языке координат.
  2. Преобразовать выражение или вычислить его значение.
  3. Перевести найденный результат на язык геометрии.
  4. Записать ответ.

Методом координат чаще всего решают задачи:

  • на нахождение геометрических мест точек;
  • на доказательство зависимостей между линейными элементами геометрических фигур.

Решая задачу методом координат, необходимо рационально выбрать систему координат: данную фигуру следует разместить относительно осей координат таким образом, чтобы как можно больше координат нужных точек равнялось нулю, а также одному и тому же числу. Например, координаты вершин прямоугольника Формулы планиметрии для окружностиможно выбрать так, как на рисунке 1.35: Формулы планиметрии для окружности

Формулы планиметрии для окружности

Проиллюстрируем суть метода координат на примере.

Пример №9

Докажите, что когда у параллелограмма диагонали равны, то он прямоугольник.

Разместим параллелограмм в системе координат таким образом, чтобы его вершины имели координаты: Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружности, причем Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

По условию Формулы планиметрии для окружности. Выразим расстояние между точками Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружности, Формулы планиметрии для окружностии Формулы планиметрии для окружностичерез их координаты:
Формулы планиметрии для окружности
ТогдаФормулы планиметрии для окружности, или Формулы планиметрии для окружности, отсюда Формулы планиметрии для окружности.

Поскольку Формулы планиметрии для окружности, тоФормулы планиметрии для окружности, а это означает, что точка Формулы планиметрии для окружностилежит на оси Формулы планиметрии для окружности.

Поэтому угол Формулы планиметрии для окружностипрямой. Отсюда следует, что параллелограмм Формулы планиметрии для окружности— прямоугольник.

Метод геометрических преобразований: метод поворота, метод симметрии, метод параллельного переноса, метод гомотетии.

Решая задачи методом геометрических преобразований, наряду с данными фигурами рассматривают новые, полученные из данных с помощью определенного преобразования. Выясняют свойства новых фигур, переносят эти свойства на данные фигуры, а затем находят способ решения задачи.

Говорят, что задачи, решенные методами векторов, координат, геометрических преобразований, площадей и другими методами, в которых используется больше свойств геометрических фигур, решены геометрическими методами.

Геометрия — одна из древнейших математических наук. Первые геометрические факты отображены в вавилонских клинописных таблицах, египетских папирусах и других источниках VI-III в. до н.э.

Название науки «геометрия» происходит от двух древнегреческих слов: «geo» (гео) — земля и «metreo» (метрео) — измере ние. В развитии геометрии выделяют четыре основных периода.

Первый период — зарождение геометрии как науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до V в. до н.э. Именно тогда ученые установили первые общие закономерности в природе и воспроизвели их в зависимостях между геометрическими величинами. Основной проблемой геометров того периода было вычисление некоторых площадей и объемов. Логических обоснований в задачах было очень мало. В основном геометрические свойства доказывались практическими наблюдениями, поиском закономерностей, экспериментальным путем, т.е. эмпирически.

Второй период — формирование геометрии в структурную систему. В VII в. до н.э. центром развития геометрии стала Греция. Древние геометры работали над систематизацией накопленных и новых знаний, устанавливали связи между геометрическими фактами, разрабатывали приемы доказательств. Значительный вклад в развитие математики, в частности геометрии, в этот период сделали Пифагор, Платон, Аристотель, Фалес, Анаксигор, Демокрит, Евклид. В книге «Начала» Евклида сформулированы понятия о фигуре, о геометрическом утверждении и доказательстве. Они остаются актуальными и сегодня.

Третий период — дополнение геометрии новыми методами -начался в первой половине XVII в., когда французский ученый Рене Декарт разработал метод координат, связавший евклидову геометрию с алгеброй и математическим анализом. Использование методов этих наук в геометрии дало возможность создать новые науки — аналитическую, а позднее — дифференциальную геометрию, проективную и начертательную геометрию. Таким образом, евклидова геометрия поднялась на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматривались гораздо более общие фигуры и использовались новые методы.

Четвертый период — создание неевклидовой геометрии -связан с именем российского ученого Николая Ивановича Лобачевского, открывшего в 1826 г. возможности для создания неевклидовых геометрий. Им была построена совершенно новая, неевклидова геометрия, которую теперь называют геометрией Лобачевского.

Особенность начатого Н.И. Лобачевским периода в истории геометрии состоит в том, что после его открытия начали развиваться новые геометрические теории, новые «геометрии» и соответствующие обобщения самого предмета геометрии. В этот период возникло понятие о разновидностях пространства (термин «пространство» в науке может означать как обычное реальное пространство, так и абстрактное, «математическое», пространство). Некоторые теории создавались внутри евклидовой геометрии, как ее особые разделы, а позднее приобретали статус самостоятельных. Другие, подобно геометрии Лобачевского, вводили изменения аксиом и структурировались на основе этих изменений, обобщая и строя науку.

Именно так была создана геометрия Римана (Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) — немецкий ученый) и ее обобщения (1854-1866), получившие применение в теории относительности, механике и др.

В школьном курсе мы изучаем геометрию Евклида. Перевел труд древнегреческого ученого «Начала» украинский математик Михаил Егорович Ващенко-Захарченко (1825-1912) в 1880 г. На основе этой книги написано множество учебников по геометрии. Например, преподавание геометрии в советской школе почти до 1982 г. осуществлялось по учебнику российского педагога-математика А.П. Киселева (1852-1940). В 1980-х годах украинским математиком А.В. Погореловым было создано новое учебное пособие. Его и сегодня можно найти в библиотеках общеобразовательных учебных заведений.
Современная геометрия является многовекторной и стремительно развивается в совокупностях математических теорий, изучающих различные пространства и их фигуры. Значительный вклад в геометрию сделали и наши соотечественники: М.В. Остроградский, А.М. Астряб, А.П. Киселев, А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и др.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Стереометрия — формулы, определение и вычисление
  • Возникновение геометрии
  • Призма в геометрии
  • Цилиндр в геометрии
  • Ортогональное проецирование
  • Декартовы координаты на плоскости
  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:ВСЯ ТЕОРИЯ И ВСЕ ЗАДАЧИ по планиметрии для №17 за 4 часа | ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

ВСЯ ТЕОРИЯ И ВСЕ ЗАДАЧИ по планиметрии для №17 за 4 часа | ЕГЭ 2024 по математике

Основные формулы планиметрии

Формулы планиметрии для окружности

Основные формулы планиметрии

-Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; a , b , g — величины углов A, B и C; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности;r — радиус вписанной окружности; S — площадь; hA — высота, проведенная из вершины A)

-Параллелограмм (a и b — смежные стороны; a — угол между ними;ha — высота, проведенная к стороне a): .

Просмотр содержимого документа
«Основные формулы планиметрии»

Основные формулы планиметрии

1. Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; , , — величины углов A, B и C; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности;r — радиус вписанной окружности; S — площадь; hA — высота, проведенная из вершины A):
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности;
a 2 =b 2 +c 2 -2 b c cos — теорема косинусов;
Формулы планиметрии для окружности— теорема синусов.

Формулы планиметрии для окружности

2. Прямоугольный треугольник (a, b — катеты; c — гипотенуза; ac, bc — проекции катетов на гипотенузу):
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
a 2 +b 2 =c 2 — теорема Пифагора.
Формулы планиметрии для окружности;
Формулы планиметрии для окружности;
Формулы планиметрии для окружности;
Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

3. Равносторонний треугольник:
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности,
Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

4. Произвольный четырехугольник (d1 и d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь):
Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

5. Параллелограмм (a и b — смежные стороны; — угол между ними;ha — высота, проведенная к стороне a):
Формулы планиметрии для окружности.

Формулы планиметрии для окружности

6. Ромб:
Формулы планиметрии для окружности.

8. Квадрат (d — диагональ):
.

9. Трапеция (a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия):
;
.

10. Описанный многоугольник (p — периметр; r — радиус вписанной окружности):
S=pr.

11. Правильный многоугольник (an — сторона правильного n-угольника; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности):
;
.

13. Сектор (l — длина дуги, ограничивающей сектор; n o — градусная мера соответствующего центрального угла; — радианная мера центрального угла):
;
.

🔥 Видео

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Найти радиус окружности, метод площадей | математика профильСкачать

Найти радиус окружности, метод площадей | математика профиль

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профиль

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Окружности и треугольники | Геометрия, планиметрия, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ | Михаил ПенкинСкачать

Окружности и треугольники | Геометрия, планиметрия, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ | Михаил Пенкин

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Топ 3 темы планиметрии #математикапрофиль #геометрияегэСкачать

Топ 3 темы планиметрии #математикапрофиль #геометрияегэ

ЕГЭ. Математика. Планиметрия. Окружность.Скачать

ЕГЭ.  Математика. Планиметрия. Окружность.

Самая полезная формула в планиметрии ✨ #егэ #геометрия #математикаСкачать

Самая полезная формула в планиметрии ✨ #егэ #геометрия #математика

ЗАДАНИЕ 3 из ЕГЭ на окружность 🔍 #математика #егэ #егэ2022 #окружность #геометрия #планиметрияСкачать

ЗАДАНИЕ 3 из ЕГЭ на окружность 🔍      #математика #егэ #егэ2022 #окружность #геометрия #планиметрия

Вписанная окружность #егэ #математика #профиль #планиметрия #окружность #вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность #егэ #математика #профиль #планиметрия #окружность  #вписанная окружность

Планиметрия 1 задание. ЕГЭ по математике 2024 | Аня МатеманяСкачать

Планиметрия 1 задание. ЕГЭ по математике 2024 | Аня Матеманя

Планиметрия из ОГЭ. Онлайн школа EXAMhackСкачать

Планиметрия из ОГЭ. Онлайн школа EXAMhack

ЗАДАНИЕ 3 из ЕГЭ на окружность 🔍 #математика #егэ #егэ2022 #окружность #геометрия #планиметрияСкачать

ЗАДАНИЕ 3 из ЕГЭ на окружность 🔍      #математика #егэ #егэ2022 #окружность #геометрия #планиметрия
Поделиться или сохранить к себе: