Формула радиуса описанной окружности доказательство

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Формула радиуса описанной окружности доказательствоСерединный перпендикуляр к отрезку
Формула радиуса описанной окружности доказательствоОкружность описанная около треугольника
Формула радиуса описанной окружности доказательствоСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Формула радиуса описанной окружности доказательствоДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Видео:Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Формула радиуса описанной окружности доказательство,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Формула радиуса описанной окружности доказательство

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Формула радиуса описанной окружности доказательствоВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаФормула радиуса описанной окружности доказательствоОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательствоЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательствоЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовФормула радиуса описанной окружности доказательство
Площадь треугольникаФормула радиуса описанной окружности доказательство
Радиус описанной окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Формула радиуса описанной окружности доказательство

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаФормула радиуса описанной окружности доказательство

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательство

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовФормула радиуса описанной окружности доказательство

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Формула радиуса описанной окружности доказательство,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаФормула радиуса описанной окружности доказательство

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиФормула радиуса описанной окружности доказательство

Для любого треугольника справедливо равенство:

Формула радиуса описанной окружности доказательство

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Формула радиуса описанной окружности доказательство.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема синусов

Формула радиуса описанной окружности доказательство

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Формула теоремы синусов:

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Формула радиуса описанной окружности доказательство

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Формула радиуса описанной окружности доказательство

Формула радиуса описанной окружности доказательство
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Формула радиуса описанной окружности доказательство

  • Формула радиуса описанной окружности доказательство
    bc sinα = ca sinβ
    Формула радиуса описанной окружности доказательство
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Формула радиуса описанной окружности доказательство
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиусаСкачать

    Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса

    Описанная окружность

    Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Теорема

    Около любого треугольника можно описать окружность.

    Доказательство

    Дано: произвольный Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС.

    Доказать: около Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС можно описать окружность.

    Доказательство:

    1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Точка О равноудалена от вершин Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС. Теорема доказана.

    Замечание 1

    Около треугольника можно описать только одну окружность.

    Доказательство

    Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

    Замечание 2

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    Доказательство

    Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

    Доказательство

    Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоАDС, Формула радиуса описанной окружности доказательствоD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоАВС, откуда следует Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ + Формула радиуса описанной окружности доказательствоD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоАDС + Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоАВС = Формула радиуса описанной окружности доказательство(Формула радиуса описанной окружности доказательствоАDС + Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Формула радиуса описанной окружности доказательствоАDС + Формула радиуса описанной окружности доказательствоАВС = 360 0 , тогда Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ + Формула радиуса описанной окружности доказательствоD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательство360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

    Верно и обратное утверждение:

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

    Доказательство

    Дано: четырехугольник АВСD, Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСD = 180 0 .

    Доказать: около АВСD можно описать окружность.

    Доказательство:

    Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

    Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    Формула радиуса описанной окружности доказательствоВСDвнешний угол Формула радиуса описанной окружности доказательствоСFD, следовательно, Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоВFD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоFDE. (1)

    Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Формула радиуса описанной окружности доказательствоВFD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD и Формула радиуса описанной окружности доказательствоFDE = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоЕF = Формула радиуса описанной окружности доказательство(Формула радиуса описанной окружности доказательствоВАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоЕF), следовательно, Формула радиуса описанной окружности доказательствоВСDФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD.

    Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВЕD, тогда Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСDФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательство(Формула радиуса описанной окружности доказательствоВЕD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоВАD).

    Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Формула радиуса описанной окружности доказательствоВЕD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоВАD = 360 0 , тогда Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСDФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательство360 0 = 180 0 .

    Итак, мы получили, что Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСDФормула радиуса описанной окружности доказательство180 0 . Но это противоречит условию Формула радиуса описанной окружности доказательствоBАD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

    Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

    Формула радиуса описанной окружности доказательство

    По теореме о сумме углов треугольника в Формула радиуса описанной окружности доказательствоВСF: Формула радиуса описанной окружности доказательствоС + Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ + Формула радиуса описанной окружности доказательствоF = 180 0 , откуда Формула радиуса описанной окружности доказательствоС = 180 0 — ( Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ + Формула радиуса описанной окружности доказательствоF). (2)

    Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Формула радиуса описанной окружности доказательствоВ = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоЕF. (3)

    Формула радиуса описанной окружности доказательствоF и Формула радиуса описанной окружности доказательствоВFD смежные, поэтому Формула радиуса описанной окружности доказательствоF + Формула радиуса описанной окружности доказательствоВFD = 180 0 , откуда Формула радиуса описанной окружности доказательствоF = 180 0 — Формула радиуса описанной окружности доказательствоВFD = 180 0 — Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD. (4)

    Подставим (3) и (4) в (2), получим:

    Формула радиуса описанной окружности доказательствоС = 180 0 — (Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоЕF + 180 0 — Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD) = 180 0 — Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоЕF — 180 0 + Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD = Формула радиуса описанной окружности доказательство(Формула радиуса описанной окружности доказательствоВАDФормула радиуса описанной окружности доказательствоЕF), следовательно, Формула радиуса описанной окружности доказательствоСФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВАD.

    Формула радиуса описанной окружности доказательствоА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Формула радиуса описанной окружности доказательствоА = Формула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательствоВЕD, тогда Формула радиуса описанной окружности доказательствоА + Формула радиуса описанной окружности доказательствоСФормула радиуса описанной окружности доказательствоФормула радиуса описанной окружности доказательство(Формула радиуса описанной окружности доказательствоВЕD + Формула радиуса описанной окружности доказательствоВАD). Но это противоречит условию Формула радиуса описанной окружности доказательствоА + Формула радиуса описанной окружности доказательствоС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

    Примечание:

    Окружность всегда можно описать:

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    🌟 Видео

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

    Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

    Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

    Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

    Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность

    Геометрия Доказательство Площадь S треугольника можно вычислить по формуле S = abc/(4R) где a b cСкачать

    Геометрия Доказательство Площадь S треугольника можно вычислить по формуле S = abc/(4R) где a b c

    Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.Скачать

    Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов.  Доказательство.

    Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.Скачать

    Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Вписанная окружность. Доказательства свойствСкачать

    Вписанная окружность. Доказательства свойств
    Поделиться или сохранить к себе: