Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.
Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.
Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.
Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.
Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.
При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.
Свойства правильного шестиугольника
- все внутренние углы равны между собой
- каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
- все стороны равны между собой
- сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
- большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
- меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt ) раз больше его стороны.
- vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
- правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
- диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
- инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
- nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .
Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
(r = m = alargefrac<>normalsize)
Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
Периметр правильного шестиугольника
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
(S = pr = largefrac<>normalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Правильный шестиугольник и его свойства
Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac 4cdot 180^circ=90^circ) ;
каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac6cdot 180^circ=120^circ) .
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfracn\ r&=Rcdot cosdfracn end]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt>a^2) .
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac) .
Найти площадь правильного шестиугольника
На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.
Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.
Через сторону
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:
<S= dfrac<3sqrtcdot a^2>> , где a — сторона шестиугольника.
Через радиус вписанной окружности
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
<S= 2sqrtcdot r^2> , где r — радиус вписанной окружности.
Через радиус описанной окружности
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
<S= dfrac<3sqrtcdot R^2>> , где R — радиус описанной окружности.
Интересные факты
Форму правильного шестиугольника имеют пчелиные соты, сечение гаек и карандашей, кристаллическая решетка графита.