Формула окружности в параметрическом виде

Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Центр окружности

Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Уравнение окружности

Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:

• общее уравнение окружности
• стандартное уравнение окружности 1
• параметрическое уравнение окружности
• уравнение окружности в полярных координатах

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Общее уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где

В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Стандартное уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Параметрическое уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Уравнение окружности в полярных координатах

Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.

Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение окружности в параметрическом виде

Кардиоида

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли – линия, представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.

В полярных координатах

Укажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a 2 .

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

6. Параметрическое задание линий

Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.

Пусть M(x,y) – текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью ox . Из треугольника ОМА:

– параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 2896 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Содержание

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. ЗАДАНИЕ 18 (С5). АРТУР ШАРИФОВСкачать

Параметрическое представление функции [ править | править код ]

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

;> y = ψ ( t )

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как [1] :

y = ψ ( θ ( x ) ) = f ( x )

и производная функции может быть вычислена как

y ′ ( x ) = d y d x = y t ′ x t ′ = ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) >= >>= >

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно.

Видео:Уравнение окружностиСкачать

Параметрическое представление уравнения [ править | править код ]

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

Параметрическое уравнение [ править | править код ]

Близкое понятие — параметрическое уравнение [2] множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.

x = x ( t ) ; y = y ( t ) (кривая на плоскости), x = x ( t ) ; y = y ( t ) ; z = z ( t ) (кривая в 3-мерном пространстве),

Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.

Примеры [ править | править код ]

Уравнение окружности имеет вид:

x 2 + y 2 = r 2 . +y^ =r^ .>

Параметрическое уравнение окружности:

;> y = r sin ⁡ t ; 0 ≤ t 2 π > >>- > >>=1.>

Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :

t> ; y = b sh ⁡ t ; − ∞ t + ∞ Читайте также: Стабилизированная платформа отражатель fallout 4 как подключить

Предположим, что функция $x=phi (t)$ имеет обратную функцию $t= (x)$. Тогда справедливо равенство:

Параметрический способ задания функций широко применяется в механике. Так, если в плоскости некоторая материальная точка находится в движении (время $t$), и законы движения проекций этой точки на оси координат известны:

Уравнения являются параметрическими уравнениями траекторий движущейся точки. Исключая временной параметр, получим уравнение траектории в форме $y = f(x)$.

Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скорость $v_0$ на высоте $y_0$.

Допустим, что груз сбрасывается с момент пересечения самолетом оси Oy. Тогда очевидно, что горизонтальное перемещение груза равномерно и имеет постоянную скорость:

А вертикальное перемещение:

Следовательно, расстояние от груза до земли в произвольный момент падения:

Уравнения горизонтального и вертикального перемещения тела являются параметрическими. Для того, чтобы исключить временной параметр $t$, найдем его значение из первого уравнения.

Полученное выражение подставим во второе параметрическое уравнение чтобы найти уравнение траектории:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

Уравнения некоторых кривых в параметрической форме:

1. Окружность

Параметрические кривые окружности:

Рисунок 1. Окружность и ее параметрические кривые

Уравнение гиперболы имеет вид:

Параметрические кривые гиперболы:

Рисунок 2. Гипербола и ее параметрические кривые

Записать уравнение окружности в параметрическом виде.

Представим уравнение окружности в виде: [x^ +y^ =r^ ] [x^ +y^ =6^ ]

Значит, радиус $r$ равен 6.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Записать уравнение гиперболы в параметрическом виде.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Видео:#13. Задача с параметром: уравнение окружности!Скачать

Формула окружности в параметрическом виде

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности (Pleft( right)) до ее центра называется радиусом . Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса (R) с центром в начале координат ( каноническое уравнение окружности ) имеет вид
( + = ).

Уравнение окружности радиуса (R) с центром в произвольной точке (Aleft( right)) записывается как
( <left( right)^2> + <left( right)^2> = ).

Уравнение окружности, проходящей через три точки , записывается в виде: (left| <begin<*> <+ > & x & y & 1\ & <> & <> & 1\ & <> & <> & 1\ & <> & <> & 1 end> right| = 0.\)
Здесь (Aleft( <,> right)), (Bleft( <,> right)), (Cleft( <,> right)) − три точки, лежащие на окружности.

Уравнение окружности в параметрической форме
( left < beginx &= R cos t \ y &= Rsin t end right., ;;0 le t le 2pi),
где (x), (y) − координаты точек окружности, (R) − радиус окружности, (t) − параметр.

Общее уравнение окружности
(A + A + Dx + Ey + F = 0)
при условии (A ne 0), (D^2 + E^2 > 4AF).
Центр окружности расположен в точке с координатами (left( right)), где
(a = — largefrac<>normalsize,;;b = — largefrac<>normalsize.)
Радиус окружности равен
(R = sqrt <largefrac<<+ — 4AF>><>normalsize> )

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек ( фокусов эллипса ) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через (2c). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса . У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами . Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса . Большая полуось обозначается через (a), малая полуось − через (b). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением :
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = 1.)

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
( + = 2a),
где (), () − расстояния от произвольной точки (Pleft( right)) до фокусов () и (), (a) − большая полуось эллипса.

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
( = + ),
где (a) − большая полуось эллипса, (b) − малая полуось, (c) − половина фокусного расстояния.

Уравнение эллипса в параметрической форме
( left < beginx &= acos t \ y &= bsin t end right., ;;0 le t le 2pi),
где (a), (b) − полуоси эллипса, (t) − параметр.

Общее уравнение эллипса
(A + Bxy + C + Dx + Ey + F = 0),
где ( — 4AC Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
(A + C + Dx + Ey + F = 0),
где (AC > 0).

Периметр эллипса
(L = 4aEleft( e right)),
где (a) − большая полуось эллипса, (e) − эксцентриситет, (E) − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса
(L approx pi left[ <largefracnormalsizeleft( right) — sqrt > right],;;L approx pi sqrt <2left( <+ > right)>,)
где (a), (b) − полуоси эллипса.

Площадь эллипса
(S = pi ab)

📹 Видео

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Уравнение окружности | Геометрия 7-9 класс #90| ИнфоурокСкачать

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение ОкружностиСкачать