Формула окружности с минусом

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

sin(-a),cos(-a),tg(-a),ctg(-a). Минус в аргументе синуса, косинуса

И сразу два важных замечания.

Многие ученики думают, что если можно вынести минус из тригонометрической функции, то можно вынести и число, но это не так:

Квадрат меняет ситуацию. Всё дело в том, что (sin^2⁡(-x)=(sin⁡(-x) )^2=(-sin,⁡x )^2=sin^2⁡x), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.

Примеры из ЕГЭ

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений (frac), (frac<sqrt>), (frac<sqrt>) принимает наименьшее т.е. (cos,⁡frac=frac). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. (sin⁡,frac=frac<sqrt>). Получается:

Если вы не поняли почему (frac) и (frac) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью « Как обозначать числа с пи на числовой окружности? ». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью « Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы ».

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (44sqrt,tg,(-480^° )).
Решение. (44sqrt,tg(-480^° )=-44sqrt,tg(480^° )=-44sqrt,tg(360^°+120^° )=-44sqrt,tg(360^°+90^°+30^°)).

Находим (480^°) на окружности:

Соединяем точку, соответствующую (480^°) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:

Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, (tg(480^° )=-sqrt).
В итоге имеем: (44sqrt tg(-480^° )=-44sqrtcdot(-sqrt)=44cdot 3=132).
Ответ: (132).

Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью « Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? ».

Доказательства формул с минусом в аргументе:

Материалы к занятию по теме «Параметр в уравнении окружности»

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Материалы для занятия по теме

«Параметр в уравнении окружности»

1. Уравнение окружности.

(х ‒ х ₀ )² + (у ‒ у ₀ )² = R ², где А(х ₀ ; у ₀ ) ‒ центр окружности, R ‒ радиус.

х² + у² = R ² ‒ уравнение окружности с центром в начале координат.

2. Параметр – радиус.

Если а = 0, то (х ‒ х ₀ )² + (у‒ у ₀ )² = 0, то есть А(х ₀ ; у ₀ ) – точка.

Если а ˂ 0, то ни окружность, ни точка не существуют.

Если а > 0, то R =, на плоскости – концентрические окружности с центром (х ₀ ; у ₀ ).

Пример. (х ‒ 2)² + (у + 2)² = а (а > 0)

3. Параметр в одной из координат центра.

Одна координата с параметром: (х ‒ 2а)² + (у + 3)² = 9. У центра окружности меняется абсцисса, ордината постоянна. Значит, центры окружностей зафиксированы на прямой у = ‒3.

Задание : подставляя разные значения параметра а, определите координаты центров нескольких окружностей и выполните построение.

Аналогично: (х‒3)² +(у ‒ 2а)² = 9. У центра окружности меняется ордината, абсцисса постоянна. Центры окружностей зафиксированы на прямой х=3.

Задание: построить несколько окружностей, удовлетворяющих последнему уравнению.

4. Параметр в обеих координатах центра.

(х ‒ а)² + (у ‒ а)² = 1. Обе координаты с параметром.

Центр окружности ‒ точка А (а ; а). Так как абсцисса и ордината равны, то все точки такие находятся на прямой у = х. Тогда данное уравнение задает множество окружностей , центры которых лежат на прямой у = х , а радиус равен 1.

Задание : построить несколько окружностей, удовлетворяющих следующему уравнению (х ‒ а)² + (у + 2а)² = 4.

Подсказка. Найдем координаты центра окружности: (х ‒ а)² + (у ‒ (‒2а))² = 4

А(а;-2а), значит центры окружностей лежат на прямой у = ‒2х, радиус равен 2.

5. Параметр в координатах центра и в радиусе.

( х ‒ а)² + (у‒ 2а ‒1 )² = а². Это окружности с центрами на прямой у = 2а + 1, радиус равен а. При а=0 – точка.

Задания для самостоятельной работы.

№ 1. Указать центр, радиус и построить каждую окружность , заданную уравнением:

а) (х ‒ 3)² + (у + 2)² = 16; б) (х + 1)² + (у ‒ 4)² = 10.

№ 2. Выяснить, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найти координаты центра и радиус каждой окружности:

а) х² + у² + 8х ‒ 4у + 40 = 0;

б) х² + у² ‒ 2х + 4у ‒ 20 = 0;

в) х² + у² ‒ 4х ‒ 2у + 1 = 0.

№ 3. Выделить уравнение окружности, указать ее центр и радиус в задачах с параметром. Описать расположение графика уравнения на координатной плоскости. Выполнить построение:

а) х² + у² + 2ах ‒ 4у + а² ‒ 1 = 0;

б) х² + у² ‒ 6х + 4ау + 4а² = 0;

в) х² + у² ‒ 2а( х ‒ у ) = 4 ‒ 2а².

1.Геометрия. 7-9 классы : учебник для общеобразовательных организаций с приложением на электронном носителе / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – 3-е изд.-М. : Просвещение, 2014.-383 с.

2.Шестаков С.А. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.:МЦМНО. 2014.-240 с.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Курс добавлен 12.01.2022
• Сейчас обучается 931 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Курс добавлен 12.01.2022
• Сейчас обучается 703 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Курс добавлен 12.01.2022
• Сейчас обучается 335 человек из 72 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Сергеева Татьяна ВладиславовнаНаписать 489 15.02.2020

Номер материала: ДБ-1001835

15.02.2020 34

15.02.2020 7

15.02.2020 39

15.02.2020 35

15.02.2020 83

15.02.2020 33

15.02.2020 11

15.02.2020 125

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России ежегодно будут обучать плаванию не менее 500 тыс. детей

Время чтения: 2 минуты

Проходной балл ЕГЭ для поступления на бюджет снизился впервые за 10 лет

Время чтения: 3 минуты

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Утвержден список федеральных инновационных площадок в образовании на 2022 год

Время чтения: 1 минута

Более половины россиян сталкиваются с конфликтами в родительских чатах

Время чтения: 2 минуты

Стоимость обучения на первом курсе в вузах РФ за год выросла на 10%

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.