Формула герона радиус описанной окружности

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Формула герона радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где a – сторона треугольника.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Формула герона радиус описанной окружности

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Формула герона радиус описанной окружности

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Формула герона радиус описанной окружности

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Формула герона радиус описанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Формула герона радиус описанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формула герона радиус описанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭСкачать

Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭ

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Формула герона радиус описанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Формула герона радиус описанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Формула герона радиус описанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Формула герона радиус описанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Формула герона радиус описанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Формула герона радиус описанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:11 класс, 48 урок, Формула ГеронаСкачать

11 класс, 48 урок, Формула Герона

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Формула герона радиус описанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Формула герона радиус описанной окружности.

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникФормула герона радиус описанной окружности
Равнобедренный треугольникФормула герона радиус описанной окружности
Равносторонний треугольникФормула герона радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольникФормула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Формула герона радиус описанной окружности.

Формула герона радиус описанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Формула герона радиус описанной окружности.

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Произвольный треугольник
Формула герона радиус описанной окружности
Равнобедренный треугольник
Формула герона радиус описанной окружности
Равносторонний треугольник
Формула герона радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник
Формула герона радиус описанной окружности
Произвольный треугольник
Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Формула герона радиус описанной окружности.

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Формула герона радиус описанной окружности.

Равнобедренный треугольникФормула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Равносторонний треугольникФормула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникФормула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Видео:8 класс, 18 урок, Формула ГеронаСкачать

8 класс, 18 урок, Формула Герона

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Формула герона радиус описанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Формула герона радиус описанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Формула герона радиус описанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Формула герона радиус описанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Формула герона радиус описанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

Формула герона радиус описанной окружности

где p — полупериметр,

Формула герона радиус описанной окружности

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула герона радиус описанной окружностиФормула:

Формула герона радиус описанной окружности

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Формула герона радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Формула герона радиус описанной окружности

Формула герона радиус описанной окружности

Если без иррациональности в знаменателе, то

Формула герона радиус описанной окружности

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

🌟 Видео

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Секретные формулы площади треугольникаСкачать

Секретные формулы площади треугольника

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Формула ГЕРОНАСкачать

Формула ГЕРОНА

Формула ГеронаСкачать

Формула Герона

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Формулы площади треугольника. Формула Герона. Урок 27. Геометрия 11 классСкачать

Формулы площади треугольника. Формула Герона. Урок 27. Геометрия 11 класс

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

57. Формула ГеронаСкачать

57. Формула Герона
Поделиться или сохранить к себе: