Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника

Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является гипотенузой.

Если центр окружности лежит на стороне треугольникаДано : ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB

Доказать : ∆ABC — прямоугольный,

AB — хорда проходящая через центр окружности. Значит, AB — диаметр.

Значит, треугольник ABC — прямоугольный, AB — гипотенуза.

Что и требовалось доказать .

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найти AC, если BC=32.

Если центр окружности лежит на стороне треугольникаДано : ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB, R=20, BC=32

Так как центр описанной около треугольника окружности ABC окружности лежит на стороне AB, то ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.

Видео:Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48Скачать

Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Если центр окружности лежит на стороне треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Если центр окружности лежит на стороне треугольникаОкружность описанная около треугольника
Если центр окружности лежит на стороне треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Если центр окружности лежит на стороне треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Если центр окружности лежит на стороне треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Если центр окружности лежит на стороне треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЕсли центр окружности лежит на стороне треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника
Площадь треугольникаЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника
Радиус описанной окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Если центр окружности лежит на стороне треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЕсли центр окружности лежит на стороне треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№ 25 огэ M и N лежат на стороне AC треугольника на расстояниях 9 и 32 от вершины А. Найдите радиусСкачать

№ 25 огэ M и N лежат на стороне AC треугольника на расстояниях 9 и 32 от вершины А. Найдите радиус

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Если центр окружности лежит на стороне треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:ОГЭ 2023. Вариант 37, задание 16. И.В. Ященко 50 вариантов. Задача.Скачать

ОГЭ 2023. Вариант 37, задание 16.  И.В. Ященко 50 вариантов. Задача.

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Видео:Задача№25 ОГЭ Точка M и N лежат на стороне АС. Найдите радиус окружности, если cos ВАС ...Скачать

Задача№25 ОГЭ Точка M и  N лежат на стороне АС. Найдите радиус окружности, если cos ВАС ...

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Если центр окружности лежит на стороне треугольникаЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Если центр окружности лежит на стороне треугольникаУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

🌟 Видео

Геометрия Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 отСкачать

Геометрия Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

найти угол треугольника вписанного в окружность с центром на сторонеСкачать

найти угол треугольника вписанного в окружность с центром на стороне

16 задание ОГЭ 2023 Окружность Треугольник #Shorts #огэпоматематике2023 #геометрия #окружностьСкачать

16 задание  ОГЭ 2023 Окружность  Треугольник  #Shorts #огэпоматематике2023 #геометрия #окружность

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать

Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С  и касается прямой AB в

Центр окружности, описанной около треугольника, Вариант 1, задание 17, Ященко ОГЭ 2020Скачать

Центр окружности, описанной около треугольника, Вариант 1, задание 17, Ященко ОГЭ 2020
Поделиться или сохранить к себе: