Если прямая не перпендикулярна к 1 из 2 параллельных прямых то

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
3. Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.

Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b₁ и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b₁ ∊ β, α β = c (невозможно)→ а ‖ b

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.

• Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DC), к грани куба (DDC).Эти ребра — AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

• Две прямые называются перпендикулярными, если …..
• Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

• 
• 
• параллельны
• один
• она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
• перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Лекция по геометрии на тему: «Перпендикулярность в пространстве». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение: Две прямые в пространстве могут пересекаться. (Привести примеры перпендикулярных прямых, используя окружающую обстановку).

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a || b, a c

Доказать: b c

Через т.М | М a, М b и М c проведем прямые MA || a и MC || c. Так как a c (по условию), то АМС =90 0 . По условию a || b и MA || a (по построению) значит, b || MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и c параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90 0 b c, что и требовалось доказать.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

(Возможна запись: a или a).

Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.

a a b, a c, a d.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: a || b, a .

Доказать: b .

Проведем в плоскости произвольную прямую с. Так как a , то a с (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярна с. Так как с – произвольная прямая, то b перпендикулярна . (по определению). Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная): Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

(Доказать предлагается учащимся самостоятельно).

Теорема: Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Предлагается 2 способа доказательства.

Дано: a , b, c, b x c=0, a b, a c

Доказать: a .

Проведем в плоскости произвольную прямую р. (Если р не проходит через т.О, то можно провести р | || р через т.О) На прямых a, b, c, и p’ отложим векторы , , и соответственно. Так как , и , то =x+y (известно из курса планиметрии). Так как a b, то · =0; так как a c , то ·=0. Докажем, что . Найдем их скалярное произведение ·= ( x+y)=x·+y·=0 a p. Так как p произвольная прямая плоскости , то a (по определению). Что и требовалось доказать.

Дано: m, n, m x n=0, l m, l n

Доказать: l .

Проведем прямую p так, чтобы O p и p || l. l m, l n и p || l p n и p m. Пусть P и P₁ – точки прямой p такие, что OP=OP₁. Тогда m и n –оси симметрии и значит, — плоскость симметрии для этих точек, а следовательно, p . p и p || l l . Что и требовалось доказать.

Замечание: Еще одно доказательство теоремы в учебнике “Геометрия 10-11” Л.С. Атанасяна и др.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:

Если две плоскости и перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.

Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано: , А .

Доказать: a | A a, a .

Доказательство:

1. Проведем в произвольную прямую а; построим плоскость а, проходящую через т.А =b В плоскости через А проведем прямую с | c (c b по построению c а, т.к. ). Значит, с и есть искомая прямая.
2. Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с₁, тогда с || c₁ ,что не возможно т.к. с х с₁=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к

. Что и требовалось доказать

Можно предложить учащимся подготовить к семинару ответы на следующие вопросы:

Прямая а || , а b

. Существует ли прямая перпендикулярная к прямым а и b?

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки и свойства параллельных прямых

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Признаки параллельных прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

📸 Видео

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямойСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать