Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Теорема о касательной и секущей. Доказательство

Если из точки вне окружности проведены к ней касательная и секущая , то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Вот наша окружность, вот точка A вне окружности, вот секущая AD, вот её внешняя часть AC, и вот касательная AB. И нам надо доказать, что AD*AC=AB^2. Чтобы доказать, проведём две хорды BC и BD и рассмотрим получившиеся треугольники ABC и ABD. Они подобны , т.к. у них один угол общий — угол A, и два равных угла с зубчиками: угол BDA вписанный , а угол CBA образован касательной и хордой, и оба угла измеряются половиной общей дуги с зубчиками. Составим пропорцию из соответственных сторон: то есть запишем равенство отношений длинной стороны к стороне, лежащей против зубастого угла: AD/AB=AB/AC. Это равенство равносильно тому, которое и требовалось доказать.

Видео:Геометрия Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние отСкачать

Геометрия Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от

Свойство касательной и секущей

Теорема о пропорциональности отрезков секущей и касательной

(Свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки)

Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Другими словами, квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью.

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Дано : окр. (O;R), AK — касательная, AB — секущая,

окр. (O;R)∩AK=K, (O;R)∩AB=B, C

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущаяПроведём хорды BK и CK.

Рассмотрим треугольники ABK и AKC.

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

(как вписанный угол, опирающийся на дугу CK).

Значит, треугольники ABK и AKC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

По основному свойству пропорции

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Что и требовалось доказать .

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найти AC, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущаяДано :

∆ABC, B, C ∈ окр.(O;R) O∈AC, AB — касательная, AB=4, FC — диаметр, FС=15

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки,

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Пусть AF=x, тогда AC=x+15. Составим и решим уравнение:

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, AC=1+15=16.

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Геометрия Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 12 см и касательная, длина которойСкачать

Геометрия Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 12 см и касательная, длина которой

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    🎥 Видео

    Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать

    Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки

    Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

    Секущая и касательная. 9 класс.

    Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

    Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

    Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

    Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.

    №671. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекаетСкачать

    №671. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает

    Геометрия Докажите, что если через точку A к окружности проведены касательная AM (M – точка касания)Скачать

    Геометрия Докажите, что если через точку A к окружности проведены касательная AM (M – точка касания)

    Касательная и секущая к окружности.Скачать

    Касательная и секущая к окружности.

    касательная и секущая в окружностиСкачать

    касательная и секущая в окружности

    Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

    Секретная теорема из учебника геометрии

    Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

    Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

    Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать

    Геометрический смысл производной | Касательная

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    №672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

    №672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

    №661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

    №661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей
    Поделиться или сохранить к себе: