Если две прямые в пространстве параллельны то они лежат в одной плоскости верно ли это

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости называются скрещивающимися. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.

, так как

Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

= =

Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.

Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.

.

Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.

Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.

Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной. Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.

Так как , то .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельные прямые

Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельные прямая и плоскость

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Свойство прямой, параллельной данной плоскости

Если плоскость β проходит через прямую a , параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой b , то b || a .

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, которые не пересекаются.

Признаки параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Введение в стереометрию. Параллельность

Важные аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: (pi=(ABC)) (рис. 1).

2. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости: (ain pi) .
Говорят также, что плоскость содержит прямую: (pisubset a) (рис. 2).

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой: (picap mu=p) .
Данная прямая (p) называется линией пересечения плоскостей (рис. 3).

Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

Доказательство

1. Действительно, отметим на прямой (a) некоторые две точки (A) и (B) . Тогда мы получим три точки (A, B, C) , не лежащие на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость (pi) . А т.к. две выбранные точки (A) и (B) прямой лежат в этой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

2. Действительно, пусть (O) – точка пересечения данных прямых (p) и (q) . Отметим еще по одной точке (P) и (Q) на каждой прямой (отличающиеся от точки (O) ). Получили три точки (P, Q, O) , не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость (pi) . А т.к. две точки каждой прямой лежат в этой плоскости, то и все точки каждой прямой будут лежать в этой плоскости.

Определения

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Следствие 1

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 1

Через любую точку (A) в пространстве, не лежащую на данной прямой (b) , проходит прямая (a) , параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство

Через точку (A) и прямую (b) можно провести единственную плоскость (по аксиоме); пусть эта плоскость называется (pi) . Прямая (a) , параллельная прямой (b) , должна лежать с ней в одной плоскости, а также должна проходить через точку (A) , следовательно, должна лежать в плоскости (pi) . Но в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (теорема планиметрии), чтд.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Пусть (aparallel b) и (acap pi=A) . Докажем, что и (b) пересечет плоскость (pi) (назовем их точку пересечения (B) ).

Проведем через прямые (a) и (b) плоскость (mu) (это возможно в силу определения параллельных прямых). Тогда плоскости (pi) и (mu) имеют общую точку (A) , следовательно, имеют и общую прямую (p) , на которой лежат все их общие точки. Но т.к. (bparallel a) и (acap p=A) , то прямая (b) тоже пересекает прямую (p) . Значит, прямая (b) пересекает и плоскость (mu) (это и есть точка (B) ).

Теорема 3: о параллельности трех прямых

Если прямая (a) параллельна прямой (b) , а та в свою очередь параллельна прямой (c) , то (aparallel c) .

Доказательство

1) Отметим некоторую точку (C) на прямой (c) и проведем плоскость (pi) через прямую (a) и точку (C) . Прямая (c) будет лежать в этой плоскости. Действительно, т.к. прямая (c) и плоскость (pi) имеют общую точку (C) , то в противном случае прямая (c) будет пересекать эту плоскость. Но т.к. (bparallel c) , то и прямая (b) будет пересекать (pi) ; а т.к. (aparallel b) , то и прямая (a) будет пересекать эту плоскость. А это противоречит нашему построению.

2) Теперь прямые (a) и (c) лежат в одной плоскости, значит, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны. Предположим, что (c) пересекает (a) в точке (A) . Тогда получается, что через точку (A) проведены две прямые, параллельные прямой (b) , что противоречит теореме 1.

Определение

Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;

2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;

3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая (a) , не лежащая в плоскости (pi) , параллельна некоторой прямой (p) , лежащей в плоскости (pi) , то она параллельна данной плоскости (рис. 7).

Доказательство

Докажем, что прямая (a) не может пересекать плоскость (pi) (случай, что прямая лежит в плоскости, невозможен по условию). Предположим, что это не так. Во-первых, проведем плоскость (mu) через прямые (a) и (p) (значит, плоскости (pi) и (mu) пересекаются по прямой (p) ). Во-вторых, пусть (acappi=A) . Т.к. (aparallel p) , то точка (A) не может лежать на прямой (p) . Значит, плоскости (pi) и (mu) имеют еще одну общую точку (A) , не лежащую на их линии пересечения, что противоречит аксиоме 3. Чтд.

Следствие 2

Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu) . Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu) , то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p) (рис. 8).

Доказательство

Т.к. прямые (m) и (p) лежат в одной плоскости (pi) , то они могут быть либо параллельны, либо пересекаться, либо совпадать. Совпадать они не могут, потому что тогда (pin mu) , а это противоречит условию. Если (mcap p=O) , то (p) пересекает плоскость (mu) в точке (O) , что опять же противоречит условию. Значит, (mparallel p) .

Следствие 3

Если прямые (a) и (b) параллельны и прямая (a) также параллельна плоскости (alpha) , то и прямая (b) либо параллельна, либо лежит в плоскости (alpha) .

Определение

Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.

Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.

Теорема 5: признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Доказательство

Рассмотрим две плоскости (pi) и (mu) и в них пересекающиеся прямые (a, b) и (a_1, b_1) соответственно, такие что (aparallel a_1, bparallel b_1) . Докажем, что плоскости не имеют общих точек.

Предположим, что это не так. Пусть плоскости имеют общую точку, значит они имеют и общую прямую (y) : (picap mu=y) . Данная прямая не может быть параллельна обеим прямым (a) и (b) (т.к. они все лежат в одной плоскости (pi) ), значит, хотя бы одну из этих прямых она пересекает. Пусть это будет прямая (a) , то есть (acap y=Y) . Т.к. прямая (y) лежит и в плоскости (mu) , то (Yin mu) , то есть прямая (a) имеет с плоскостью (mu) общую точку (Y) . Но это невозможно, т.к. по признаку параллельности прямой и плоскости прямая (a) параллельна плоскости (mu) . Чтд.

Следствие 4

Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

[alphaparallel beta, alphacap gamma=a, betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]

Следствие 5

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны:

[alphaparallel beta, aparallel b Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2]

🎥 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

№3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости;Скачать

№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскостиСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать