Если диаметр делит хорду пополам, каково их взаимное расположение?
Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде.
Дано: окружность (O;R),
AB — диаметр, CD — хорда,
Соединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.
Так как OC=OD (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD.
Так как CP=PD, то OP — медиана треугольника COD, проведённая к основанию.
По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его высотой.
Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 70. ДИАМЕТР, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ К ХОРДЕ.
Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
Пусть диаметр АВ перпендикулярен к хорде СD (черт. 312). Требуется доказать, что
СЕ = ЕD, 
СВ = ВD, СА = DА.
Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике
СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание СD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и / 1 = / 2. Но / 1 и / 2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно СВ = ВD. Дуги СА и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.
Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.
Пусть диаметр АВ делит хорду СD пополам. Требуется доказать, что АВ_|_СD, СВ = ВD и СА = АВ (черт. 313).
Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, АВ_|_СD, а отсюда (по теореме 1) следует, что СА = АD; СВ = ВD .
Теорема 3 (обратная).Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.
Пусть диаметр АВ делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что
СК = КD и АВ _|_ СD.
Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы СВ = ВD, поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр АВ проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам
Пусть АВ – хорда окружности, CD – перпендикулярный ей диаметр, пересекающий АВ в точке М. Треугольник ОАВ – равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности. Тогда его высота ОМ является также и медианой, М – середина АВ.
1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а) Пусть АА1 также диаметр окружности. Докажите, что углы DNM и BA1D1 равны.
б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому N – середина АВ, М – середина АD.
Рассмотрим – средняя линия Значит, (накрест лежащие) – вписанные, опираются на одну дугу.
б) Найдем углы четырехугольника ABCD, если
Пусть тогда Треугольник – равнобедренный, поскольку медиана DN является его высотой. Значит, Тогда (из треугольника ).
– как центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
Рассмотрим В этом треугольнике:
Тогда – по свойству четырехугольника, вписанного в окружность.