Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

Диаметр делит хорду пополам

Если диаметр делит хорду пополам, каково их взаимное расположение?

Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде.

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамДано: окружность (O;R),

AB — диаметр, CD — хорда,

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСоединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.

Так как OC=OD (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD.

Так как CP=PD, то OP — медиана треугольника COD, проведённая к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его высотой.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.

§ 70. ДИАМЕТР, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ К ХОРДЕ.

Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Пусть диаметр АВ перпендикулярен к хорде СD (черт. 312). Требуется доказать, что
СЕ = ЕD, Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСВ = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамВD, Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСА = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамDА.

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике
СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание СD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и / 1 = / 2. Но / 1 и / 2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСВ = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамВD. Дуги СА и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.

Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.

Пусть диаметр АВ делит хорду СD пополам. Требуется доказать, что АВ_|_СD,
Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСВ = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамВD и Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСА = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамАВ (черт. 313).

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, АВ_|_СD, а отсюда (по теореме 1) следует, что Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСА = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамАD; Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСВ = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамВD .

Теорема 3 (обратная).Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.

Пусть диаметр АВ делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что
СК = КD и АВ _|_ СD.

Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамСВ = Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополамВD, поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр АВ проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам

Пусть АВ – хорда окружности, CD – перпендикулярный ей диаметр, пересекающий АВ в точке М. Треугольник ОАВ – равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности. Тогда его высота ОМ является также и медианой, М – середина АВ.

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть АА1 также диаметр окружности. Докажите, что углы DNM и BA1D1 равны.

б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.

Если диаметр окружности перпендикулярен хорде то он делит хорду пополам

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому N – середина АВ, М – середина АD.

Рассмотрим – средняя линия Значит, (накрест лежащие) – вписанные, опираются на одну дугу.

б) Найдем углы четырехугольника ABCD, если

Пусть тогда Треугольник – равнобедренный, поскольку медиана DN является его высотой. Значит, Тогда (из треугольника ).

– как центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Рассмотрим В этом треугольнике:

Тогда – по свойству четырехугольника, вписанного в окружность.

📺 Видео

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус перпендикулярен хордеСкачать

Радиус перпендикулярен хорде

Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Задача из советского КембриджаСкачать

Задача из советского Кембриджа

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Геометрия Хорда AB окружности с центром O перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам. НайдитеСкачать

Геометрия Хорда AB окружности с центром O перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам. Найдите

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

ОГЭ Задание 26 Свойство диаметра и хордыСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойство диаметра и хорды

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Радиус перпендикулярен хордеСкачать

Радиус перпендикулярен хорде

Геометрия. Свойства окружности. Диаметр и хордаСкачать

Геометрия. Свойства окружности. Диаметр и хорда

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

ОГЭ Задание 25 Теорема Фалеса Свойство диаметра и хордыСкачать

ОГЭ Задание 25 Теорема Фалеса Свойство диаметра и хорды

[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...Скачать

[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...
Поделиться или сохранить к себе: