Электрический потенциал дуги окружности

Теорема Гаусса и постулат Максвелла, представленные в интегральной форме, дают возможность решить ряд задач в тех случаях, когда условия симметрии таковы, что в каждой точке замкнутой поверхности интегрирования (поверхности симметрии), охватывающей заряды, вектор напряженности поля (или электрического смещения )

имеет одно и то же значение и может быть вынесен из-под интеграла.

Пример 1. Точечный заряд q = 10 -9 Кл помещен в начале сферической системы координат. Определить напряжение между точками а (R_a = 4см, q_а = 45 ° , j_а = 0 ° ) и b (R_b = 8см, , q_b = 180 ° , j_b = 90 ° ) и напряженность в тех же точках, если окружающей средой является воздух.

Решение будем проводить с помощью теоремы Гаусса (1.9), так как среда однородна.

Поскольку поле точечного заряда характеризуется сферической симметрией, то, если в качестве поверхности интегрирования взять поверхность сферы с центром в точке, где расположен заряд (в нашем случае это начало системы координат), то в любой точке на поверхности этой сферы напряженность поля будет иметь одно и то же значение. Направление же вектора будет совпадать с направлением радиуса, то есть перпендикулярно к поверхности сферы. В связи с этим, интеграл по этой поверхности, составленный по теореме Гаусса, можно преобразовать следующим образом:

.

Поскольку данный интеграл (согласно теореме Гаусса) равен отношению заряда, помещенного внутри сферы, к диэлектрической проницаемости среды, то напряженность поля будет определяться соотношением

Здесь индекс r у напряженности проставлен для того, чтобы показать, что напряженность поля имеет одну составляющую, направленную по радиусу.

Отметим, что данная формула полностью соответствует выражению (1.1), полученному из закона Кулона.

Поскольку напряженность электрического поля в данном случае имеет только радиальную составляющую, величина которой является функцией радиуса и не зависит от угловой координаты, то в указанных в исходном задании точках она будет равна:

Разность потенциалов между точками а и в определяется при помощи выражения (1.6). Эта разность в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования. Поэтому, если разбить путь интегрирования на две части и сначала проводить интегрирование вдоль радиуса от точки а до точки, которая является точкой пересечения продолжения этого радиуса с поверхностью воображаемой сферы с центром в начале координат и радиусом r_в, а затем проводить интегрирование по любой линии, лежащей на поверхности этой серы от данной точки до точки в, то интеграл вдоль этой линии будет равен нулю, поскольку вектор напряженности поля имеет одну составляющую, направленную вдоль радиуса, а подинтегральным выражением в формуле (1.6) является скалярное произведение вектора напряженности поля и вектора dl, который совпадает с касательной к поверхности сферы.

Таким образом, разность потенциалов между точками а и в будет равна

В.

Пример 2. Уединенный проводящий шар радиусом R₀ = 6 см, поверхностная плотность заряда которого s = 0,1*10 -6 Кл/м 2 , помещен в диэлектрик (e_r = 3).

Определить закон изменения напряженности поля и потенциала в функции расстояния r от центра шара, приняв потенциал равным нулю в бесконечности. Рассчитать напряжение между точками, одна из которых лежит на поверхности шара, а другая – на расстоянии 20 см от его поверхности. Вычислить емкость шара.

Поле внутри проводящего шара отсутствует. Поле вне шара обладает сферической симметрией, поэтому рассчитывается с помощью теоремы Гаусса точно так же как и для точечного заряда.

Здесь в качестве поверхности интегрирования взята поверхность сферы радиуса r ?

R₀ с центром, совпадающим с центром шара.

Заряд шара определяется через поверхностную плотность

Таким образом, напряженность поля вне шара имеет только одну радиальную составляющую и равна

0,1·10 -6 ·0,06 2 /(3·8,85·10 -12 r 2 ).

Потенциал в любой точке вне шара, находящейся на расстоянии r от его центра, определяется с помощью выражения (1.5), которое с учетом того, что напряженность поля направлена вдоль радиуса, будет иметь следующий вид:

Потенциал шара равен потенциалу любой точки, лежащей на поверхности шара (r = R₀) U =

13,56/0,06 = 173,8 В.

Разность потенциалов между любыми точками А (r = R_A) и В (r = R_В) определяется с помощью следующей формулы:

UA – UВ = 13,56· (1/RA – 1/RВ).

Таким образом, разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности шара, и точкой, отстоящей от поверхности на расстоянии 20 см, равна

UAВ = 13,56· (1/0,06 – 1/0,26) = 173,8 В.

Емкость шара можно определяется выражением (1.19)

С = 4·p·ere0·R0 = 4·p·3·8,85·10-12·0,06 = 2·10-11 Ф.

Шар из диэлектрика (e_r = 4) заряжен и расположен в воздухе. Объемная плотность заряда является функцией расстояния r от центра шара: r = k*r,

где k = 0,05p [Кл/м 4 ].

Радиус шара R = 2см. Рассчитать и построить графики изменения потенциала и напряженности поля вдоль радиуса.

данном случае поле также обладает сферической симметрией, но область не однородна. Поэтому здесь удобнее применять постулат Максвелла (1.10).

Так, при 0 ? r ? R где s – сферическая поверхность радиусом r с

центром, совпадающим с центром шара; v – объем, заключенный внутри этой поверхности.

Перепишем уравнение с учетом симметрии поля

Отсюда находим радиальную составляющую вектора электрического смещения:

Напряженность электрического поля, которая также как и вектор электрического смещения направлена по радиусу, внутри шара будет равна

Вне шара (r ? R) электрическое смещение, исходя из постулата Максвелла, определяется следующим образом:

Следовательно, электрическое смещение и напряженность поля будут равны:

Графики изменения напряженности поля и вектора электрического смещения представлены на рис.1.4. Значения напряженности поля и вектора электрического смещения даны в относительных единицах. За базисные значения приняты значения этих величин на поверхности шара, которые для заданных исходных данных соответственно равны E_rb = 4,435·10 5 В/м; D_rb = 1,571·10 -5 Кл/м 2 .

Потенциал поля внутри шара можно определить по формуле

,

где С₁ – постоянная интегрирования.

Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, определим потенциал любой произвольной точки в области вне шара.

.

Постоянную интегрирования С₁ можно определить из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара (при r = R)

.

.

График изменения потенциала вдоль радиуса также в относительных единицах показан на рис.1.4. За базисное значение потенциала принято значение потенциала на поверхности шара U_b = 35.5кВ.

Отметим, что если бы объемная плотность заряда r оставалась постоянной, то напряженность поля и потенциалы поля в соответствующих подобластях определялись бы следующими выражениями:

Постоянная С₁ в этом случае определяется также из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара

Пример 4. Сферический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутренней сферы r₁=12 мм, внутренний радиус наружной сферы – r₃=22 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=16 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r1=5, наружного слоя – e_r2=3. Разрез конденсатора показан на рис.1.5. Заряд конденсатора q = 10 -8 Кл.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами. Вычислить емкость конденсатора. Изменяя радиус поверхности раздела диэлектриков r₂ и значение диэлектрической проницаемости наружного слоя e_r2 получить конденсатор с наилучшим использованием двухслойного диэлектрика. Рассчитать емкость данного конденсатора и сопоставить ее с емкостью исходного конденсатора.

Решение. Используя постулат Максвелла для любой сферической поверхности радиусом r, построенной внутри k-го слоя (k=1,2) диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e_rk, получим выражение для вектора электрического смещения и напряженности электрического поля

Максимальное значение напряженности поля в первом слое, очевидно, будет на поверхности внутреннего электрода

Максимальное значение напряженности поля во втором слое на сферической поверхности раздела диэлектриков

Графики изменения напряженности поля в диэлектрике вдоль радиуса представлены на рис.1.6. Значения напряженности на графиках приведены в относительных единицах. За базисное значение принято максимальное значение напряженности в первом слое E_b= E_2max.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи следующего выражения:

Емкость конденсатора равна (1.15)

C=q/U₁₂ = 10 -8 /885,6 = 1,129·10 -11 Ф.

Отметим, что емкость сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

где С₁ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости второго слоя.

Поскольку емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.18), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

С1 = 4·p·8,85·10-12·5·0,012·0,016/(0,016-0,012) = 2,669·10-11Ф;

Для наилучшего использования диэлектриков в конденсаторе необходимо так подобрать толщину слоев, чтобы максимальное значение напряженности поля было одинаковым. Поскольку напряженность поля имеет максимальное значение у внутренней поверхности слоя, то для выполнения этого условия, необходимо, чтобы произведение квадрата внутреннего радиуса слоя на его диэлектрическую проницаемость было постоянным, то есть r₁ 2 e₁= r₂ 2 e₂=const.

Если значение диэлектрической проницаемости оставлять неизменным, а изменять толщину слоев, то с помощью данного выражения можно определить радиус поверхности раздела диэлектриков.

м.

Разность потенциалов U₁₂ и емкость такого конденсатора будут равны: U₁₂=910,13В; C=1,099*10 -11 Ф.

Пример 5.

Бесконечно длинная тонкая заряженная нить расположена в воздухе вдоль оси z цилиндрической системы координат (рис. 1.7). Линейная плотность заряда t=10 -9 Кл/м. Рассчитать и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Определить разность потенциалов между точками

m (r_m=10cм; q_m=270 ° ) и n (r_n=40cм; q_n=180 ° ).

Решение. В этом случае поле характеризуется цилиндрической симметрией, то есть во всех точках цилиндрической поверхности, охватывающей заряженную нить, произвольного радиуса r напряженность поля имеет одно и то же значение и направлена перпендикулярно к поверхности. Поэтому, если окружить нить цилиндрической поверхностью длиной l и радиусом r и использовать теорему Гаусса, то можно получить выражение для напряженности поля Е.

График изменения напряженности поля вдоль радиуса представлен на рис. 1.8.

Значение напряженности поля на графике даны в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности на расстоянии одного миллиметра от начала координат (Е_b=1,798·10 4 В/м).

Потенциал поля в любой точке m, расположенной на расстоянии r_m от оси провода, равен:

.

Здесь r_p – расстояние от оси провода до некоторой фиксированной точки пространства р, в которой потенциал принимается равным нулю.

Если за такую точку принять точку, расположенную на расстоянии одного метра от оси провода, то потенциал точки m будет равен:

.

Изменение потенциала вдоль радиуса представлено на рис. 1.8. Значения потенциала даны также в относительных единицах. За базисное значение потенциала принято значение потенциала в той же точке, что и базисное значение напряженности поля (U_b=124,226 В).

Разность потенциалов между точками, указанными в условии задачи, равна 24,931 В.

Пример 6.

Бесконечно длинный цилиндрический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутреннего электрода r₁=1 мм , внутренний радиус внешнего электрода – r₃=4 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=2 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r1=5, наружного слоя – e_r2=2,5. Поперечное сечение конденсатора показано на рис.1.9. Линейная плотность заряда конденсатора t = 10 -8 Кл/м.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами.

Вычислить емкость конденсатора на единицу длины.

Решение. Для решения задачи используем обобщенную теорему Гаусса. В качестве поверхности интегрирования возьмем замкнутую цилиндрическую поверхность длиной l и радиусом r (r₁?r?r₃).

.

Ввиду цилиндрической симметрии (вектор электрического смещения на этой поверхности не изменяется по величине и направлен по радиусу) последнее уравнение можно переписать следующим образом:

Напряженность поля в первом слое диэлектрика (r₁ ?r ? r₂) будет при этом равна:

График изменения напряженности поля представлен на рис.1.10. На графике значения напряженности поля представлены в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности в первом слое при r = r₁, ( E_b = 35,970 кВ/м).

Как видно из рис. 1.10, напряженность поля на границе раздела диэлектриков испытывает скачек. Для лучшего использования изоляции стараются подобрать толщину слоев диэлектрика и их диэлектрическую проницаемость таким образом, чтобы максимальное значение напряженности поля в обоих слоях было одинаково. Это будет соблюдаться при условии r₁e₁ = r₂e₂, как в данном примере.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи выражения (1.6), которое для цилиндрического конденсатора можно переписать в следующем виде:

74,792В.

Емкость конденсатора на единицу его длины будет равна:

С = t/U = 10 -8 /74,792 = 0,1337 нФ/м.

Отметим, что емкость цилиндрического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

где С₁ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрическойпроницаемости второго слоя.

Поскольку емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.23), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

Пример 7.

Бесконечно длинный цилиндр, выполненный из диэлектрика, относительное значение диэлектрической проницаемости которого e_r1 = 4, заряжен и находится в минеральном масле (e_r2 = 2,5).

Радиус цилиндра r₀ = 5мм (рис. 1.11). Объемная плотность заряда является функцией расстояния от оси цилиндра r = r/10.

Найти законы изменения потенциала и напряженности поля внутри и вне цилиндра в функции расстояния r от оси, приняв потенциал равным нулю на оси цилиндра (r = 0). Построить графики этих функций.

качестве поверхности интегрирования выбирается боковая поверхность цилиндра длиной один метр, радиусом r и с осью, совпадающей с осью исходного цилиндра. При 0 ? r ? r₀ внутри этой поверхности будет находиться заряд, величина которого может быть определена с помощью следующего выражения:

Таким образом, с учетом цилиндрической симметрии поля,

где А₁=9.416·10 8 В/м 3 .

В области вне цилиндра (r₀?r??)

Из этого выражения легко определяется напряженность поля вне цилиндра

Потенциал электрического поля внутри цилиндра (при условии, что точка, в которой потенциал поля принимается равным нулю, лежит на оси цилиндра) можно определить следующим образом:

Потенциал поля в области вне цилиндра равен

Здесь В₂ – постоянная интегрирования, которую можно найти из условия равенства потенциалов на поверхности цилиндра.

В.

Распределение напряженности электрического поля и потенциала представлено в относительных единицах на рис. 1.12. За базисные значения напряженности поля и потенциала приняты максимальное значение напряженности на границе раздела сред (Е_max=3.669·10 4 В/м) и значение потенциала при r=0.019 м (j_в=-284 В).

В частном случае, когда объемная плотность заряда r является постоянной величиной, решение упрощается, и выражения для функции напряженности поля и потенциала будут иметь вид:

Пример 8.

Рассчитать электростатическое поле, создаваемое зарядом, который равномерно распределен между двумя цилиндрическими бесконечно длинными поверхностями.

Объемная плотность заряда r=10 -6 Кл/м 3 .

Радиус внешнего цилиндра R₁=20 см, внутреннего – R₂ =4 см, расстояние между осями цилиндров – а=10 см. Относительное значение диэлектрической проницаемости окружающей среды и обоих цилиндров равно e_r1=1.

Определить распределение составляющих напряженности электрического поля и потенциала вдоль осей Х и Y (рис. 1.13).

Данная задача решается методом наложения. Сначала рассчитывается поле в любой точке М от заряда с объемной плотностью +r, равномерно распределенного по объему всего большого цилиндра. Затем в этой же точке рассчитывается поле от заряда, объемная плотность которого равна -r, равномерно распределенного по объему малого цилиндра. Результирующая напряженность поля Е в любой точке М определяется как векторная сумма напряженности Е₁ и Е₂. Потенциал любой точки определяется также как сумма потенциалов U₁ и U₂.

Так, в точке М, которая находится на расстоянии r₁ от оси большого цилиндра и r₂ от оси малого цилиндра и имеет координаты r₁ и a (рис. 1.14) модули напряженности поля от соответствующих зарядов определяются согласно теореме Гаусса по следующим формулам:

Вектор напряженности Е₁ направлен по радиусу r₁ от оси О большого цилиндра, а вектор Е₂ – по радиусу r₂ к оси О₁ малого цилиндра (рис. 1.14).

Потенциалы поля при этом будут равны:

Здесь С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Потенциал поля в области между цилиндрами определяется следующим выражением:

Принимая потенциал равным нулю на оси большого цилиндра (r₁=0; r₂=a), найдем постоянную интегрирования С.

С учетом этого, выражение для потенциала в области между цилиндрами окончательно можно записать в следующем виде:

Если поле определяется в области, лежащей внутри малого цилиндра, то напряженность поля в произвольной точке этой области будет определяться при помощи следующего выражения:

Здесь i – единичный орт, направленный вдоль оси Х.

Таким образом, внутри малого цилиндра напряженность поля будет иметь только одну составляющую, направленную вдоль оси Х и являющуюся постоянной величиной.

Потенциал поля при этом будет равен

где В – постоянная интегрирования.

Эта постоянная определяется исходя из равенства потенциалов для точки, лежащей на поверхности малого цилиндра, один из которых рассчитывается по последнему уравнению, а второй – по выражению, справедливому для точек, находящихся в области между цилиндрами.

Определяя с помощью теоремы косинусов r₂ через r₁, выражения для потенциала и напряженности поля можно преобразовать.

.

Если точка, в которой определяется поле, лежит в области вне цилиндров (r₁?R₁), то модули напряженности поля будут определяться при помощи следующих выражений:

где t₁ и t₂ – линейная плотность зарядов большого и малого цилиндров.

Направление векторов напряженности поля определяется так же, как и для области, лежащей между цилиндрами.

Потенциал поля для области вне цилиндров будет равен

Постоянная интегрирования В₁ определяется из условия равенства потенциалов на поверхности большого цилиндра (r₁=R₁, r₂=R₁-a), один из которых рассчитывается по последнему уравнению, а второй – по выражению, справедливому для точек, находящихся в области между цилиндрами.

Следовательно, окончательно можно записать следующее выражение для определения потенциала в данной области:

Построим графики изменения модуля напряженности поля и потенциала вдоль оси Y при х=0, для чего положим r₁=y; r₂=(y 2 +a 2 ) 0,5 .

При этом выражения для напряженности поля и потенциала можно несколько преобразовать. Так, при 0?y?R₁ они будут иметь следующий вид:

В области вне цилиндров (у?R₁) эти выражения можно записать следующим образом:

Графики изменения данных функций представлены на рис. 1.15.

На графиках все величины даны в относительных величинах. За базисные значения потенциала и напряженности поля приняты значения соответствующих функций на поверхности цилиндра радиусом R₁ (x=0; y=R₁), которые оказались равными U_б=-1057 В,

На рис. 1.16 представлены графики распределения потенциала и напряженности поля (в относительных единицах) вдоль оси Х (при Y=0).

Пример 9.

Рассчитать электростатическое поле от двух бесконечно длинных, равномерно заряженных, параллельных, тонких проводников, расположенных в воздухе на расстоянии 2d=6 м друг от друга. Проводники имеют одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды, линейная плотность которых равна t=4*10 -9 Кл/м.

Построить график изменения напряженности поля вдоль оси Y (при х=0) и вывести уравнения для построения эквипотенциальных линий и линий поля.

Поскольку среда линейна, то данную задачу можно решить методом наложения.

Вначале рассчитываем напряженность поля в любой точке М от правого провода (рис. 1.17), а затем в этой же точке от левого провода. Задача по расчету поля от бесконечно длинного заряженного провода решена в примере 5. Поэтому сразу запишем выражения для определения напряженности поля от правого и левого провода

Направление векторов напряженности поля показано на рис. 1.17. Результирующая напряженность поля определяется как векторная сумма этих векторов

Модуль данной результирующей напряженности поля рассчитывается по формуле

проекции векторов напряженности поля на соответствующие декартовы оси координат.

Здесь y_м и x_м – координаты произвольной точки М.

В частности, если точка М лежит на оси Y, то (r₁=r₂) результирующая напряженность поля будет направлена вдоль оси Х (Е=Е_х). График распределения данной величины вдоль оси Y представлен на рис. 1.18. Значения напряженности поля на графике даны в относительных единицах, при этом за базисное значение принято значение напряженности в начале координат (x=0, y=0), которое оказалось равным 47,956 В/м.

Потенциал поля в любой точке М определяется также, как сумма потенциалов поля от одного и другого провода

Здесь С – постоянная интегрирования. Эта постоянная будет равна нулю, если принять потенциал точки, которая находится в начале координат, равным нулю.

В этом случае ось OY будет являться эквипотенциальной линией нулевого потенциала.

Все остальные линии равного потенциала являются окружностями с центрами, лежащими на оси ОХ. Координаты этих центров и радиусы окружностей определяются с помощью следующих формул:

Таким образом, если необходимо провести линию равного потенциала через точку, потенциал которой задан (например, 100 В), то надо определить k, используя формулу для потенциала

При построении картины поля, для того чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, должно соблюдаться условие

Здесь В – постоянная; n – порядковый номер линии равного потенциала.

Таким образом, число k при возрастании порядкового номера линии равного потенциала n должно изменяться в геометрической прогрессии.

Линиями поля данной системы заряженных проводников являются дуги окружностей, пересекающихся с проводниками. При этом, центры этих дуг лежат на оси OY и имеют координаты, которые определяются при помощи следующей формулы:

Чтобы при построении картины поля подразделить поле на трубки равного потенциала, необходимо при переходе от любой линии напряженности поля к соседней изменять угол J на постоянную величину.

Пример 10.

Два одинаковых бесконечно длинных проводящих цилиндра расположены в воздухе. Радиус цилиндров R=0.04 м, расстояние между геометрическими осями 2h=0.12 м (рис.1.19).

Напряжение, приложенное к цилиндрам U₁₂=100 В.

Рассчитать электростатическое поле, построить графики изменения напряженности поля и потенциала вдоль оси х.

Найти емкость системы проводов на единицу длины.

Поле внутри проводящих проводов отсутствует. Поле же в воздухе будет точно таким, как и поле от двух бесконечно тонких линейных проводников, проходящих через электрические оси данных проводов.

Таким образом, задача по расчету поля двух проводов круглого сечения сводится к нахождению электрических осей проводов, поскольку в дальнейшем расчет поля в воздухе будет аналогичным расчету поля, проведенному в предыдущем примере.

Поскольку поверхность проводящих проводов является поверхностью равного потенциала, то, используя выражения для координаты центра и радиуса линий равного потенциала, которые приведены в примере 9, можно получить формулу для определения координат центра электрических осей проводов b.

В условии задачи задана не линейная плотность зарядов, а разность потенциалов между проводами (разность потенциалов между точками m и n).

Поэтому, прежде всего, следует определить линейную плотность зарядов t. Для этого используем выражение для потенциалов, которое также приведено в предыдущем примере

Здесь r₁ и r₂ – расстояние от электрической оси первого (левого) и второго провода, соответственно, до точки m, которая находится на поверхности первого провода, а r₁ / и r₂ / – расстояние от электрической оси первого и второго провода, соответственно, до точки n, которая находится на поверхности второго провода.

С учетом последних соотношений, можно записать выражение для определения линейной плотности зарядов

После определения линейной плотности зарядов и расположения электрических осей проводов, выражения для расчета напряженности поля и потенциала в области вне проводов полностью аналогичны тем, которые приведены в примере 9.

Графики распределения напряженности поля и потенциала вдоль оси ОХ (при y=0) приведены на рис. 1.20. Все значения на графике даны в относительных единицах, причем, за базисные значения приняты значения напряженности поля и потенциала на поверхности правого провода, которые оказались равными Е_б=2904 В/м, j_б=-50 В.

С учетом того, что ось OY является осью симметрии для напряженности поля и осью антисимметрии для потенциала, графики построены только для положительных значений х.

Емкость между двумя проводниками на единицу их длины определяется при помощи следующего выражения:

Пример 11. Рассчитать

электростатическое поле от двух параллельных бесконечно длинных заряженных несоосных проводящих цилиндров, расположенных в воздухе. Радиусы цилиндров R₁=0.02 м и R₂=0.04 м. Расстояние между геометрическими осями D=0.08 м (рис. 1.21). Цилиндры имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд, линейная плотность которого t₁=-t₂=t=10 -8 Кл/м.

Определить разность потенциалов между цилиндрами, емкость системы на единицу длины.

Построить график изменения потенциала поля вдоль оси ОХ (при y=0).

Решение.

Расположим оси цилиндров (О₁ и О₂) так, чтобы их поверхности совпали с поверхностями равного потенциала. Обозначим через h₁ и h₂ расстояние от геометрических осей первого и второго цилиндра до плоскости постоянного (нулевого) потенциала, а через b – расстояние от электрических осей-до этой плоскости. После определения данных величин задача по расчету поля в области вне цилиндров сводится к расчету электростатического поля от двух заряженных бесконечно длинных линейных проводов, проходящих через центры зарядов, и оказывается, таким образом, полностью аналогичной задачам, рассмотренным в предыдущих примерах.

Используя выражение для определения координат центров зарядов, справедливое как для одного, так и для второго провода, составим следующее уравнение:

При заданном расположении цилиндров (рис. 1.21) имеем

.

Разность потенциалов между двумя цилиндрами можно определить по следующей формуле (как и в примере 10):

Здесь r₁ / и r₂ / – расстояние от центра электрических осей первого и второго цилиндра, соответственно, до точки n, лежащей на поверхности первого цилиндра; r₁ // и r₂ // – расстояние от центра электрических осей первого и второго цилиндра, соответственно, до точки m, лежащей на поверхности второго цилиндра

Потенциал любой произвольной точки d будет равен

где r₁ и r₂ – расстояние от электрических осей первого и второго провода до точки d.

Если точка d лежит на оси ОХ между цилиндрами, то

График изменения потенциала вдоль оси ОХ (при (R₁ – h₁) -8 Кл/м.

Определить разность потенциалов между цилиндрами, емкость системы на единицу длины. Построить график изменения напряженности поля вдоль оси Х (при Y=0) между цилиндрами.

Решение данной задачи, как и в предыдущих примерах, сводится к отысканию положения электрических осей.

Полагая, что оси проводов расположены так, что их поверхности совпадают с эквипотенциальными поверхностями электростатического поля, будем иметь:

где h₁ и h₂ – расстояние от геометрических осей цилиндров до плоскости постоянного (нулевого) потенциала; b – расстояние от электрических осей до этой же плоскости.

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

Но, поскольку при расположении цилиндров один внутри другого, выполняется равенство

Таким образом, выражения для определения h₁, h₂, и b будут иметь следующий вид:

После нахождения положения электрических осей задача по расчету поля в диэлектрике между цилиндрами становится полностью аналогичной задаче по расчету поля от линейных проводов, совпадающих с электрическими осями цилиндров.

Так, потенциал любой точки М, находящейся в области между цилиндрами, будет равен

где r₁ и r₂ – расстояние от электрических осей первого и второго цилиндров соответственно до точки М.

Разность потенциалов между цилиндрами (между точками m и n) при этом будет равна

Здесь r₁ / и r₂ / – расстояние от электрических осей первого и второго цилиндров соответственно до точки m, а r₁ // и r₂ // – расстояние от электрических осей этих цилиндров до точки n.

При заданном расположении цилиндров указанные расстояния будут равны

Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами U_mn будет составлять величину, равную 67.1В.

Напряженность электрического поля в любой точке, лежащей на оси ОХ между цилиндрами (между точками m и n), находится методом наложения

График изменения данной величины вдоль оси ОХ представлен на рис. 1.24.

Для удобства изображения все величины на рисунке представлены в относительных единицах. За базисное значение напряженности поля принято значение напряженности поля на поверхности малого цилиндра в точке m (E_b =Е_m=8020 В/м), а за базисное значение переменной х – абсолютное значение координаты этой же точки (х_b=|х_m|= 0.0183 м).

Емкость системы проводов на единицу их длины определяется с помощью следующей формулы:

Зная разность потенциалов между цилиндрами и линейную плотность зарядов t емкость С, согласно определению, можно найти и как отношение линейной плотности зарядов к разности потенциалов

Для построения силовых линий и линий равного потенциала можно воспользоваться рекомендациями, данными в предыдущих примерах.

Видео:Урок 229. Работа электрического поля. Потенциал. Электрическое напряжениеСкачать

Что такое электрическая дуга, как она возникает и где применяется?

Наблюдать искровые разряды приходилось каждому, в том числе и людям, далёким от познаний в электротехнике. Гигантскими искровыми разрядами сопровождаются грозы. Высвобождение огромной энергии, сконцентрированной в электрическом разряде молнии (см. рис. 1), сопровождается ослепительной вспышкой раскалённого ствола. Одним из видов искровых разрядов, созданных человечеством, является дуговой разряд, или попросту, электрическая дуга.

На сегодняшний день причины возникновение и свойства электрической дуги детально изучено наукой. Физики установили, что в области её горения возникает огромная концентрация зарядов, которые образуют плазму ствола. Температуры столба достигает нескольких тысяч градусов.

Видео:Урок 233. Задачи на электрический потенциал - 1Скачать

Что такое электрическая дуга?

Это загадочное явление впервые описал русский учёный В. Петров. Он создавал электрическую дугу, используя батарею, состоящую из тысяч медных и цинковых пластин. Изучая процесс зажигания дуги постоянным током, учёный пришёл к выводу, что воздушный промежуток между электродами при определённых условиях приобретает электропроводимость.

Одним из условий возникновения электрического пробоя является достаточно высокая разность потенциалов на концах электродов. Чем выше напряжение, тем больший газовый промежуток может преодолеть разряд. При этом образуется электропроводный газовый столб, который сильно разогревается во время горения дуги.

Возникает резонный вопрос: «Почему воздух, являющийся отличным изолятором в обычном состоянии, вдруг становится проводником?».

Объяснение может быть только одно – в стволе дуги образуются носители зарядов, способные перемещаться под действием электрического поля. Поскольку в воздухе, в отличие от металлов, нет свободных электронов, то вывод напрашивается только один – ионизация газов (см. рис. 3). То есть, запуск процесса насыщения газа ионами, являющимися носителями электрического заряда.

Рис. 3. Физика электрической дуги

Ионизация воздуха происходит под действием различного вида излучений, включая рентгеновское и космическое облучение. Поэтому в воздухе всегда находятся небольшое количество ионов. Но поскольку ионы почти сразу рекомбинируются (превращаются в нейтральные атомы и молекулы), то концентрация заряженных частиц всегда мизерная. Получить вспышку дуги при такой концентрации невозможно.

Для возникновения дугового разряда нужен лавинообразный процесс ионизации. Его можно вызвать путём сильного нагревания газа, которое происходит при зажигании.

При размыкании контактов происходит эмиссия электронов, скапливающихся на очень маленьком пространстве. Под действием напряжённости электрического поля отрицательные заряды устремляются к электроду с положительным знаком.

При достижении напряжения пробоя, между электродами возникает искровой разряд, разогревающий область между электродами. Если ток достаточно большой, то количество тепла будет достаточно для запуска лавинообразного процесса ионизации воздуха.

На участке, который называют дуговым промежутком, образуется ствол, называемый столбом дуги и состоящий из горячей проводимой плазмы. По этому стволу протекает ток, поддерживающий разогревание плазмы. Так происходит процесс зажигания дугового разряда.

Насыщение плазменного ствола ионами разных знаков приводит к значительному увеличению плотности тока, а также к рекомбинации части ионов. Разогревание плазмы приводит также к увеличению давления в стволе. Поэтому часть ионов улетучивает в окружающее пространство.

Если не поддерживать образование новых зарядов, то произойдёт гашение дуги. Как мы уже выяснили, устойчивому горению сопутствуют 2 фактора: наличие напряжения между электродами и поддержание высокой температуры плазмы. Исключение одного из них, приведёт к гашению дуги.

Таким образом, можем сформулировать определение электрической дуги. А именно электрическая дуга — это вид искрового разряда, сопровождающегося большой плотностью тока, длительностью горения, малым падением напряжения на промежутке ствола, характеризующегося повышенным давлением газа, в котором поддерживается высокая температура.

Электрическая дуга отличается от обычного разряда большей длительностью горения.

Видео:Потенциал электрического поля. 10 класс.Скачать

Строение

Электрическая дуга состоит из трёх основных зон:

В сварочных дугах размеры катодной и анодной зоны незначительные, по сравнению с длиной столба. Толщина этих зон составляет тысячные доли миллиметра. В зоне катодного падения напряжения (на конце отрицательного электрода) наблюдается наличие катодных пятен, которые образуются в результате сильного нагревания.

На рисунке 4 изображена схема строения дуги, создаваемой сварочным аппаратом.

Рис. 4. Строение сварочной дуги

Обратите внимание: с целью достижения наглядности, на картинке сильно преувеличены электродные зоны. В действительности их толщина измеряется в микронах.

Видео:Билет №03 "Потенциал"Скачать

Свойства

Высокая плотность тока в стволе электрической дуги определяет её главные свойства:

1. Чрезвычайно высокую температуру плазменного ствола и околоэлектродных зон.
2. Длительное горение, при поддержании условий образования ионов.

Эти свойства необходимо учитывать при борьбе с возникновением электрической дуги, так и при её применении в некоторых сферах.

Видео:Урок 235. Задачи на электрический потенциал - 3Скачать

Полезное применение

Как это ни странно, но физики нашли применение этому электрическому явлению ещё на этапе развития науки об электричестве. Пример тому – лампочка Яблочкова. Она состояла из двух угольных электродов, между которыми зажигалась электрическая дуга.

У этой лампы были два недостатка. Электроды быстро изнашивались (выгорали), а спектр света смещался в ультрафиолетовую зону, что негативно влияло на зрение. По этим причинам дуговые лампы не нашли широкого применения и их быстро вытеснили лампы накаливания, существующие до сегодняшнего дня.

Исключение составляют дугоразрядные лампы, а также мощные прожектора, используемые преимущественно в военных целях.
Дуговой разряд стал массово применяться на практике с момента изобретения сварочного аппарата. Дуговую сварку применяют для сварки металлов. (см. рис. 5)

Рис. 5. Дуговая сварка

Используя проводимость плазмы, включая в сварочную цепь специальные сварочные электроды, достигают высокой температуры в сосредоточенном пятне. Регулируя сварочный ток, сварщик имеет возможность настроить аппарат на нужную температуру дугового разряда. Для защиты ствола от тепловых потерь, металлические электроды покрыты специальной смесью, обеспечивающей стабильность горения.

Электрическую дугу применяют в доменных печах для плавки металлов. Дуговая плавка удобна тем, что можно регулировать её температуру путём изменения параметров тока.

Наряду с полезным применением, в электротехнике часто приходится бороться с дуговыми разрядами. Не контролированный дуговой разряд может нанести существенный вред на линиях электропередач, в промышленных и бытовых сетях.

Рис. 6. Дуговой разряд на ЛЭП

Видео:Физика 10 класс (Урок№27 - Напряжённость и потенциал электростатического поля.Разность потенциалов.)Скачать

Причины возникновения

Исходя из определения, можем назвать условия возникновения электрической дуги:

• наличие разнополярных электродов с большими токами;
• создание искрового разряда;
• поддержание напряжения на электродах;
• обеспечение условий для сохранения температуры ствола.

Искровой разряд возникает в двух случаях: при кратковременном соприкосновении электродов или при приближении к параметрам пробоя. Мощный электрический пробой всегда зажигает ствол.

При сохранении оптимальной длины дуги температура плазмы поддерживается самостоятельно. Однако, с увеличением промежутка между электродами, происходит интенсивный теплообмен ствола с окружающим воздухом. В конце концов, в стволе, вследствие падения температуры, образование ионов лавинообразно прекратится, в результате чего произойдёт гашение пламени.

Пробои часто случаются на высоковольтных ЛЭП. Они могут привести к разрушению изоляторов и к другим негативным последствиям. Длинная электрическая дуга довольно быстро гаснет, но даже за короткое время горения её разрушительная сила огромна.

Дуга имеет склонность к образованию при размыкании контактов. При этом контакты выключателя быстро выгорают, электрическая цепь остаётся замкнутой до момента исчезновения ствола. Это опасно не только для сетей, но и для человека.

Видео:Электрическое поле/Напряженность и потенциал поля/Разность потенциалов/Работа поляСкачать

Способы гашения

Следует отметить, что гашение дуги происходит и по разным причинам. Например, в результате остывания столба, падения напряжения или когда воздух между электродами вытесняется сторонними испарениями, препятствующими ионизации.

С целью недопущения образования дуг на высоковольтных проводах ЛЭП, их разносят на большое расстояние, что исключает вероятность пробоя. Если же пробой между проводами всё-таки случится, то длинный ствол быстро охладится и произойдёт гашение.

Для охлаждения ствола его иногда разбивают на несколько составляющих. Данный принцип часто используют в конструкциях воздушных выключателей, рассчитанных на напряжения до 1кВ.

Некоторые модели выключателей состоят из множества дугогасительных камер, способствующих быстрому охлаждению.

Быстрой ионизации можно достигнуть путём испарения некоторых материалов, окружающих пространство подвижных ножей. Испарение под высоким давлением сдувает плазму ствола, что приводит к гашению.

Существуют и другие способы: помещение контактов в масло, автодутьё, применение электромагнитного гашения и др.

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Воздействие на человека и электрооборудование

Электрическая дуга представляет опасность для человека своим термическим воздействием, а также ультрафиолетовым действием излучающего света. Огромную опасность таит в себе высокое напряжение переменных токов. Если незащищённый человек окажется на критически близком расстоянии от токоведущих частей приборов, может произойти пробой электричества с образованием дуги. Тогда на тело, кроме воздействия тока, окажет действие термической составляющей.

Распространение дугового разряда по конструктивным частям оборудования грозит выжиганием электронных элементов, плат и соединений.

Видео:Потенциал электростатического поля, разность потенциалов | Физика 10 класс #50 | ИнфоурокСкачать

Электрический потенциал дуги окружности

1.1. Основные уравнения

Для электростатических полей, обусловленных действием неподвижных электрических зарядов, справедливы уравнения:

или (1.1)

или , (1.2)

где L — контур интегрирования; S — поверхность интегрирования; r — объёмная плотность свободных зарядов; S q — сумма свободных зарядов. Поля подобного типа являются безвихревыми, что позволяет исследовать их путём введения потенциальной функции j , которая связанным с напряженностью соотношением:

. (1.3)

Вектора напряженности электрического поля и электрической индукции для большинства задач определены линейным соотношением:

,

где Ф/м – электрическая постоянная, e — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

В однородной среде ( e = const ) для потенциала справедливо уравнение Пуассона –

(1.4)

и, в частности, где отсутствуют свободные заряды, уравнение Лапласа –

. (1.5)

Граничные условия

Граничные условия определяют поведение векторов поля (нормальных и тангенциальных составляющих) на границе раздела двух сред, параметры которых меняются скачком. Для всех электрических полей имеют место основные граничные условия, которые являются прямым следствием системы уравнений Максвелла:

или (1.6)

. (1.7)

Здесь t означает тангенциальную составляющую проекции вектора к границе раздела двух сред, а n – нормальную составляющую. При этом предполагается, что нормаль к поверхности раздела сред n направлена из первой среды во вторую. Символом s обозначают поверхностную плотность свободных зарядов, которая имеет размерность Кл/м 2 , совпадающую с размерностью вектора электрической индукции D .

Граничные условия для диэлектриков

На границе раздела двух диэлектриков свободный поверхностный заряд s = 0. Следовательно,

или . (1.8)

В диэлектрике кроме векторов и рассматривают вектор поляризации вещества , который связан с основными векторами поля выражением:

или , (1.9)

где — диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. На границе раздела диэлектриков возникает связный электрический заряд , который с учётом выражения (1.9) определяется условием:

. (1.10)

Граничные условия на поверхности раздела диэлектрик – проводник

Электростатическое поле может создаваться системой точечных — q , поверхностных — s и линейных — t зарядов. В технике в качестве источников поля используют систему заряженных поводящих тел (электродов), несущих на себе независимый заряд или заряд, обусловленный дополнительными источниками питания. В статике движения свободных зарядов внутри проводника быть не может. Поэтому весь заряд электрода q распределяется только по поверхности ( s ¹ 0 ), а поле внутри проводника становится равным нулю ( ; ). Тогда граничные условия (1.6, 1.7) на поверхности проводника примут вид

и

, (1.11)

т.е. на поверхности проводящего тела вектор электрической индукции изменяется скачком на величину поверхностной плотности свободного заряда в данной точке, а направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности проводника n .

Условие (1.11) с учетом (1.3) принимает вид

(1.12)

и его называют граничным условием Неймана, записанным в дифференциальной форме. То же граничное условие в интегральной форме

, (1.13)

где под q понимают суммарный заряд электрода.

Поверхность электрода является эквипотенциальной поверхностью, что записывают в виде

(1.14)

и называют граничным условием Дирихле.

1.2. Прямая задача электростатики

Во многих случаях приходится решать сложные задачи, из которых наиболее типичными являются следующие:

1. Нахождение поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. В инженерной практике потенциалы электродов обычно задаются источниками питания и могут быть измерены или вычислены.

2. Нахождение потенциала электрического поля, создаваемого заданным распределением объёмных электрических зарядов в пространстве.

Прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Пуассона (1.4), которое в декартовой системе координат принимает вид

(1.15)

или уравнения Лапласа (1.5):

. (1.16)

Уравнения (1.15), (1.16) относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Эти уравнения в зависимости от симметрии задачи могут быть записаны в цилиндрических или сферических координатах.

Для получения единственного решения уравнения (1.15) или (1.16) необходимо дополнить их граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1. Граничное условие Дирихле : значение j задано на некоторой замкнутой области. Обычно это проводящая поверхность или поверхность электрода, потенциал которой постоянен (см. 1.14).

2. Граничное условие Неймана : на границе области задана нормальная производная функции потенциала j (см. 1.12 или 1.13). Это граничное условие определено поверхностной плотностью заряда s , которое также поддаётся анализу для широкого круга задач. К граничным условиям Неймана следует также отнести задание точечных — q и линейных — t зарядов.

3. Смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала j и его нормальной производной).

Целью расчёта является нахождение потенциала j и напряженности поля по заданному расположению и форме заряженных тел – электродов – и граничным условиям. Такая задача называется прямой задачей. Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона. Если же требуется найти поле в диэлектрике, содержащем заряженные проводящие тела, то ищут решение уравнения Лапласа, т.е. решают прямую задачу электростатики в постановке Неймана или Дирихле. При этом совокупность всех проводящих тел образуют границу области существования поля. Эта задача имеет единственное решение, если найденная потенциальная функция удовлетворяет уравнению Лапласа и заданным граничным условиям.

Обратная задача электростатики предполагает определение по известному полю местоположения источников поля и величины зарядов, создающих это поле . Такого рода задачи рассматривают, например, в геологоразведке при поиске полезных ископаемых.

1.3. Методы решения электростатических задач

Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики. Ограничимся здесь лишь указанием некоторых приемов, изложенных в учебной электротехнической литературе [1] – [7]. К ним следует отнести:

а) Использование интегральных уравнений для решения симметричных задач;

б) Метод наложения;

в) Метод изображений;

г) Метод участков;

д) Метод средних потенциалов;

е) Метод разделения переменных (Фурье).

В настоящем пособии рассматриваются метод наложения совместно с методом зеркальных изображений.

Метод наложения. Формулы Максвелла

В случае линейной среды ( = const ) по методу наложения имеем:

,

.

Потенциалы и заряды проводящих тел связаны между собой линейными соотношениями, которые называются формулами Максвелла. Если известны заряды электродов, то их потенциалы могут быть найдены путём решения задачи Неймана. В этом случае связь осуществляется потенциальными коэффициентами a :

(1.17)

где и — потенциалы и заряды электродов, причем собственный потенциальный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный потенциальный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Если известны потенциалы электродов, то, решив задачу Дирихле, можно найти заряды электродов и записать формулы Максвелла с емкостными коэффициентами:

(1.18)

где собственный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Вместо линейных соотношений (1.18) более удобно применять формулы с частичными емкостями, которые связывают заряды электродов и напряжения между ними.

Формулы с частичными емкостями:

(1.19)

где собственная частичная емкость при , взаимная частичная емкость при (кроме ).

Символом обозначают потенциал электрода, значительно удалённого от области исследования поля. Для системы электродов, линейные размеры которых ограничены, за ноль принимается потенциал бесконечно удаленной точки. Если электроды (теоретически) уходят в бесконечность, то в качестве известного нулевого потенциала указывают точку (или линию), расположенную на границе симметрии задачи. Определять потенциал этой точки необходимо, так как только в этом случае однозначно определяются потенциалы остальных точек (электродов).

1.4. Поля электродов простых геометрических форм

Поле шарового заряда

Заряд q на проводящей шаровой поверхности радиуса R в силу симметрии распределяется равномерно, и потенциал вне сферы определяется выражением:

. (1.20)

Уравнение r = const будет уравнением эквипотенциальной поверхности, все они образуют концентрически расположенные сферы.

Если положить потенциал в бесконечности ( r = ¥ ) равным нулю, то постоянная const _S = 0. Может оказаться целесообразным положить равным нулю значение потенциала на поверхности некоторой внешней сферы радиуса . В таком случае:

.

Если с этой сферой совместить проводящую поверхность второго электрода, т.е. металлизировать эквипотенциальную поверхность, то можно найти ёмкость сферического конденсатора:

.

Вектор напряженности поля направлен радиально и равен

. (1.21)

Поле длинной заряженной оси, кругового цилиндра и коаксиальных цилиндров

Для длинной заряженной оси – тонкого провода, направленного вдоль оси z , рассматривают заряд на единицу длины провода t . В силу осевой симметрии задачи вектора и имеют единственную радиальную составляющую

; . (1.22)

Соответственно потенциал определится логарифмической функцией:

. (1.23)

Эквипотенциальные поверхности – боковые поверхности цилиндров, оси которых совпадают с заряженной осью ( r = const ). Радиусы соседних поверхностей, потенциалы которых отличаются на одну и ту же величину, выбираются в геометрической прогрессии с произвольным знаменателем. Поле между двумя металлизированными цилиндрическими поверхностями совпадает с полем цилиндрического конденсатора и с полем заряженного провода.

Если положить равным нулю потенциал на некоторой цилиндрической поверхности радиуса , то

; .

Если известна разность потенциалов между двумя цилиндрическими металлизированными соосными поверхностями радиусами r и , то можно найти ёмкость цилиндрического конденсатора на единицу длины:

.

Силовые линии вектора напряжённости поля и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Для характеристики силовых линий вводится понятие функции потока V , которая имеет постоянное значение на выбранной силовой линии: . Одну из силовых линий рассматривают как нулевую, полагая на ней V = 0, что можно сделать, так как функция определяется с точностью до постоянной. Для линейного провода эта функция имеет вид

(1.24)

где q — угловая полярная координата, т.е. угол, вершиной которого является точка на оси провода. = 0, если q = 0. Переменная q изменяется в пределах от 0 до 2 p . Коэффициент показывает, сколько единичных линий напряженности заключено внутри угла, равного одному радиану. Приращение D V функции потока при переходе от к–ой до (к+1)–ой линии напряжённости поля принято задавать постоянным числом:

, или .

Область, заключённая между двумя силовыми линиями, называется силовой трубкой. Поток вектора внутри силовой трубки постоянен и определён частью заряда электрода.

Потенциал и функция потока не могут выбираться произвольно, они связаны между собой дифференциальными соотношениями, которые называют условиями Коши – Римана:

; .

Эти условия для рассматриваемого случая легко проверяются, если в выражениях (1.21) и (1.22) от полярных координат перейти к декартовым по формулам:

; .

Решения (1.23) и (1.24) имеют большое прикладное значение, так как расчет поля системы длинных параллельных проводов, применяемых, например, для передачи энергии или для телефонной связи, сводится практически к сложению полей нескольких пар бесконечно длинных разноимённо заряженных осей.

Поле двух разноимённо заряженных осей

Для определения поля системы тонких проводов равномерно и разноимённо заряженных с линейной плотностью заряда + t и — t , расположенных на расстоянии 2 a друг от друга, применим метод наложения. На основании выражения (1.23) имеем

,

где и — расстояния от точки наблюдения до отрицательно и положительно заряженных проводов соответственно (рис. 1.1), или

.

Рис. 1.1. Построение эквипотенциали для двух разноименно заряженных осей

Первое слагаемое обращается в нуль при , т.е. в точках плоскости, перпендикулярной отрезку 2а и проходящей через её середину. След этой плоскости обычно совмещают с одной из осей координат. Если принять потенциал этой плоскости за нуль, то const = 0 , и окончательно получим

. (1.25)

Эквипотенциальные поверхности (линии в плоскости чертежа) представляют собой окружности со смещенными центрами. На рис. 1.1 точка p лежит на эквипотенциальной поверхности.

Из выражения (1.25) следует условие постоянства потенциала при выполнении условия , где k — параметр семейства этих линий. Радиус эквипотенциальной поверхности R и смещение центра s связаны с параметрами а и k условиями:

или . (1.26)

Если k > 1 ( ), окружность охватывает след провода с зарядом + t , если k 1 , то точку — t . Точки 1 и 2, определяющие положение электрических осей относительно эквипотенциальных поверхностей радиуса R , расположены инверсно друг по отношению друга, что следует из соотношений (1.26), т.е. являются взаимно обратными.

Функция потока V определяется методом наложения с использованием выражения (1.24):

,

где = 0, если считать V = 0 при q ₁ = q ₂ , что имеет место на отрезках оси абсцисс, уходящих от проводов в бесконечность. Уравнение любой линии напряженности поля имеет вид:

, или .

Семейство силовых линий поля образуют дуги окружностей, проходящих через заряженные оси, а центры окружностей расположены на оси симметрии задачи, т.е. на линии, где j = 0 (рис. 1.2) .

Рис. 1.2. Построение силовых линий напряженности электрического поля для двух разноименно заряженных осей

Координаты центра окружности связаны с заданным значением J условием:

; .

Из любой точки силовой линии отрезок 2а наблюдается под одним и тем же углом J , что и доказывает правильность такого построения.

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока, следует считать разность одинаковой для двух соседних линий. Для этого необходимо изменять угол J на постоянную величину D J = const .

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля взаимно перпендикулярны.

Поле параллельных цилиндров с несовпадающими осями

Любую эквипотенциальную поверхность можно совместить с поверхностью электрода, потенциал которого равен потенциалу этой поверхности. При этом внешнее поле, которое существует между электродами, не изменится. Этот приём называют металлизацией эквипотенциальных поверхностей.

Если известны радиусы проводящих цилиндров , и расстояние между геометрическими осями цилиндров d , то потенциальную функцию j можно определить по той же формуле (1.23), предварительно определив положение электрических осей — а и расстояние геометрического центра каждого провода — , до линии нулевого потенциала. Для случая, изображенного на рис. 1.3, на основании (1.24) имеем систему:

. (1.27)

Рис. 1.3. Взаимное внутреннее расположение двух несоосных цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.4, третье уравнение в системе (1.27) следует заменить на . Вычислив неизвестные , и a , можно через них на основании (1.26) выразить потенциалы цилиндров, напряжение между цилиндрами, а также ёмкость между ними на единицу длины.

Рис. 1.4. Взаимное внешнее расположение двух цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.3, имеем

;

;

. (1.28)

Для случая, изображенного на рис. 1.4,

;

(так как );

. (1.29)

Линейная плотность заряда вычисляется по формуле (1.28) или (1.29) по заданной величине напряжения .

Вектор напряженности поля находят по формуле (1.3), которая для плоскопараллельного поля принимает вид:

(1.30)

Для того чтобы воспользоваться формулой (1.30), необходимо выбрать систему координат, совмещенную с осями симметрии задачи. Например, ось x направить горизонтально через электрические оси электродов, а ось y совместить с линией нулевого потенциала, т.е. использовать электрическую симметрию задачи.

Поле и ёмкость системы цилиндр – плоскость

Пусть заданы радиус R цилиндра, высота h над проводящей плоскостью (например, над поверхностью Земли) и приложенное напряжение U . Этот пример является частным случаем электродов, изображенных на рис. 1.3, где , . Положение электрических осей (рис. 1.5) можно определить из уравнений (1.26) при замене ; .

Рис. 1.5. Взаимное расположение заряженного цилиндра и плоскости

(1.31)

где — собственный потенциальный коэффициент, связывающий потенциал и заряд цилиндра (первого электрода).

Потенциал плоскости (второго электрода) . Напряжение . Линейная плотность , а ёмкость на единицу длины

.

Если радиус цилиндра (тонкого провода) мал по сравнению с высотой h , то в последней формуле можно считать :

. (1.32)

Поле и ёмкость двухпроводной линии

Пусть известны радиусы цилиндров (проводов), расстояние между геометрическими осями и приложенное к проводам напряжение . Положение электрических осей определяются из уравнений

; ,

как частный случай расположения электродов (рис. 1.4): ; .

Потенциал положительно заряженного провода

,

потенциал отрицательно заряженного провода

,

напряжение, ёмкость на единицу длины и заряд на единицу длины

,

,

.

Эти выражения можно упростить для тонких проводов, если считать совпадающими электрические и геометрические оси проводов: .

1.5. Метод зеркальных отражений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных отражений. Это искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё дополнительные, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся зеркальные отражения заданных зарядов.

При отражении точечного заряда q (или линейного заряда t ), расположенного в близи плоской проводящей границы, отраженный заряд , т.е. меняет свой знак на обратный. При этом граничные условия для векторов поля на проводящей поверхности тождественно выполняются во всех точках, что позволяет исключить из анализа саму поверхность. Заряд заменяет своим интегральным действием наведённый свободный заряд s проводящей поверхности.

Если заряд (или ) расположен у границы двух диэлектриков (рис. 1.6 a ), то на поверхности раздела наводятся связанные электрические заряды, которые подчиняются граничному условию (1.10).

Исключить действие этих зарядов с заменой их эквивалентным действием сосредоточенных зарядов можно путём разбиения задачи на две части:

а) Поле в той среде, где задан точечный заряд (рис. 1.6б), определяется зарядом и зарядом

, (1.33)

где . При этом вторая среда замещается первой, т.е. становится однородной с диэлектрической проницаемостью . Правильное поле потенциала определяется в этом случае в верхней полуплоскости;

Рис. 1.6. а) заряд вблизи границы двух диэлектрических сред; б) расположение эквивалентных зарядов для расчета поля в 1-й среде; в) то же для 2-й среды

б) Поле по другую сторону границы, т.е. в нижней полуплоскости (среда с ) , определяется зарядом

, (1.34)

где . При этом первая среда замещается второй и становится однородной с диэлектрической проницаемостью (рис. 1.6в).

Дополнительные заряды должны находиться на том же расстоянии от границы, что и заданный.

Поле и ёмкость двухпроводной линии с учётом влияния Земли

Два длинных тонких провода радиусом R протянуты парал­лельно поверхности Земли; расстояние между проводами d , вы­сота подвеса и (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Взаимное расположение линейных заряженных проводов относительно плоской проводящей поверхности (“земли”)

Пусть заданы постоянные линейные плотности заряда каждого провода и . Для определённости будем считать их положительными. Требуется определить потенциалы проводов, если поверхность Земли считать эквипотенциальной поверхностью с нулевым потенциалом.

Непосредственное решение задачи невозможно: на поверхности Земли наводятся заряды, поверхностная плотность которых заранее не известна. Так как поверхность Земли эквипотенциальна, то её можно убрать, т. е. принять, что параметры нижнего полупространства оди­наковы с параметрами верхнего полупространства, и зеркально раз­местить электрические заряды обратных знаков в нижней полуплоскости. При этом сохраняется прежнее граничное условие на поверхности Земли . В данном слу­чае в качестве изображений следует взять два про­водника, расположенные под плоскостью раздела, симметрично верхним проводникам и несущие заряды и на единицу длины (рис. 1.8).

В результате получатся две пары разноименно заряженных осей и в однородной среде. Потенциал в любой точке верхней полуплоскости находится методом наложения от каждой пары зарядов на основании формулы (1.25):

.

,

где , – расстояния от точки, в которой определяется поле, до отрицательно заряженных осей; , – то же от положительных осей. Перемещая точку наблюдения на поверхность первого провода, найдём потенциал как сумму потенциалов от собственной пары заряженных осей, для которых ; , и от соседней пары заряжен­ных осей (для них ; ):

(1.35)

Потенциал на поверхности второго провода — , удаленной от первой пары осей на расстояния , , а от собст­венной, второй пары — на расстояния , , аналогично определится как

(1.36)

Множители при зарядах и – потенциаль­ные коэффициенты.

Рис. 1.8. Расчетная модель задачи с двухпроводной линией над Землей по методу зеркальных отражений

В данном случае собственные потен­циальные коэффициенты определяются как

, ,

а взаимные потенциальные коэффициенты

.

Они всегда положительны и имеют размерность м/Ф. Полученные формулы связывают заряды и потенциалы проводов. Если заданы потенциалы проводов, то заряды могут быть найдены из решения системы уравнений (1.35) и (1.36):

,

Множители при потенциалах и — емкостные коэффициенты. Собственные ёмкостные коэффициенты и всегда положительны, а взаимные коэффициенты и – отрицательны.

1.6. Пример аналитического решения задачи электростатики

Двухпроводная линия находится в однородном поле грозовой тучи с напряженностью , направленной вертикально (Рис. 1.9). U = -10 кВ; = 2 кВ/м; h = 0,5 м, d = 0,3 м; радиус проводов = 10 мм.

1. Рассчитать и построить распределение потенциала вдоль оси y при х = 0;

2. Рассчитать и построить распределение плотности заряда s на поверхности земли;

3. Определить частичные емкости проводов.

Поле системы заряженных проводов и тучи определим методом наложения, используя понятие потенциальных коэффициентов проводов (см. (1.35); (1.36)) и известного решения для поля плоского конденсатора, имеющего значительную протяженность по координатам x и z и конечную длину по координате y . Заряженная туча играет роль верхней пластины конденсатора, “земля” – нижней пластины.

По условию задачи напряженность поля тучи направлена сверху и вниз. Это означает, что туча заряжена положительно и обеспечивает одинаковое значение напряженности поля в любой точке пространства , на некотором удалении от проводов и в том числе на поверхности тучи, устанавливая поверхностную плотность заряда (см. 1.11). Соответственно на поверхности “земли” устанавливается отрицательный поверхностный заряд . Потенциальная функция изменяется по линейному закону , где константа С = 0, т.к. при y = 0 потенциал “земли” принимается равным нулю: .

Рис. 1.9. Двухпроводная линия передачи с заземленным верхним проводом

Поле заряженных проводов суммируется с полем тучи. Используя метод наложения, получим связь потенциалов и зарядов электродов, по формулам Максвелла для потенциальных коэффициентов:

(1.37)

где ; ; найдены по формулам (1.35) и (1.36) и имеют размерность м ¤ Ф. Провода можно считать тонкими, так как выполняется условие , , что предполагает совпадение геометрических и электрических осей проводов.

Потенциалы проводов “жестко” заданы источником питания U = -10 кВ: для нижнего провода = -10 кВ; для верхнего провода, соединённого с “землёй” = 0. Из решения системы (1.37) при = 0, = -10 кВ и = 2 кВ/м найдем Кл/м и Кл/м.

Используя найденные линейные заряды проводов, а также напряженность , сформируем окончательно потенциальную функцию j в системе координат x – y , где ось y проходит через геометрические оси проводов, а точка наблюдения определяется в верхней полуплоскости расстояниями до электрических осей проводов (рис. 1.10):

,

где ,

,

,

,

.

(1.38)

и в, частности, при :

,

где — в вольтах, x и y – в метрах.

Рис. 1.10. Расчетная модель задачи двухпроводной линии с заземленным верхним проводом по методу зеркальных отражений

Поверхностная плотность заряда на поверхности “земли” определяется нормальной составляющей напряженности суммарного поля:

(1.39)

где x – в метрах. Откуда видно, что к заряду обусловленному наличием тучи добавляются два слагаемых, учитывающих влияние каждого из заряженных проводов.

Емкостные коэффициенты можно выразить через потенциальные коэффициенты :

, ,

,

Частичные ёмкости связаны с ёмкостными коэффициентами выражениями: ; ; . Получим ; ; . Как , так и в данной задаче измеряются в Ф ¤ м.

Для графического представления картины поля воспользуемся возможностями пакета MathCAD .

Для начала отметим характерные особенности при работе в пакете MathCAD , при этом все действия стандартно производятся при англоязычной (международной) раскладке клавиатуры, русская используется только для ввода текстовых вставок и комментариев. В MathCAD для того чтобы присвоить переменной значение в поле рабочего файла следует, удерживая клавишу Shift , нажать на клавишу « :». В появившемся поле ввода “■:=■” слева вводится имя переменной, справа ее величина, например “ :=2”. Если после имени переменной (в примере y ) нажать клавишу « .», то появится маркер ввода нижнего индекса (в примере k ). Чтобы присвоить переменной несколько дискретных значений с постоянным шагом изменения в поле “■:=■” справа вводится начальная величина переменной, далее следует нажать одну за другой клавиши « ,» и « :». После чего поле ввода преобразуется к виду “■:=■,■..■”. После запятой вводится величина равная начальному значению переменной плюс шаг изменения, после двоеточия заносится конечное значение переменной. Отметим, что при вводе чисел в MathCAD необходимо использовать точку. Для возведения числа или переменной в степень следует, удерживая клавишу Shift , нажать клавишу « ^» и далее ввести показатель степени.

Для ввода графиков в пакете MathCAD можно использовать:

— меню Insert опция Graph главного меню пакета (рис. 1.11) с последующим выбором типа графика из выпадающего меню;

— вторую кнопку панели Math , если панель отсутствует, то ее следует активировать View / Toolbars / Math .

— специальные клавиши: например, для создания шаблона двумерного графика следует нажать клавишу «2», удерживая при этом клавишу Shift ; для создания шаблона трехмерного графика следует нажать клавишу «2», удерживая при этом клавишу Ctrl .

Все эти пути приводят к одинаковому результату – в поле рабочего файла появляется шаблон двумерного или трехмерного графика соответствующего типа. Шаблоны графиков имеют маркеры ввода “■”, которые необходимо заполнить (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Поле рабочего файла в пакете MathCAD с вкладками панели Math

Шаблон двумерного графика по умолчанию имеет два маркера ввода (по одному для осей ординат и абсцисс). Их число может быть увеличено для каждой из осей нажатием на клавишу « ,». В маркеры следует ввести имена функций и их аргументов. После заполнения всех маркеров ввода появление графика вызывается щелчком левой кнопки мыши вне его зоны. График появится при корректном вводе данных и только в том случае, когда он расположен ниже части документа, в которой определяются используемые для построения переменные и функции. В противном случае будет выдано сообщение об ошибке.

Построим график изменения потенциала вдоль вертикальной оси y при х = 0 (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Пример программирования в MathCAD потенциальной функции и ее графического представления

Через операторы присваивания указываем в поле рабочего файла – граничную координату по у (м), – число точек по оси y , – шаги изменения переменной, – выбранное значение x . Далее вводим функцию в соответствии c полученным выражением (1.38).

При построении графиков и не следует забывать о физически обусловленной зависимости поведения этих функций вблизи и внутри электродов, что обычно не учитывается в соответствующих математических выражениях и может привести к неверным результатам. Так если расчетная точка попадает внутрь электрода, то следует определить потенциал этой точки равным заданному потенциалу электрода, а напряженность поля внутри электрода для всех точек приравнять нулю.

Следовательно, для описания поведения подобных функций целесообразно пользоваться условными логическими операторами. Через операторы присваивания указываем в поле рабочего файла радиус провода = 0,01 (м), = 0, = -10 000 (В). Задаем граничные условия Дирихле в областях внутри электродов и на их поверхностях, используя логические операторы if и otherwise из панели Programming (см. рис. 1.11), которая вызывается через меню View/Toolbars/Programming.

Из рисунка (1.12) видно как изменяется потенциальная функция вдоль оси y при х = 0. Так поверхность нижнего провода эквипотенциальна и величина потенциала остается неизменной от до и равной -10 кВ. Аналогично, поверхность верхнего провода эквипотенциальна и величина потенциала остается неизменной от до и равной нулю. Далее с увеличением y влияние системы заряженных проводов на картину поля сказывается все слабее и потенциальная функция изменяется по линейному закону .

Функция распределения плотности свободного заряда s не содержит особенностей и является четной функцией относительно начала координат. Определим границы её изменения и зададим шаг приращения аргумента х. При построении графика распределения плотности свободного заряда s на поверхности земли (рис. 1.13) можно применить полученное аналитически выражение (1.39), которое вводится с клавиатуры в поле рабочего файла. Можно также использовать возможности пакета MathCAD , отыскав с его помощью производную от исследуемой функции. Оператор дифференцирования применяется для вычисления производной исследуемой функции и вызывается щелчком левой кнопкой мыши на соответствующей кнопке панели Calculus (рис. 1.11), вызываемой через меню View/Toolbars/Calculus.

Потенциальная функция, к которой идет обращение (рис. 1.13), задана ранее (см. рис. 1.12). Полученные результаты практически идентичны, поэтому на рис. (1.13) для того чтобы отличить графики, последний незначительно смещен (вверх). Характер изменения функции свободного заряда указывает на его положительные значения в области действия нижнего провода, несущего отрицательный заряд. При значительном удалении от проводов заряд стремится к своему предельному значению s = — 1 . 7 7 0 8 × 10 — 8 , обусловленному влиянием поля тучи.

Рис. 1.13. Пример программирования в MathCAD функции поверхностного свободного заряда

Отметим, что для изменения параметров выводимого графика и масштабной сетки в MathCAD необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши на графике, при этом он выделится синей рамкой, и далее нажать правую кнопку мыши. В возникшем контекстном меню следует выбрать команду “ Format …”, после чего появится окно редактирования параметров выводимого графика (рис. 1.14).

Для редактирования масштабной сетки следует использовать подраздел X — Y Axes (рис. 1.14), который включает следующие возможности: Log Scale – позволяет использовать логарифмический масштаб по соответствующей оси; Grid Lines – осуществляет вывод линий масштабной сетки по соответствующей оси; Numbered – осуществляет оцифровку масштаба по оси; Auto Grid – автоматически устанавливает число линий масштабной сетки по соответствующей оси (при установленном флаге) или позволяет ввести число линий масштабной сетки по соответствующей оси вручную в графе Number of Grids (при снятом флаге).

Активация того или иного пункта подраздела осуществляется установкой флага (в виде галочки) левой кнопкой мыши.

Рис. 1.14. Окно редактирования параметров выводимого графика

Для изменения параметров линий выводимых графиков необходимо использовать подраздел Traces окна редактирования параметров графика.

3 D -Графики. Создание графика поверхности и карты линий уровня

Шаблон 3 D -графика по умолчанию имеет один маркер ввода. В простейшем случае используется только один маркер, в который вводится имя массива (матрицы). При построении нескольких трехмерных графиков в одних осях число маркеров ввода увеличивается с использованием клавиши « ,».

Среди 3 D -графиков наиболее часто используются графики поверхности ( Surface Plot ) в ортогональной системе координат. Графики линий уровня ( Contour Plot ) и векторного поля ( Vector Field Plot ) по существу являются двумерными и позволяют исследовать линии равных значений двумерной функции и крутизну поверхности в каждой ее точке. Типы Data Points (точечный), Bar Plot (столбчатый), Patch Plot (ярусный) позволяют осуществлять изображение поверхностей в различном виде.

Трехмерный график можно построить тремя основными способами:

— по двумерному массиву данных в форме ряда значений;

— применением встроенной функции , где m и n – число строк и столбцов матрицы, f – имя функции двух переменных.

— формированием массива данных в виде матрицы путем программирования функциональной зависимости ее элемента от аргументов;

Если выражение для исследуемой функции определено, то последний способ находит наибольшее применение. В этом случае производят следующие действия:

а) Определяют функцию двух переменных;

б) Указывают границы расчетной области;

в) Задают сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введением дискретных аргументов i и j индексируются точки, где определяются значения функции;

г) Определяют координаты и точек через введённые дискретные переменные;

д) Через операцию присваивания определяют значения двумерного массива – матрицы значений исследуемой функции. MathCad линейно интерполирует значения этой матрицы и формирует требуемый график.

Построим график поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева).

На координатных осях x — y 3- D графиков откладывается число указанных пользователем индексных точек. По вертикальной оси z график исследуемой функции отображается в указанных пользователем размерных единицах. График потенциальной функции, изображённый на рис. 1.12, как функции одной переменной y , совпадает с сечением поверхности потенциальной функции двух переменных при значениях x = 0.

MathCAD позволяет представлять одну и ту же картину поля в различных типах. Выбор типа осуществляется с панели Graph при создании графика (см. рис. 1.11). Если панель Graph свернута, ее можно вызвать через основное меню View / Toolbars / Graph . При создании графика поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева) использовался тип Surface Plot , карты линий равного уровня тип Contour Plot (рис. 1.15 справа).

График определенного типа может быть создан заново или следует скопировать уже созданный и поменять его тип. Для копирования объекта (формулы или графика) необходимо предварительно его выделить, для чего следует: щелкнуть левой кнопкой мыши рядом с объектом, удерживая кнопку переместить курсор мыши на другую его сторону, отпустить кнопку. При этом объект выделяется синей рамкой и может быть скопирован в буфер обмена при нажатии комбинации клавиш Ctrl + C . Щелчок левой кнопкой мыши в свободной части рабочего файла и нажатие комбинации клавиш Ctrl + V позволяет скопировать содержимое буфера в указанное поле экрана. Операции копирования и вставки могут осуществляться также соответствующими командами “ Copy ” и “ Paste ” меню Edit .

Рис. 1.15. Пример построения потенциальной двумерной функции и эквипотенциалей в заданном сечении

Для того чтобы поменять тип уже созданного 3 D -графика нужно:

— дважды щелкнуть на графике левой кнопкой мыши или однократно щелкнуть на графике правой кнопкой мыши и выбрать из контекстного меню команду “ Format …”, появится окно 3- D Plot Format ;

— подраздел General , выбрать необходимый тип графика (рис. 1.16).

Отметим, что MathCAD предоставляет различные возможности изменить внешний вид графика: изменение масштаба; изменение цвета и форматирование линий; форматирование осей введением сетки.

Если значения функции на линиях уровня, при типе графика Contour Plot , не выведены, то следует вызвать окно 3- D Plot Format , выбрать подраздел Special , столбец Contour Options , активировать пункт Numbered – щелкнув в квадратике рядом с ним (появится галочка) и далее “Применить” (рис. 1.17). Нажатие кнопки ОК завершает операцию.

Рис. 1.16. Пример выбора типа графика в подразделе General окна 3- D Plot Format

Рис. 1.17. Пример назначения оцифровки линий равного уровня в подразделе Special окна 3- D Plot Format

При создании карты линий равного потенциала на рисунке (1.15) пункт Numbered был активирован, также как пункт Auto Contour , при этом MathCAD автоматически выводит значения функции на некотором числе линий уровня. Отключение пункта Auto Contour и задание в графе Number , активированном таким образом, числа шагов, позволяет пользователю самостоятельно изменять количество оцифрованных линий уровня. В большинстве случаев более удобным решением является использование встроенной функции CreateMesh .

Применение функции CreateMesh для построения линии равного уровня

Обращение : CreateMesh ( F ( или G , или f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap).

Возвращает в виде множества трехмерных векторов x — , y — и z = F координат исследуемой поверхности, определённых функцией F , G , или набором функций f 1 , f 2 и f 3 . Все аргументы функций не являются обязательными.

F – трёхэлементный вектор – функция двух переменных u и v ;

G – скалярная функция двух переменных u и v ;

f 1 , f 2 , f 3 – скалярные функции двух переменных u и v ;

s 0 – нижнее значение для независимой переменной u ;

s 1 – верхний предел (значение) для независимой переменной u ;

t 0 – нижний предел для независимой переменной v ;

t 1 – верхний предел для переменной v ;

sgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной u ;

tgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной v ;

fmap – вещественная функция трёхэлементного вектора трёх переменных, который определяет систему координат, начиная от декартовой (по умолчанию). Функция может быть определена или как функция трёх скаляров, или как функция отдельного вектора. Имеются две встроенные графические функции, которые могут использоваться в аргументах fmap : sph 2 xyz и syl 2 xyz . Это функции перехода от сферических (полярных) и круговых (цилиндрических) систем координат, соответственно, к декартовым координатам.

Пример описания векторной функции:

;

Пример описания скалярной функции:

Пример описания трёх функций:

f1(x,y) := x f2(x,y) := y f3(x,y) := sin (x) + cos (y).

Число ячеек в созданной сетке: ( sgrid – 1 ) × ( tgrid – 1).

MathCAD использует внутренние возможности при создании массива значений функции двух переменных.

Пример использования функции CreateMesh приведён в Разделе 2.

📺 Видео

Урок 234. Задачи на электрический потенциал - 2Скачать

Урок 231. Свойства электрического потенциалаСкачать

Падение потенциала вдоль проводникаСкачать

Урок 230. Простейшие задачи на электрический потенциалСкачать

Силовые линии электрического поляСкачать

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать

Электрический потенциал - определение и решение простых задач.Скачать

Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать

Лекция 2-2 Потенциал - примерыСкачать

Что такое разность потенциалов?Скачать

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать