Две теоремы об отрезках связанных с окружностью 10 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Урок геометрии в 10 классе по теме «Некоторые сведения из планиметрии. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью»

Анастасия Кириченко
Урок геометрии в 10 классе по теме «Некоторые сведения из планиметрии. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью»

Урок №2. Некоторые сведения из планиметрии.

(Две теоремы об отрезках, связанных с

окружностью.)

•Образовательные: рассмотреть соотношение отрезков, связанных с окружностью; формировать навык чтения чертежей.

•Развивающие: развить воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, математическую речь, память, внимание, умение делать выводы и обобщение.

•Воспитательные: воспитать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

1) Свойство пересекающихся хорд.

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды

Дано: окружность (O; R);

Доказать: AМ * BМ = CМ * DМ.

Доказательство: Рассмотрим треугольники ADМ и CBМ. Их углы A и C равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD. По аналогичной причине D = B. Поэтому треугольники ADМ и CBМ подобны (по второму признаку подобия треугольников). Таким образом, DМ/BМ = AМ/CМ, или

AМ * BМ = CМ * DМ. Теорема доказана.

2) Свойство касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки.

Теорема: Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей на его внешнюю часть

Дано: окружность (O; R);

Доказать: AK2 = ABAC.

Доказательство: Проведем отрезки ВK и СK. Треугольники ВKА и KСА подобны по второму признаку подобия треугольников: угол А у них общий, а углы ВKА и С равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВK (угол ВKА — это угол между касательной и хордой, а угол С – вписанный). Поэтому АK/АС = АВ/АK, или AK2 = ABAC. Теорема доказана.

3. Решение задач.

1. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найти ЕД, если

б) АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ЕД.

2. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найти ВВ1, если АС=4см, СА1=8см.

3. Через точку А проведены касательная АВ (В- точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и Д. Найти СД, если

4. Две окружности пересекаются в точках A и B; MN — общая касательная к ним. Докажите, что прямая AB делит отрезок MN пополам.

5. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной.Ответ: 6

Домашнее задание. П. 86, № 820

Открытый урок по математике в 4 классе по теме «Единицы массы. Тонна и центнер» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Любовшанская средняя общеобразовательная школа Открытый урок по математике на.

Урок биологии по теме «Класс Млекопитающие» в 7 классе Тема урока: «Класс млекопитающие». Цель: формирование понятия об особенностях организации млекопитающих, позволивших им занять все основные.

Урок литературного чтения в 4 классе по теме «Житие Сергия Радонежского» — памятник древнерусской литературы» Цели: дать обучающимся представление о житие; продолжать знакомить детей с многообразием творчества русского народа, расширять кругозор.

Урок математики в 3 классе специальной коррекционной школы 8 «Закрепление изученного материала по теме «Умножение числа 2» Продолжительность урока: 40 минут Место проведения: 3 специальный (коррекционный) класс Количество учащихся в классе: 5 Предмет: математика.

Урок математики в 4 классе по теме «Деление на трехзначное число» Тема: Деление на трехзначное число Цель: закрепление умения делить многозначные числа на трехзначное с использованием алгоритма деления.

Урок обучения грамоте в 1 классе по теме «Звуки [н], [н’], буквы Н, н» Тема: Звуки [н], [н’], буквы Н, н. Цели: — познакомить учащихся с сонорными согласными звуками [н], [н’] и буквами Н н; — учить давать им.

Урок письма в 4 классе для детей с интеллектуальными нарушениями по теме «Восклицательный знак в конце предложения» Цели: 1. Учиться употреблять в устной и письменной речи восклицательные предложения. Учиться выразительному чтению восклицательных предложений.

Урок по русскому языку в 5 классе по теме «Не с именами прилагательными» Урок по русскому языку 5 класс. Тема урока: Правописание не с именами прилагательными. Цель урока: Продолжить изучение темы «Прилагательное.

Урок математики в 1 классе в форме урока-путешествия «Четвертая математическая галактика» по теме «Прибавление числа 4» Урок – путешествие «Четвертая математическая галактика» по теме «Прибавление числа 4» Цель: 1) образовательная – учить выполнять сложение.

Урок географии в 7 классе «Обобщающее повторение по теме «Северная Америка» Урок географии в 7 классе ТЕМА: Обобщающее повторение по теме «Северная Америка» ЦЕЛИ: 1. Повторение, обобщение и систематизация знаний.

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью Методическая разработка учителя Поляковой Е. А. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемДенис Федорицкий

Похожие презентации

Презентация на тему: » Теоремы об отрезках, связанных с окружностью Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.» — Транскрипт:

1 Теоремы об отрезках, связанных с окружностью Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

2 Теорема об отрезках пересекающихся хорд Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды М А В C D Доказать: СМMD=AMMB Доказательство: (используйте рекомендации) Дано: АВ и СD – хорды окружности; причём АВ СD = М Сделайте заключение об углах 1 и Сделайте заключение об углах 3 и Сделайте заключение о ΔМВС и ΔMDА. 5. Запишите пропорцию, которая следует из подобия ΔМВС и ΔMDА. 6. Запишите равенство, используя основное свойство пропорции; сравните его с тем, что надо было доказать 1. Проведите хорды ВС и AD

3 Теорема о квадрате отрезка касательной Произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной Дано: МВ ̶ секущая, МК ̶ касательная, М ̶ точка вне окружности, К ̶ точка касания, А и В точки пересечения окружности и секущей МВ М К А В Доказать: МВMА=MК ² Доказательство: (если нужно, используйте рекомендации) 1. Проведите хорды AК и КВ Сделайте заключение об углах 1 и Сделайте заключение о ΔМВК и ΔMКА. 4. Запишите пропорцию, которая следует из подобия ΔМВК и ΔMКА. 5. Запишите равенство, используя основное свойство пропорции; сравните его с тем, что надо было доказать

4 О С А В В решении задач часто приходится использовать свойство отрезков касательных Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны

5 О С А В Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, образуют равные углы прямой, проходящей через эту точку и центр окружности

6 О А С В 820 – рекомендации к решению Окружность касается сторон АВ и АС ΔАВС и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, BP=CQ Докажите, что ΔАВС равнобедренный. РQ МN Доказательство: (если нужно, используйте рекомендации) 1) Примените свойство отрезков касательных, проведённых из точки А 2) Примените свойство касательной и секущей, проведённых из точки В 3) Примените свойство касательной и секущей, проведённых из точки C 4) Учтите, что BQ = BP + PQ; CP = CQ + PQ; BP=CQ (по усл.) и сделайте вывод о длине отрезков ВМ и СN 5) Используйте результаты шагов 1) и 4) для сравнения отрезков АВ и АС и вывода о виде ΔАВС

7 Рекомендации к решению задач 818 и 819 Геометрия 10-11, Атанасян Л. С. (издания. 15-18) 818 Прямая АС – касательная к окружности с центром О 1, а прямая BD – касательная к окружности с центром О 2. Докажите, что а) ADBC; б) АВ² =AD BC; в) BD² : AC² = AD:BC

8 818 (используйте рисунок 208 учебника) О 1 О 2 А В С D 1 2 1) Сделайте заключение об углах 1 и ) Сделайте заключение об углах 3 и 4 3) Учитывая шаги 1) и 2) сделайте заключение о ΔDВA и ΔАCB. 4) Cделайте заключение об углах DAВ и CBА, определите их вид, сделайте заключение об AD и ВС 5) Запишите пропорцию, следующую из подобия ΔDВA и ΔАCB; примените к ней основное свойство пропорции, сравните с равенством б) Доказательство: рекомендации к а) Рекомендации к б) Рекомендации к в) 6) Запишите 2 пропорции, где участвуют стороны, показанные на рисунке красным, зелёным и синим цветом, перемножьте их (левую часть на левую, правую на правую), полученное равенство сравните с равенством в)

9 819 О В D О1О1 М А СN Р Точка М лежит внутри четырёхугольника АВСD. Докажите, что тогда и только тогда, когда окружности, описанные около ΔАВМ и ΔMCD, имеют в точке М общую касательную Доказательство:(если нужно, используйте рекомендации) 1)Сделайте заключение об углах 1 и 2 2) Сделайте заключение об углах 3 и 4 3) Сделайте заключение, из каких углов составлен угол AMD 4) Запишите соответствующее равенство 5) Учитывая шаги 1) и 2) сделайте переход к равенству

10 Всем успехов в решении задач и в приобретении навыков – быть доказательным, аргументированным в любой дискуссии. Е. А.

📸 Видео