Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости называются скрещивающимися. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.
, так как
Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
= =
Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.
Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.
.
Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.
Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.
Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной. Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.
Так как , то .
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать
Параллельность прямых
О чем эта статья:
10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
- два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:
два соответственных угла равны между собой:
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- признаки скрещивающихся прямых;
- определение углов с сонаправленными сторонами;
- доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
- доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Глоссарий по теме
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
- Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.
Открытый электронный ресурс:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)
Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).
- Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
Теорема доказана.
Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD
Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:
|
|
|