Курс школьной геометрии » Окружность

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Обновлено
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюВзаимное расположение двух окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюОбщие касательные к двум окружностям
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Содержание
  1. Взаимное расположение двух окружностей
  2. Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  3. Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  4. Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
  5. Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Каждая из окружностей лежит вне другойДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внешнее касание двух окружностейДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутреннее касание двух окружностейДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Окружности пересекаются в двух точкахДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Каждая из окружностей лежит вне другой
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внешнее касание двух окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутреннее касание двух окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Окружности пересекаются в двух точках
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Каждая из окружностей лежит вне другой
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутреннее касание двух окружностейДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Окружности пересекаются в двух точкахДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внешнее касание двух окружностейДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутренняя касательная к двум окружностям
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутреннее касание двух окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Окружности пересекаются в двух точках
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внешнее касание двух окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Каждая из окружностей лежит вне другой
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутренняя касательная к двум окружностямДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Общая хорда двух пересекающихся окружностейДве окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Внешняя касательная к двум окружностям
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Внутренняя касательная к двум окружностям
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюПусть Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуютогда Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюто есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюПроведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Тогда Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.

Из первого решения известно, что Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуюИз подобия треугольников AKD и AKB следует Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательнуютаким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Теперь несложно вычислить Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

Данное утверждение может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Доказательство смотрите на Youtube канале

Две окружности касаются внешним образом и имеют общую касательную

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Поделиться или сохранить к себе:
О сайте | | © 2026 Курс школьной геометрии.