Два диаметра окружности пересекаются верно или нет

Математика | 5 — 9 классы

Какое из следующих утверждений верны 1 любые два диаметра окружности пересекаются 2 две прямые , перпендикулярные третьей прямой , перпендикулярны 3 треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

1) два диаметра окружности пересекаются — это верно

2) 2 прямые, перпендикулярные третьей, должны быть параллельны — значит, второе утверждение не верно

3) по теореме Пифагора 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = 5 ^ 2 третье утверждение верно : не существует треуг — ка со сторонами 1, 2, 4.

Видео:№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

Помогите?

Докажите что если две прямые перпендикулярны третьей прямой то эти прямые параллельны.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Какие из нижеприведённых утверждений верные , а какие — нет?

Какие из нижеприведённых утверждений верные , а какие — нет?

1) Через точку , лежащую вне прямой , можно провести несколько прямых , параллельных этой прямой.

2) Если две прямые на плоскости не перпендикулярны третьей прямой, то они пересекаются.

3) Через точку , лежащую вне прямой , можно провести только одну прямую , параллельную этой прямой.

4) Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Укажите в ответе номера верных утверждений?

Укажите в ответе номера верных утверждений.

1) Существуют две различные прямые, не проходящие через одну общую точку.

2) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его медиан.

3) Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

5)Диагонали прямоугольника перпендикулярны.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Выберите верное утверждение?

Выберите верное утверждение.

А) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек ; б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны ; в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны ; г) если углы равны, то их стороны соответственно сонаправлены ; д) лучи, выходящие из одной точки, являются сонаправленными.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Какие из нижеприведенных утверждений верные, а какие — нет?

Какие из нижеприведенных утверждений верные, а какие — нет?

1)Через точку, лежащую вне прямой, можно провести несколько прямых, параллельных этой прямой.

2)Если две прямые на плоскости не перпендикулярны третьей прямой, то они пересекаются.

3)Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

4)Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Видео:Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны?

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

Какие из следующих утверждений верны : 1) через данную точку к прямой можно провести несколько перпендикуляров ; 2) перпендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла ; 3) две пересекающиес?

Какие из следующих утверждений верны : 1) через данную точку к прямой можно провести несколько перпендикуляров ; 2) перпендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла ; 3) две пересекающиеся прямые всегда перпендикулярны ; 4) через данную точку можно провести только одну прямую, которая перпендикулярна данной прямой.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Начертите две перпендикулярные прямые и третью прямую, проходящую через точку пересечения двух заданных прямых?

Начертите две перпендикулярные прямые и третью прямую, проходящую через точку пересечения двух заданных прямых.

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

Укажите номера верных утверждений 1)в равнобедренной трапеции углы при основании равны?

Укажите номера верных утверждений 1)в равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2)диаметр окружности в 2 раза больше ее радиуса.

3)диагонали ромба перпендикулярны.

4)если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

Какие из следующих утверждений верны :1)через заданную точку к прямой можно провести несколько перпендикуляров ;2)Перпендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла ;3)Две пересекающиеся пр?

Какие из следующих утверждений верны :

1)через заданную точку к прямой можно провести несколько перпендикуляров ;

2)Перпендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла ;

3)Две пересекающиеся прямые всегда перпендикулярны ;

4)Через заданную точку можно провести только одну прямую, которая перпендикулярна данной прямой.

На этой странице находится ответ на вопрос Какое из следующих утверждений верны 1 любые два диаметра окружности пересекаются 2 две прямые , перпендикулярные третьей прямой , перпендикулярны 3 треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует?, из категории Математика, соответствующий программе для 5 — 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

Было — ? ? увезли — ? , 3 по 6 т. Осталось — 62 т. 1)6×3 = 18(т. ) — увезли в 3 машин. 2)62 + 18 = 80(т. ) — всего ответ : всего было 80 т. Груза.

(((9540 : 90) + 25) * 80) = 10480 (210 : ( : 1000 : 10) — 30) = 3.

В : 504 = 1234 в = 1234 * 504 в = 621936.

1, 8x — 3, 6 = 2(x — 1, 8) 1, 8x — 3, 6 = 2x — 3, 6 1, 8x — 2x = 3, 6 — 3, 6 — 0, 2x = 0 x = 0.

При 16см = 16 см ^ 2 при 2см = 1 / 4 см ^ 2 при 12см = 9 см ^ 2 при 30см = 5 5 / 8 см ^ 2 при 6см = 2 1 / 4 см ^ 2.

1 — если а = 3, 2, 1, 0. Изи))))))).

100 : 10 = 10 ; 60 : 10 = 6 ; 40 : 10 = 4.

100 : 10 = 10, 60 : 10 = 6, 40 : 10 = 4.

11 * 709 . 11 — — — — — — — — — — — = — — — 31 * 709. 31.

11 ^ 4 / 84 + 2 / 3 = 928 / 84 + 2 / 3 = 928 / 84 + 56 / 84 = 984 / 84 = 82 / 7 = 11 ^ 5 / 7.

Видео:Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

📽️ Видео

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

#26. EGMO-2022, Problem 6Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Задание 16 Часть 3Скачать

ОГЭ по математике. 3 вар. (20) Какое из следующих утверждений верно ОГЭСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Задача от 84-летнего любителя математикиСкачать