Достроить треугольник до квадрата

Скачать
презентациюСпасибо за просмотр >>

+. Достроим треугольник до квадрата со стороной (a+b). Sкв=(a+b)? S?= ?·ab Sкв=4·S?+S S=4·?ab+c? Sкв=2ab+c? (a+b)?=2ab+c? a?+2ab+b?=2ab+c c?=a?+b?

Слайд 20 из презентации «Теорема Пифагора для треугольника». Размер архива с презентацией 2468 КБ.

Видео:Построение квадрата циркулем по заданной сторонеСкачать

Геометрия 8 класс

««Теорема Фалеса» 8 класс» — Фалес известен как геометр. Диагональ. Отрезок. Навыки решения задач. Задачи на готовых чертежах. Фалес Милетский. Исследование. Задача. Доказательство. Анализ. Теорема Фалеса. Изречения Фалеса. Найти углы трапеции. Середины боковых сторон. Доказать. Параллельные прямые.

«Прямоугольники» — Картины. Диагонали. Человек. Сказка о прямоугольнике. Площадь прямоугольника. Периметр прямоугольника. Прямоугольник в жизни. Сторона прямоугольника. Противоположные стороны. Диагональ. Прямоугольник. Стороны прямоугольника. Определение.

««Трапеция» 8 класс» — Виды трапеций. Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом. Определение. Свойства равнобедренной трапеции. Признаки равнобедренной трапеции. Задания для устной работы. Площадь трапеции. Средняя линия трапеции. Трапеция. Элементы трапеции. Являются ли четырёхугольники трапециями. Трапециевидные мышцы обеих сторон спины вместе имеют форму трапеции.

«Решение теоремы Пифагора» — Далекий век. Полноценное доказательство. Треугольники . Высота. Прямоугольник. Хаммураби. Части окон. Диаметр. Геометрия. Шестиугольники. Задача о лотосе. Последователи. Теорема Пифагора. Приложения теоремы Пифагора. Простейшее доказательство. Применение теоремы. Квадрат. Мотив. Пифагорейцы. Диагональ. Премия. Биография Пифагора. История теоремы. Доказательство 9 века н.э. Кантор. Доказательство методом дополнения.

«Построение касательной к окружности» — Касательная к окружности. Хорда. Общие точки. Решение. Взаимное расположение прямой и окружности. Теорема об отрезках касательных. Окружность и прямая имеют одну общую точку. Окружность и прямая. Диаметр. Повторение. Окружность.

««Квадрат» 8 класс» — Богатый торговец. Устные задачи. Квадрат. Задания для устной работы по периметру квадрата. Чёрный квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Признаки квадрата. Периметр квадрата. Сумка с квадратным основанием. Площадь квадрата. Свойства квадрата. Квадрат среди нас. Сколько квадратов изображено на рисунке. Задания для устной работы по площади квадрата.

Всего в теме «Геометрия 8 класс» 69 презентаций

Видео:Как построить квадрат, два способаСкачать

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c:

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a + b:

Площадь данного квадрата S будет равна (a + b) 2 :

С другой стороны, площадь этого квадрата состоит из четырёх одинаковых треугольник, площадь каждого из которых равна половине произведения их катетов (ab : 2), и квадрата со стороной c, поэтому:

Так квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

то для того, чтобы наше равенство было верным c 2 должен быть равен a 2 + b 2 . Таким образом,

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Если a 2 + b 2 = c 2 , то треугольник ABC — прямоугольный.

Возьмём треугольник ABC со сторонами a, b и c, у которого c 2 = a 2 + b 2 . Докажем, что ∠A = 90°:

По теореме Пифагора:

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам, поэтому ∠A = ∠A₁ = 90°, то есть треугольник ABC является прямоугольным. Теорема доказана.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

учащаяся 9 «А» класса

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы.

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8

3. Заключение 19

4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она — навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? — Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора — свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «. и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город — город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе, я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в².

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с² =2ав + с².

Теорема доказана.
2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС² +СВ² = АВ².

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * ( АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с. (рис. 4).

sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

Сложив их, получим:

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6 ). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

,

,

с2 = а2 + b2.

ABС, = 90°, ВС = а, АС=b, АВ = с.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD

📽️ Видео

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ КУБА, ЦИЛИНДРА, ШАРАСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение правильного квадрата.Скачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

ДОСТРОИТЬ ПРОЕКЦИИ КВАДРАТА. Олимпиадные задачи по начертательной геометрии. Олимпиада для чайниковСкачать

Как строить сеченияСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Как построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей сторонеСкачать

Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Задача, которую боятсяСкачать

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать