Дополнение к множеству треугольников

Практическая работа «Операции над множествами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Практическая работа №1

Тема: «Выполнение операций над множествами»

Цель: развитие практических навыков задания множеств, выполнения операций над множествами.

Время выполнения : 90 минут.

1. Найдите объединение, пересечение, разность множеств А и В , если:

а) А = ] Дополнение к множеству треугольников; B =[1; + Дополнение к множеству треугольников)

2. (Устно) Найдите дополнение в множестве всех треугольников к множеству:

а) всех равносторонних треугольников;

б) всех равнобедренных треугольников;

в) всех прямоугольных треугольников.

а) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС ); е) АВ;

б) ( С Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольниковА ; ж) А Дополнение к множеству треугольниковВ;

в) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС ); з) В Дополнение к множеству треугольниковС.

г) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС );

д) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС) ;

4.(Устно)Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов;

г) геометрических фигур;

д) населенных пунктов;

ж) политических деятелей.

Пусть А – множество корней уравнения Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников. Перечислите элементы множеств:

а) А Дополнение к множеству треугольников

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < x : x Дополнение к множеству треугольниковN , -2 ≤ x ≤ 5>;

б) В = < х : x Дополнение к множеству треугольниковZ , | x |

в) С = < х : x Дополнение к множеству треугольниковN , 2 х 2 + 5 х – 3 = 0>.

3.Даны множества: А= Дополнение к множеству треугольников. Найдите А Дополнение к множеству треугольников

4.Даны два множества: А – множество стран и В – множество материков. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок. А= Дополнение к множеству треугольников, В= Дополнение к множеству треугольников.

Пусть А – множество корней уравнения Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников. Перечислите элементы множеств:

а) А Дополнение к множеству треугольников

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < х : x Дополнение к множеству треугольниковZ , | x | = 4>;

б) В = < х : x Дополнение к множеству треугольниковN , –2 х ≤ 5>;

в) С = < х : x Дополнение к множеству треугольниковQ , x 2 + 3 х + 4 = 0>.

3.Даны множества: А= Дополнение к множеству треугольников. Найдите А Дополнение к множеству треугольников

4.Даны два множества: А – множество месяцев года и В – множество времён года. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок.

Пусть А – множество корней уравнения Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников. Перечислите элементы множеств:

а) А Дополнение к множеству треугольников

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < х: x Дополнение к множеству треугольниковZ , –2 ≤ x ≤ 3>;

б) В = < х : x Дополнение к множеству треугольниковN , (5 х + 6)( х – 4) = 0>;

в) С = < х : x Дополнение к множеству треугольниковN , | x | = 7>.

3.Даны множества: А= Дополнение к множеству треугольников. Найдите А Дополнение к множеству треугольников

4.Даны два множества: А – множество стран и В – множество материков. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок. А= Дополнение к множеству треугольников, В= Дополнение к множеству треугольников.

Пусть А – множество корней уравнения Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников. Перечислите элементы множеств:

а) А Дополнение к множеству треугольников

2. Перечислите элементы каждого из множеств:

а) А = < х : х Дополнение к множеству треугольниковN , х ≤ 4>;

б) В = < х : х Дополнение к множеству треугольниковZ , ( х + 1)(– х – 3) = 0>;

в) С = < х : х Дополнение к множеству треугольниковN , | х | = 5>.

3.Даны множества: А= Дополнение к множеству треугольников. Найдите А Дополнение к множеству треугольников

4. Даны два множества: А – множество месяцев года и В – множество времён года. Задайте соответствие между этими множествами с помощью стрелок.

1. Назовите элементы, принадлежащие множеству:

а) студентов вашей группы;

б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;

в) всех частей света;

г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.

2. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

3.Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];

б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;

в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;

г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

д) Е – множество натуральных делителей числа 18;

е) F – множество чисел, модуль которых равен Дополнение к множеству треугольников.

4.На факультете филологии и журналистики учатся студенты, получающие стипендию, и студенты, не получающие стипендию. Пусть А – множество всех студентов факультета; В – множество студентов факультета, получающих стипендию.

Укажите, что собой представляет объединение , пересечение и разность множеств А и В .

Для отчёта представить:

Решение индивидуального задания.

Письменные ответы на контрольные вопросы.

«5» — выполнено 90-100% всех заданий;

«4» — выполнено 70-90% всех заданий;

«3» — выполнено 50-70% всех заданий;

«2» — выполнено менее 50% всех заданий.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Видео:3.5 Дополнение множестваСкачать

3.5 Дополнение множества

Множество в математике с примерами решения и образцами выполнения

Математика — это точная абстрактная наука, оперирующая своими специальными понятиями, структурами и символами. Основными методами в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения, а объектами изучения — математические модели. Но абстрактность математики не означает ее отрыв от реальной жизни. Реальные задачи описываются в математических терминах, как правило в безразмерном виде. Это есть так называемая
математическая модель явления. При решении уже поставленной математической задачи используются абстрактные математические методы.

Одна и та же математическая модель может описывать свойства различных реальных явлений. Само реальное явление рассматривается вновь после решения математической задачи и ее анализа, на основании которого могут быть сделаны выводы
не только о состоянии явления, но и о его развитии. В этом смысле без математики нет науки. Еще великий Леонардо да Винчи писал: «Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить ни одну из математических наук, ив том, что не имеет связи с математикой.» И еще: » Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.»

Математические методы играют огромную роль в образовании современного высококвалифицированного специалиста в технических областях, предоставляя ему аппарат исследования, дисциплинируя, приучая к строгим логическим рассуждениям.
Поскольку язык и методы математики широко используются при современном преподавании всех естественно-научных и технических дисциплин, математика изучается с первого семестра в любом высшем техническом учебном заведении, и на нее выделяется значительная часть бюджета времени студента.

Под множеством понимают любой набор определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое. Это высказывание не является определением, поскольку слово « множество» заменено словом «набор». Близкими к понятию «множество» являются понятия: собрание, совокупность, комплекс, система и т. п. Вместе с тем здесь имеется три важных момента.

Объекты, входящие во множество, определенные (т. е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет), различимы между собой (во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов) и все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое (все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются).

Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Объекты, входящие во множество, называют элементами и их обозначают строчными буквами. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным.

Множество может быть задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. В записи правило, задающее множество, отделено вертикальной чертой. Например, пусть множество В есть множество решений уравнения Дополнение к множеству треугольниковтогда В можно записать так Дополнение к множеству треугольниковЭлементами множества В являются числа 2 и 3, то есть Дополнение к множеству треугольников

Конечное множество может быть задано перечислением входящих в него и разделенных запятой элементов, например, Дополнение к множеству треугольниковМножество может содержать и всего лишь один элемент. Множество, не содержащее вообще ни одного эле-

мента, называется пустым и обозначается символом Дополнение к множеству треугольниковНапример, пусть Дополнение к множеству треугольниковесть множество точек на плоскости, удовлетворяющих условию Дополнение к множеству треугольниковПри Дополнение к множеству треугольниковокружность, при Дополнение к множеству треугольниководна точка, а при Дополнение к множеству треугольниковпустое множество.

Для указания того факта, что объект принадлежит данному множеству, используют знак Дополнение к множеству треугольниковНапример, Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольниковЕсли же объект не принадлежит данному множеству, то пишут знак Дополнение к множеству треугольниковНапример, Дополнение к множеству треугольников

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент В одновременно является элементом множества А. Это записывается так: Дополнение к множеству треугольников

Пример:

Пусть заданы множества Дополнение к множеству треугольниковОчевидно, что В есть подмножество А, т. е. Дополнение к множеству треугольниковИз определения следует, что множество А есть подмножество самого себя, т. е. Дополнение к множеству треугольниковГоворят, что А — самое широкое подмножество А. Пустое множество является самым узким подмножеством любого множества. Множество А и пустое множество Дополнение к множеству треугольниковназываются несобственными подмножествами множества А. Все другие подмножества А называются собственными подмножествами А.

Пример:

Если Дополнение к множеству треугольниковто оно имеет, следующие подмножества: Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольниковВсего 8 подмножеств.

Если конечное множество А состоит из п элементов, то оно имеет ровно Дополнение к множеству треугольниковподмножеств. Из них ровно Дополнение к множеству треугольниковявляются собственными подмножествами. Элементами множества могут также выступать и другие множества. В этом случае говорят не о множестве множеств, а о системе множеств. Частным случаем системы множеств является система всех подмножеств данного множества А и обозначается Р(А). Так, система подмножеств множества А из предыдущего примера имеет вид

Дополнение к множеству треугольников

Замечание. Не следует путать символы Дополнение к множеству треугольникови Дополнение к множеству треугольников. Символ Дополнение к множеству треугольниковупотребляется для обозначения отношения элемента к множеству. Символ Дополнение к множеству треугольниковупотребляется для обозначения отношения множества к множеству.

Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют базовым или универсумом. Базовое множество обозначают буквой Дополнение к множеству треугольниковПримерами универсума являются: числа в арифметике, слова в языкознании, законы в юриспруденции и т.п.

Дополнение к множеству треугольников

Видео:2.6 Дополнение множества | Константин Правдин | ИТМОСкачать

2.6 Дополнение множества | Константин Правдин | ИТМО

Операции над множествами

Множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Равенство множеств

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: А=В. Если множества не равны, то пишут: А Дополнение к множеству треугольниковВ. Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А=В» эквивалентна записи Дополнение к множеству треугольников

Пример. Доказать, что множество Дополнение к множеству треугольниковравно множеству В корней уравнения Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольников

Для доказательства решим уравнение. Получим: Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольниковСледовательно, Дополнение к множеству треугольниковили Дополнение к множеству треугольниковЗатем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0,2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно Дополнение к множеству треугольниковили Дополнение к множеству треугольниковТеперь можно записать, что А=В.

Объединение (сумма) множеств

Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. Обозначается: Дополнение к множеству треугольниковПример. Если Дополнение к множеству треугольников

Можно рассматривать объединение Дополнение к множеству треугольниковмножеств:

Дополнение к множеству треугольников

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств Дополнение к множеству треугольниковНапример, множество всех дей-

ствительных чисел Дополнение к множеству треугольниковсостоит из множества положительных чисел Дополнение к множеству треугольниковмножества отрицательных чисел Дополнение к множеству треугольникови множества Дополнение к множеству треугольниковсодержащего один элемент — ноль, то есть Дополнение к множеству треугольников

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна. Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1-1.5.

Пересечение (умножение) множеств

Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Дополнение к множеству треугольниковНапример: Дополнение к множеству треугольников

Можно рассматривать пересечение Дополнение к множеству треугольниковмножеств:

Дополнение к множеству треугольников

при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества Дополнение к множеству треугольниковПересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2.

Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы Дополнение к множеству треугольниковесли

Дополнение к множеству треугольников

для всех Дополнение к множеству треугольниковпричем Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс.

Видео:Множество. Элементы множества. 5 класс.Скачать

Множество. Элементы множества. 5 класс.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств А и В называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: Дополнение к множеству треугольниковОтметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис. 1.3). Например, Дополнение к множеству треугольников

Если В — подмножество Дополнение к множеству треугольниковто разность Дополнение к множеству треугольниковназывается дополнением к В до А. Например, если Дополнение к множеству треугольникови Дополнение к множеству треугольниковто множество Дополнение к множеству треугольниковдополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4. Дополнение к А до универсума Дополнение к множеству треугольниковимеет особое обозначение: Дополнение к множеству треугольников(см. рис. 1.5).

Пример. Пусть Дополнение к множеству треугольниковТакое множество называется множеством неотрицательных чисел.

Тогда Дополнение к множеству треугольниковэто множество отрицательных чисел.

Операции над множествами подчиняются определенным законам. Перечислим их.

1.Коммутативный или переместительный закон

Дополнение к множеству треугольников

2.Ассоциативный или сочетательный закон

Дополнение к множеству треугольников

Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают.

3.Дистрибутивный или распределительный закон:

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

6.Закон двойственности де Моргана:

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

10.Если Дополнение к множеству треугольникови одновременно Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Из законов (1-12) следует принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения Дополнение к множеству треугольниковна знак пересечения Дополнение к множеству треугольниковмножество универсум Дополнение к множеству треугольниковна пустое множество Дополнение к множеству треугольникови наоборот.

Видео:Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение множеств) – 8 класс алгебраСкачать

Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение множеств) – 8 класс алгебра

Прямое произведение множеств

Кортежем называют любую выделенную упорядоченную совокупность объектов (элементов кортежа). Синонимами понятия «кортеж» являются: упорядоченная система, упорядоченная совокупность, вектор, упорядоченный набор, «Дополнение к множеству треугольников-ка» и др. Отличие кортежа от множества заключается в том, что компоненты кортежа упорядочены и могут полностью или частично совпадать. Два кортежа называются равными, если они имеют

одинаковую длину, и все их соответствующие компоненты совпадают.

Элементы, составляющие кортеж, называются компонентами, которые в силу упорядоченности имеют номер: первый компонент, второй компонент, … Дополнение к множеству треугольников-ый компонент. Длиной кортежа называют число компонентов в кортеже. Когда вместо термина «кортеж» употребляется термин «вектор», то говорят соответственно о координатах и размерности вектора.

Примеры кортежей: Дополнение к множеству треугольниковЭто кортеж N длины 5, первый компонент которого — 8, второй — 7, третий — 4 и т. д.; Дополнение к множеству треугольниковв этом случае Дополнение к множеству треугольниковвторой, а Дополнение к множеству треугольниковчетвертый компонент кортежа М.

Прямым произведением двух множеств А и В (обозначается Дополнение к множеству треугольниковназывается множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первый компонент которых принадлежит А, второй -В. Если первый сомножитель имеет Дополнение к множеству треугольниковэлементов, а второй — Дополнение к множеству треугольниковто их прямое произведение имеет Дополнение к множеству треугольниковэлементов, каждый из которых — упорядоченная пара. Например, если Дополнение к множеству треугольникови Дополнение к множеству треугольниковВ общем случае, если Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольниковТем самым прямым произведением Дополнение к множеству треугольниковмножеств Дополнение к множеству треугольниковназывается множество всех кортежей длины Дополнение к множеству треугольников(Дополнение к множеству треугольников-ок), первый компонент которых принадлежит Дополнение к множеству треугольниковвторой Дополнение к множеству треугольников-тый — Дополнение к множеству треугольниковт. е.

Дополнение к множеству треугольников

где Дополнение к множеству треугольников-ый элемент множества Дополнение к множеству треугольников

Если все множества Дополнение к множеству треугольниковравны между собой, то есть Дополнение к множеству треугольниковто прямое произведение множеств обозначается как Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Например: пусть R — множество действительных чисел, тогда Дополнение к множеству треугольниковмножество упорядоченных пар вида Дополнение к множеству треугольниковГеометрически R — множество точек числовой оси, тогда Дополнение к множеству треугольниковмножество точек плоскости, где Дополнение к множеству треугольниковкоординаты этих точек. Прямое произведение часто называют декартовым произведением множеств. Множество Р называется графиком, если

каждый его элемент является упорядоченной парой, следовательно, любое подмножество множества Дополнение к множеству треугольниковможно назвать графиком.

Проекцией кортежа Дополнение к множеству треугольниковна і-ю ось Дополнение к множеству треугольниковназывается і-ый компонент кортежа, т. е. Дополнение к множеству треугольниковПроекция точки плоскости на первую ось Дополнение к множеству треугольниковназывается абсциссой, на вторую ось — ординатой Дополнение к множеству треугольниковИз определения прямого произведения следует, что оно не коммутативно, т. е. Дополнение к множеству треугольников

Пример:

Пусть А — отрезок [1,3], В — отрезок [2,5]. Тогда Дополнение к множеству треугольниковмножество точек прямоугольника, заштрихованного на рис. 1.6, Дополнение к множеству треугольниковпрямоугольник, заштрихованный на рис. 1.7.

Дополнение к множеству треугольников

Пример:

Пусть А — множество, элементами которого являются буквы, цифры и все знаки операций и препинания. Такое множество называют алфавитом. Тогда Дополнение к множеству треугольниковмножество всех слов длины Дополнение к множеству треугольников.

Природа компонентов прямого произведения обычно отличается от природы элементов сомножителей. Например, пусть Q — множество участников шахматного турнира, тогда Дополнение к множеству треугольниковпри всех Дополнение к множеству треугольниковесть множество пар участников, причем Дополнение к множеству треугольниковиграет белыми фигурами, Дополнение к множеству треугольниковчерными.

Видео:9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

9 класс, 2 урок, Множества и операции над ними

Понятие соответствия

Пусть заданы два множества Дополнение к множеству треугольников. Если для каждого элемента Дополнение к множеству треугольниковуказан элемент Дополнение к множеству треугольниковс которым сопоставляется Дополнение к множеству треугольниковто говорят, что между множествами Дополнение к множеству треугольниковустановлено соответствие. Иначе говоря, соответствием называется тройка множеств Дополнение к множеству треугольниковМножество Дополнение к множеству треугольниковназывается областью отправления, Дополнение к множеству треугольников— областью прибытия, Дополнение к множеству треугольников— графиком соответствия. Если Дополнение к множеству треугольниковто множество первых проекций Дополнение к множеству треугольниковназывается областью определения соответствия, множество вторых проекций Дополнение к множеству треугольников— областью значений этого соответствия, Дополнение к множеству треугольниковграфик соответствия.

Два соответствия равны тогда и только тогда, когда равны их области отправления, области прибытия и графики. Пример. Заданы четыре разных соответствия, имеющие одинаковые области отправления и прибытия:

Дополнение к множеству треугольников

На рис. 1.8а, 1.86, 1.8в, и 1.8г. различия этих соответствий видны достаточно наглядно.

Дополнение к множеству треугольников

В соответствии Дополнение к множеству треугольниковмножество всех Дополнение к множеству треугольниковкоторые сопоставляются элементу Дополнение к множеству треугольниковназывается образом Дополнение к множеству треугольниковМножество же всех Дополнение к множеству треугольниковкоторым сопоставляют элемент Дополнение к множеству треугольниковназывается прообразом Дополнение к множеству треугольников

Соответствие называется всюду определенным, если множество Дополнение к множеству треугольниковт. е. его область определения, совпадает с областью отправления (в противном случае говорят о частичном соответствии). Если же Дополнение к множеству треугольниковто соответствие называют сюръективным, или накрывающим. Это означает, что область значений соответствия совпадает с его областью прибытия. На рис. 1.8 а и 1.8 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис.18 в и 1.8 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 1.8, г не всюду определенное.

Соответствие Дополнение к множеству треугольниковназывается функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из Дополнение к множеству треугольниковявляется единственный элемент из Дополнение к множеству треугольниковГрафик такого соответствия называется функциональным. Это означает, что в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Например, соответствие, представленное на рис. 1.8 б, нефункционально. Соответствие называется инъективным, если любому элементу из Дополнение к множеству треугольниковсоответствует единственный элемент из Дополнение к множеству треугольников, на рис. 1.8 в изображено инъективное соответствие.

Соответствие между Дополнение к множеству треугольниковназывается взаимно-однозначным (или биективным), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Пусть Дополнение к множеству треугольников— множества вещественных чисел. В этом случае график соответствия Дополнение к множеству треугольниковможет быть представлен некоторой линией на плоскости. Например. На рис. 1.9 представлено функциональное соответствие, но оно не инъективно (некоторым Дополнение к множеству треугольниковсоответствует более одного Дополнение к множеству треугольников), не всюду определено ( Дополнение к множеству треугольниковопределен не для всех Дополнение к множеству треугольников), не сюръективно ( Дополнение к множеству треугольниковпроектируется не на все Дополнение к множеству треугольников) и не биективно. На рис. 1.10 представлено нефункциональное соответствие, которое не всюду определено, сюръективно и не биективно. На рис. 1.11 представлено взаимно-однозначное соответствие.

Дополнение к множеству треугольников

Видео:Множества и операции над нимиСкачать

Множества и операции над ними

Мощность множества

Мощность множества характеризует количество элементов этого множества. Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Число элементов в конечном множестве А называется кардинальным числом и обозначается |А|. Подсчет элементов конечного множества заключается в установлении взаимно-однозначного соответствия между этими элементами и конечной последовательностью натуральных чисел.

Множество называется бесконечным, если оно равномощно хотя бы одному из его собственных подмножеств. Бесконечное множество А называется счетным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел N. Примеры счетных множеств: множество целых чисел, четных чисел, рациональных чисел. Счетное множество образуется при объединении счетного множества конечных множеств (например, множество слов в любом конечном алфавите) и т. д. Счетным будет и объединение счетного множества счетных множеств (множество всех векторов с натуральными компонентами). Множество А называется не более чем счетным, дискретным, если оно конечно (в частности, пусто) или счетно. Счетное множество среди бесконечных множеств имеет наименьшую мощность.

Рассмотрим все вещественные числа на отрезке Дополнение к множеству треугольниковЭти числа не могут быть пронумерованы, следовательно, их множество не образует счетное множество, оно несчетно. По определению, множество, равномощное множеству всех вещественных чисел

единичного отрезка числовой оси, имеет мощность континуума (непрерывное множество). Мощность множества континуума превышает мощность счетного множества. Любой конечный отрезок числовой оси равномощен единичному отрезку. Более того, любой конечный отрезок равномощен и всей числовой оси. Например, между отрезком Дополнение к множеству треугольникови множеством Дополнение к множеству треугольниковможно установить такое соответствие: Дополнение к множеству треугольников

Множества наибольшей мощности не существует. Это следует из того, что мощность любого множества А всегда строго меньше мощности множества всех его подмножеств Дополнение к множеству треугольников

Видео:A.2.8 Дополнение, вычитание и декартово произведение множествСкачать

A.2.8 Дополнение, вычитание и декартово произведение множеств

Множества — основные понятия

Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами этого множества. Например, можно говорить о множестве студентов данного вуза, множестве учебников по математике, множестве треугольников, множестве действительных чисел и т. д. Множества, содержащие конечное число элементов, называются конечными (множество студентов, множество учебников). Множества с бесконечным числом элементов называются бесконечными (множество треугольников, множество действительных чисел).

Множество обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, С, …, а их элементы — малыми а, b, с, ….

Утверждение ’’элемент х принадлежит множеству А” записывается так : «х ∈ А ”, а противоположное утверждение ” элемент х не принадлежит множеству А” записывается так : ”х ∉ А ”.

Определение:

Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, то говорят, что ” А содержится в В” или: ” А является подмножеством В”, и записывают так: AВ.

Определение:

Два множества называются равными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B.

Пример:

Сформулируйте словами утверждение:
A=B⇔ A ⊂ B и B ⊂ A и докажите его.

Конечное множество можно задать перечислением его элементов. Так, запись A = означает, что множество А состоит из трех чисел 1,2,3. При этом порядок перечисления элементов не играет роли: = .

Бесконечное множество можно задать, написав условие, которое выполняется для всех элементов данного множества и не выполняется для других. Запись
В = <x | 1 Дополнение к множеству треугольниковРис. 1. Диаграмма Эйлера

Определение:

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом ⊘.

Так, например, множество отрицательных натуральных чисел пусто.

Операции над множествами

Определение:

Пересечением множеств A и B называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в А, и в В. Это записывается следующим образом: A ∩ В = С.

Иллюстрация пересечения двух множеств с помощью диаграмм Эйлера приведена на рис. 2, где множество C заштриховано.

Дополнение к множеству треугольниковРис. 2. Пересечение множеств А и В

Пример:

Если множество А есть интервал (1 ;5) а множество В есть интервал (2;7), то пересечение множеств A и B есть интервал (2;5).

Свойства операции пересечения множеств приведем без доказательств:

  1. A ∩ В = В ∩ А(коммутативность).
  2. A ∩ (В ∩ С) = (A ∩ В) ∩ C = A ∩ В ∩ С(ассоциативность).
  3. A ⊂ В ⟹ А ∩ В = А.
  4. A∩A= А.
  5. A ∩ ⊘ = ⊘

Определение:

Объединением множеств A и B называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или A u B одновременно. Это обозначается следующим образом : AВ = С.

Дополнение к множеству треугольниковРис. 3. Объединение множеств А и В

Иллюстрация объединения с использованием диаграмм Эйлера приведена на рис. 3, где множество C заштриховано.

Пример:

Если множество А есть отрезок [1;3], множество В есть отрезок [2;5], то AB есть отрезок B=[1;5].

Свойства операции объединения множеств приведем без доказательств:
1) A ∪ B=B ∪ A (коммутативность).
2) A ∪ (B∪C)=(A ∪ B) ∪ C=A ∪ B ∪ C (ассоциативность).
3) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∩C) (дистрибутивность).
4) A ⊂ B ⇒A ∪ B=B.
5) A ∪ A=A.
6) A ∪ ⊘=A.

Определение:

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В. Разность A u B обозначается АВ и изображена штриховкой на рис. 4.

Операция вычитания множеств не коммутативна : A∖B≠B∖A.

Пример:

Если А = (1; 10), В = (3; 20), то АВ=(1;3], ВА =[10,20).

Дополнение к множеству треугольниковРис. 4. Разность множеств А и В

Кванторы общности и существования

При изложении материала мы будем использовать знак Дополнение к множеству треугольников, называемый квантором общности, и знак Ǝ, называемый квантором существования. Символ Дополнение к множеству треугольниковозначает: ’’для любого х«, ’’для всех х”, ’’для каждого х«, ’’какое бы ни было х«. Запись Дополнение к множеству треугольников> 0 означает: ’’для всех положительных x” Запись Дополнение к множеству треугольников∈ M читается: ’’для всех x, принадлежащих множеству М”.

Обозначение Ǝх означает: ’’существует такое х, что …”, ”по крайней мере для одного х…”, запись Ǝх > 0 читается: ’’существует такое положительное число х, что…”, запись Ǝх₁ ,x₂ Є M означает: ’’существуют такие х₁ ,x₂ — элементы множества М, что …”.

Нам также неоднократно придется использовать символы ⇒ и ⇔.

Запись логического следования А ⇒ В означает, что если верно утверждение А, то верно и утверждение В, то-есть из А следует В.

Запись логической равносильности ⇔ означает, что из А следует В и наоборот, из В следует А.

Так, например, запись: Дополнение к множеству треугольников> ƎN Дополнение к множеству треугольников> N ⇒ | f (x) — b| Необходимое и достаточное условие

Любая теорема может быть сформулирована в виде: если выполняется условие А, то верно утверждение В. Будем называть это прямой теоремой и схематически запишем в виде:

Теорема:

В качестве примера приведем теорему, называемую достаточным условием экстремума непрерывной функции, изучаемую в курсе математики средней школы.

Теорема:

Если функция f непрерывна в точке а и производная f меняет знак при переходе через эту точку, то а является точкой экстремума функции f.

Условие А стоит после слова «если», утверждение В написано после
слова «то».

Определение:

А называется достаточным условием для
выполнения В. В свою очередь, В является необходимым условием для выполнения А.

Применительно к теореме 1.2 это выглядит следующим образом.
Достаточным условием для существования экстремума непрерывной функции f в точке а является изменение знака ее производной при переходе через эту точку.

Для лучшего усвоения введенных понятий рассмотрим очевидно справедливое утверждение не из области математики.

Теорема:

Если человек здоров, то у него есть голова.

Здесь здоровье является достаточным условием наличия у человека головы. Наоборот, наличие головы является необходимым условием здоровья. Подумайте, будет ли это условие достаточным для того, чтобы человек был здоров? Реально ли вообще сформулировать достаточное условие того, что человек здоров?

Обозначим А утверждение, заключающееся в отрицании утверждения А(читается «не А»). Если справедлива прямая теорема 1.1, то методом «от противного» легко можно доказать справедливость следующего утверждения, которое называется
«противоположная к обратной теорема»:

Теорема:

Доказательство:

Имеем А ⇒ В, нужно доказать, что В⇒ А Предположим противное: В ⇒ А, но в соответствии с теоремой 1.1 А ⇒ В. Полученное противоречие (В ⇒ В) доказывает теорему.

Аналогично можно доказать, что если справедлива теорема 1.4, то верна теорема 1.1, т. е. эти утверждения равносильны.

Для теоремы 1.2 противоположной к обратной будет теорема: ’’Если точка а не является точкой экстремума функции f ̕ непрерывной в этой точке, то производная f ̕ не меняет знак при переходе через эту точку”.

Для теоремы 1.3 противоположным к обратному будет утверждение: ’’Если у человека нет головы, то он не здоров”.

Проведите доказательство этого утверждения самостоятельно методом ”от противного».

Наряду с прямой теоремой 1.1 можно рассмотреть утверждение, называемое «обратной теоремой” :

Теорема:

Однако обратная теорема не всегда справедлива, если верна прямая. Так, например, для теоремы 1.3 обратное утверждение: «Если у человека есть голова, то он здоров”, очевидно, не верно.

Если все же теорема 1.5 справедлива, то методом «от противного” исходя из нее доказывается справедливость утверждения, называемого «противоположная теорема”:

Теорема:

Наоборот, из теоремы 1.6 вытекает справедливость теоремы 1.5, т.е. эти утверждения равносильны. Заметим, что из прямой теоремы 1.1 не обязательно следует справедливость противоположной теоремы 1.6.

Приведенные связи удобно запоминать, представляя себе следующий ’’логический квадрат» (рис. 5):

Дополнение к множеству треугольниковРис. 5. Логический квадрат

Если наряду с прямой теоремой выполняется также обратная теорема, то А является ’’необходимым и достаточным” условием для В. То же самое можно сказать про В по отношению к А.

Так, например, то, что треугольник прямоугольный, является необходимым и достаточным условием того, что квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других.

Множество N натуральных чисел

Определение:

Числа 1,2,3,… называются натуральными.

Сумма и произведение натуральных чисел будет числом натуральным, а разность и частное — не всегда. При вычитании натуральных чисел может получится отрицательное число, а при делении — не целое. Например, при делении Дополнение к множеству треугольниковполучится целая часть 2 и 1 в остатке, что записывается следующим равенством: Дополнение к множеству треугольников.

Приводя к общему знаменателю, получим равенство: 7 = 2 ∙ 3 + 1. В этих равенствах 7 называется делимым, 3 — делителем, 2 — целой частью и 1 — остатком (остаток всегда меньше делителя). Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель, как, например, 6 делится на 3. Если натуральное число, большее единицы, делится только на 1 и на себя (что всегда справедливо), то оно называется простым. Простыми числами являются числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23 и т. д. Любое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых сомножителей. Например : 12 = 1 ∙ 2 2 3, 18 = 1 2 ∙ 3 3, 7 = 1 ∙ 7 и т. д.

Определение:

Наименьшим общим кратным двух данных натуральных чисел называется наименьшее из чисел, которые делятся на каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется наименьшее общее кратное, поскольку их произведение всегда делится на каждое из двух данных.

Наименьшее общее кратное 12 и 18 равно 36. Для того чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, нужно первое число помножить на простые множители, входящие в разложение второго числа и не входящие в разложение первого: 12 ∙ 3 = 36.

Определение:

Наибольшим общим делителем двух данных натуральных чисел называется наибольшее из чисел, на которые делится каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется наибольший общий делитель, поскольку любые два числа всегда делятся на единицу. Если у двух натуральных чисел нет других общих делителей кроме единицы, они называются взаимно простыми. Наибольший общий делитель 12 и 18 равен 6. Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно перемножить общие простые множители, входящие в разложение и одного, и другого числа: 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Множество Z целых чисел

Определение:

Натуральные, отрицательные натуральные числа и ноль образуют множество целых чисел (множество Z).

Сумма, произведение и разность целых чисел является целым числом, а частное — не всегда. Иногда множество отрицательных целых чисел обозначается Z_.

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: N ⊂ Z.

Множество Q рациональных чисел

Определение:

Рациональными числами называются числа вида Дополнение к множеству треугольников, где m — целое (m Є Z), n — натуральное (n Є N), тип взаимно простые. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел, т. к. любое целое число m можно рассматривать как рациональное, представив в виде Дополнение к множеству треугольников. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел ( при ненулевом знаменателе) является числом рациональным, однако корень из рационального числа — не всегда, как, например, Дополнение к множеству треугольников, Дополнение к множеству треугольникови т.д.

Всякое рациональное число Дополнение к множеству треугольниковможно представить в виде десятичной дроби, конечной или периодической. И наоборот, любая конечная или периодическая десятичная дробь может быть записана в виде простой дроби.

Пример:

Дополнение к множеству треугольников=0,5; Дополнение к множеству треугольников=0,8 ; Дополнение к множеству треугольников=0,666…=0,(6) ; Дополнение к множеству треугольников=7,31(06).

Две последние десятичные дроби бесконечные периодические. Повторяющиеся цифры называются периодом дроби и пишутся в скобках, количество этих цифр называется длиной периода. Для обратного преобразования конечной десятичной дроби ее нужно представить в виде простой и сократить: 0,8=Дополнение к множеству треугольников=Дополнение к множеству треугольников. На самом деле разница между конечной дробью и периодической непринципиальная. Так, 0,5=0,4(9).

Перевод периодической десятичной дроби в простую объясним на примере.

Пример:

Записать в виде простой дроби 0,(6).

Решение:

Периодическую дробь 0,(6) обозначим за x: 0,(6)=x, тогда, т. к. 10‧х — 10-0,666… = 6,666…, легко заметить, что 10∙х = 6 х. Решая это уравнение, получаем: 9‧x=6⇔x = Дополнение к множеству треугольников= Дополнение к множеству треугольников.

Определение:

Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное. Целая часть числа х обозначается [x].

Примеры:

[3,56]=3; [0,12]=0; [-0,12]=-1; [-Дополнение к множеству треугольников]=-4;
[5]=5; [0]=0.

Определение:

Дробной частью числа называется разность между самим числом и его целой частью. Дробная часть числа обозначается . Она строго меньше единицы и находится в пределах : 0 ≤ Множество J иррациональных чисел

Определение:

Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Примерами иррациональных чисел являются √2, √3, ∛11, π, е, и т. д. Заметим, что J ∩Q = ⊘ Иррациональное число нельзя представить в виде простой дроби, его также невозможно ’’выписать до конца” (представить в виде конечной десятичной дроби), поэтому запись √2 = 1,41 ошибочна, следует писать √2 ≈ 1,41.

Заданное бесконечной непериодической дробью иррациональное число определяет две последовательности конечных (рациональных) десятичных дробей, называемых десятичными приближениями по недостатку и по избытку. Например, для √2 можно написать:
1 √2 Множество R действительных чисел

Определение:

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел: R = QuJ.

В множестве действительных чисел всегда выполнимы сложение, вычитание, умножение, деление (не на ноль), возведение в любую действительную степень положительного числа, извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа.

В множестве действительных чисел невозможно извлечение корня четной степени из отрицательного числа.

Числовая ось

Множеству действительных чисел можно дать простую геометрическую интерпретацию. Выберем на прямой положительное направление (указывается стрелкой), начало отсчета и единицу масштаба. Такая прямая называется числовой осью. Каждой ее точке можно поставить в соответствие единственное действительное число следующим образом: положительное число х изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии х в направлении стрелки (на рис. 6 справа от О), отрицательное с другой стороны (на рис. 6 слева от О) на расстоянии х от О.

Число х называется координатой соответствующей точки на числовой оси. Из двух чисел больше будет то, которое расположено на числовой оси дальше в направлении стрелки (на рис. 6 — правее).

Дополнение к множеству треугольниковРис. 6. Числовая ось

Числовые промежутки

Если известны два действительных числа а и b, a a>, (- ∞ ;b)= <x|x Дополнение к множеству треугольниковРис. 7. Полуинтервал (2;5]

Числовые промежутки будем выделять штриховкой или утолщенной линией.

Примеры с решением на тему: «Множества«

При решении примеров данного практического занятия используется материал средней школы и материал лекции 1. Применение метода интервалов для решения неравенств иллюстрируется примерами 1.2-1.5

Пример:

Пусть A = [-3;5],B = (-5;7),C = [1;2). Найдите множество: A₀ = (4 ∩ В) U (В ∩ С).

Решение:

Для нахождения результата операций над числовыми промежутками их удобно изображать на числовых осях, расположенных одна под другой с согласованным началом и одинаковым масштабом. Если исходные промежутки А и В заштриховать, то их пересечением будет множество точек, заштрихованных на каждой из осей (рис. 8), а их объединением — множество точек, заштрихованных хотя бы на одной из осей (рис. 9).

Пользуясь этим правилом, последовательно получим A ∩ В, В ∩C и, наконец, (Л ∩ В) ∪ (В ∩ С) (рис. 8, 10, 11).
Ответ: A₀ ≈ [-3; 5].

Пример:

Решение:

Неравенство (2 — 3x)(х + 4)(x — 2) > 0 решим методом интервалов, для чего нанесем на числовую ось значения х, при которых левая часть неравенства обращается в ноль: x₁ =Дополнение к множеству треугольников,x₂ = -4,х₃ = 2. (рис. 12)

Дополнение к множеству треугольниковРис. 8. Нахождение пересечения [—3; 5] ∩ (—5; 7) Дополнение к множеству треугольниковРис. 9. Нахождение объединения [-3; 5] ∪ (-5; 7) Дополнение к множеству треугольниковРис. 10. Нахождение пересечения (—5; 7) ∩ [1; 2]

Сами эти значения не удовлетворяют неравенству, поэтому соответствующие точки “выколоты».

Знаки выражения в левой части неравенства определим, подставляя в него по одному значению из каждого интервала, на которые все множество R разбилось точками x₁,x₂,х₃. Отметим штриховкой те интервалы, на которых выражение в левой части неравенства положительно. Это множество является искомым.

Ответ: A₀=(-∞; -4) ∪ (Дополнение к множеству треугольников; 2).

Дополнение к множеству треугольниковРис. 11. Решение примера 1.1 Дополнение к множеству треугольниковРис. 12. Решение примера 1.2

Пример:

Задайте характеристическим свойством множество: A₀ — множество всех натуральных чисел, меньших 5 или больших 10.

Решение:

В условии требуется,чтобы натуральные числа были меньше 5 или больше 10, т.е. искомое множество есть объединение двух подмножеств: множества натуральных чисел, меньших 5 и больших 10.

Пример:

Решите систему неравенств:
Дополнение к множеству треугольников

Решение:

Решение системы неравенств есть пересечение множеств решений каждого из входящих в систему неравенств. Аналогично тому, как это делалось при решении примера 1.2, решим каждое из неравенств системы методом интервалов и найдем их пересечение (рис 13).

Пример:

Решите совокупность систем неравенств:
Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольниковРис. 13. Решение примера 1.4

Решение:

Решение совокупности систем неравенств есть объединение решений каждой системы, входящей в совокупность. Для решения разложим каждый многочлен в произведение с помощью корней:
Дополнение к множеству треугольников

Решение совокупности систем методом интервалов представлено на рис. 14

Дополнение к множеству треугольниковРис. 14. Решение примера 1.5

Видео:Универсальное множество и абсолютное дополнение (видео 4)| Множества | АлгебраСкачать

Универсальное множество и абсолютное дополнение (видео 4)| Множества | Алгебра

Множества

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не сводится к другим понятиям и не оп­ределяется. Вместо определения приводят лишь примеры, поясня­ющие его смысл. Так, можно говорить о множестве всех учеников данной школы, о множестве всех собак на земном шаре, о множе­стве всех клеток данного человеческого тела, о множестве всех кар­тофелин в данном мешке, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех треугольников на данной плоскости, о множестве всех точек данного круга и т. д.

Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы в одно целое — множество, состоящее из этих пред­метов. Основатель теории множеств Георг Кантор (1845—1918) выразил это следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. То обстоятельство, что объект а является элементом множества А, записывается так: Дополнение к множеству треугольников(словами: а есть элемент множества А; а принадлежит А; а содержится в А; А содержит а). Если объект а не является элементом мно­жества А, то это записывается так: Дополнение к множеству треугольников(словами: а не есть эле­мент множества А; а не принадлежит А; а не содержится в А; А не содержит а).

Например, если А есть множество всех четных натуральных чисел, то Дополнение к множеству треугольников

Множество иногда можно задать перечислением всех его элементов. В этом случае употребляют фигурные скобки, в которые помещают названия всех элементов множества, разделенные запя­тыми. Так, <1, 2, 3) обозначает множество, состоящее из чисел «один», «два», «три» и только из них.

Вообще некоторое множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обла­дают никакие другие объекты. Такое свойство называется характе­ристическим свойством множества.

Дополнение к множеству треугольников

Числовые множества

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, ато­мы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к са­мым разным областям знания (математике, механике, физике, лингвистике, экономике и т. д.). Для математики особо важную роль играют множества, составленные из «математических» объек­тов— корней уравнений, геометрических фигур и т. д. Чаще все­го нам будут встречаться числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых мно­жеств являются: а) множество всех действительных чисел; б) множество всех рациональных чисел; в) множество всех положительных чисел; г) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству Дополнение к множеству треугольниковд) множество всех чисел вида Дополнение к множеству треугольников

Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа а и b, а Дополнение к множеству треугольников

если это не вызывает недоразумений, просто отрезком и обознача­ют [а, b]. На числовой оси ему соответствует отрезок с концами а и b (рис. 1).

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству а а (или х Дополнение к множеству треугольников

(или (—Дополнение к множеству треугольников, а)) (рис. 3). Иногда нам будут встречаться множества чисел, удовлетворяющих неравенствам Дополнение к множеству треугольниковили Дополнение к множеству треугольников(рис. 4). Их называют (числовыми) полуотрезками и обозначают [а, b) и (а, b]. Заметим, что квадратная скобка означает, что соответствующий

Дополнение к множеству треугольников

конец включается в множество, а круглая — что он исключается.

Пустое множество

Введение понятия множества в математи­ку оказалось очень полезным. Из-за того что элементами множеств могут быть вещи самой различной природы, одни и те же утвержде­ния, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о натуральных числах, и как утверждения о точках геометрических фигур, и как утверждения о множестве слов и т. д. Таким образом, понятия и теоремы теории множеств обладают большой общностью. Этим и объясняется то, что язык теории множеств применяется в самых различных областях математики.

В математике приходится иногда рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемен­та, называют пустым. Его обозначают знаком Дополнение к множеству треугольников. На первый взгляд может показаться, что понятие пустого множества излишне. Но когда множество задано своим характеристическим свойством, заранее неизвестно, пусто оно или нет. Например, пусть некоторое множество состоит из всех прямоугольников с неравными диаго­налями. То, что свойство «быть прямоугольником с неравными диагоналями» задает пустое множество, составляет утверждение геометрической теоремы: «Во всяком прямоугольнике диагонали равны». Точно так же из теоремы Пифагора следует, что множество прямоугольных треугольников, для которых квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, пусто. Вот еще несколько приме­ров задания пустого множества характеристическим свойством: а) множество рациональных чисел r таких, что Дополнение к множеству треугольниковб) множество всех точек пересечения двух параллельных прямых; в) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°; г) множество квадратных уравнений, имеющих более двух раз­ личных корней; д) множество решений системы уравнений

Дополнение к множеству треугольников

О некотором множестве может быть неизвестно, является ли оно пустым множеством или нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел n таких, что n > 2, а уравнение Дополнение к множеству треугольников

имеет положительные целочисленные решения (в этом состоит из­вестная проблема Ферма).

Пустое множество единственно: нет двух разных пустых множеств.

Подмножество

Пусть даны два множества A и B, причем каждый элемент первого множества является элементом второго множества. Тогда множество А называют подмножеством (или частью) множества В. В этом случае пишут: Дополнение к множеству треугольников

Примеры подмножеств: а) числовой отрезок [1,3] есть подмножество числового отрез­ка [0, 4];

Дополнение к множеству треугольников

б) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников; в) множество всех целых чисел есть подмножество множества всех рациональных чисел.

Отметим, что пустое множество Дополнение к множеству треугольниковявляется подмножеством любого множества А. Каждое множество А яв­ляется одним из своих подмножеств. Эти два подмножества ( 0 и все множество) называют несобственными. Все остальные подмножества называют собственными.

Множества часто изображают наглядно как множество точек геометрической фигуры. Тогда подмножество — это множество то­ чек части фигуры (рис. 5).

Пересечение множеств

Пусть даны множества А, В, С, … . Их пересечением называют множество X, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из заданных множеств. Пере­ сечение двух множеств А и В обозначают АВ или Дополнение к множеству треугольников

Если множества А и В состоят из точек некоторых геометрических фигур, то Дополнение к множеству треугольников— множество общих точек этих фигур, то есть множество точек пересечения этих фигур в обычном смысле (рис. 6).

Пересечение множеств называют также их произведением, а операцию пересечения — умножением множеств. Можно показать,

Дополнение к множеству треугольников

что многие свойства пересечения множеств напоминают свойства ум­ножения чисел.

Примеры пересечения множеств: а) пересечением числового отрезка [0, 4 ] с числовым отрезком [2, 5] является числовой отрезок [2, 4] (рис. 7);

Дополнение к множеству треугольников

б) пересечение числового отрезка [0, 2] с числовым отрезком [3, 5] пусто; в) пересечение множества всех ромбов с множеством всех прямоугольников есть множество всех квадратов; г) пересечением множества четных натуральных чисел с множеством натуральных чисел, делящихся на 3, является множество натуральных чисел, делящихся на 6.

Сложение множеств

Суммой (или объединением) множеств А, В, С, . . . называют множество X, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих («слагае­мых») множеств. Сумму двух мно­жеств А и В обозначают А + В или Дополнение к множеству треугольников. Мы увидим позже, что некоторые свойства суммы мно­жеств напоминают свойства сум­мы чисел.

Дополнение к множеству треугольников

Если какой-нибудь элемент вхо­дит в несколько слагаемых множеств, то в сумме он берется лишь один раз. Например, суммой числового отрезка [0, 4] и числового отрезка [2, 5] является числовой отрезок [0, 5]. При этом точки отрезка [2, 4] входят в оба слагаемые, но в сумме они берутся лишь один раз. Впрочем, выражения «некоторый элемент берется в данном множестве пять раз» и т. п., как это следует из принятого нами понимания терминов «множество» и «элемент», просто не имеют смысла.

Примеры а) Обозначим через А множество точек некоторой плоской области и через В — множество точек другой области (рис. 8). Тогда их суммой будет множество точек заштрихованной фигуры, ограни­ченной на рис. 8 жирной линией. б) Обозначим через А множество успевающих учеников в классе, через В — множество девочек в этом классе и через С — множество неуспевающих мальчиков. Тогда Дополнение к множеству треугольниковявляется мно­жеством всех учеников этого класса. (Имеют ли множества А и В общие элементы?) в) Обозначим через Дополнение к множеству треугольниковмножество всех положительных дробей со знаменателем n. Тогда Дополнение к множеству треугольниковявляется множест­вом всех положительных дробей, то есть дробей вида Дополнение к множеству треугольников, где m и n — натуральные числа. г) Обозначим через Дополнение к множеству треугольниковмножество правильных n-угольников. Тогда Дополнение к множеству треугольниковявляется множеством всех правильных многоугольников. д) Обозначим через A множество целых чисел вида 4n — 1, а через В — множество целых чисел вида 4n + 1. Тогда Дополнение к множеству треугольников— множество всех нечетных целых чисел.

Разбиение множеств

Пусть множество X является суммой множеств A, В, С. . . , причем никакие два из них не имеют общих элементов. Тогда говорят, что множество X разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В, С, . . . .

Примеры разбиения множеств: а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества четных чисел и нечетных чисел. б) Множество всех учеников в классе разбивается на множе­ства учеников, фамилия которых начинается на букву «А», учени­ков, фамилия которых начинается на букву «Б», и т. д. вплоть до буквы «Я». Какое из этих множеств пусто, если взять ваш класс? Какие из этих множеств пусты для любого класса? в) Множество всех векторов на плоскости можно разбить на непересекающиеся подмножества, относя к одному подмножеству все векторы, равные друг другу по длине, параллельные и одинаково направленные. г) Это же множество можно разбить иначе, относя к одному под­ множеству векторы, выходящие из одной точки плоскости.

Вычитание множеств

Если даны два множества A и В, то их разностью называют такое множество X = A В или (А — В), в которое входят все элементы из Л, не принадлежащие множест­ву В. При этом не предполагается, что множество В является час­тью множества A. Таким образом, при вычитании множества В из множества A из A удаляют общую часть (пересечение) A и В:

Дополнение к множеству треугольников

Например, если A — множество всех учащихся IX класса данной школы, а В — множество всех девочек, которые учатся в этой школе, то A В — множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.

В случае, когда В — часть множества А, А В называют дополнением к В в множестве А и обозначают Дополнение к множеству треугольников(разумеется, одно и то же множество В имеет разные дополнения в разных содержащих его множествах А). Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольни­ков с неравными сторонами, а дополнением того же множества квадратов в множестве всех ромбов — множество ромбов с неравными диагоналями.

Отображение множеств

Пусть даны два множества X и У и пусть име­ется правило Дополнение к множеству треугольниковставящее в соответствие каждому элементу Дополнение к множеству треугольниковнекоторый определенный Дополнение к множеству треугольников. Тогда говорят, что задано отображение Дополнение к множеству треугольниковмножества X в множество У. Элемент, соответствующий х в силу правила Дополнение к множеству треугольниковобозначают Дополнение к множеству треугольникови пишут: Дополнение к множеству треугольников. Элемент у называют образом элемента х при отобра­жении Дополнение к множеству треугольникова элемент х называют прообразом элемента у при отображении Дополнение к множеству треугольниковОтображение Дополнение к множеству треугольниковназывают также функцией, заданной на множестве X и при­нимающей значения во множестве У. Множество X называют областью опре­деления функции Дополнение к множеству треугольников

Если всякий Дополнение к множеству треугольниковявляется образом некоторого Дополнение к множеству треугольниковпри отображе­нии Дополнение к множеству треугольников, то отображение Дополнение к множеству треугольниковназывают отображением множества X на множест­во У. В этом случае множество У называется областью значений функции Дополнение к множеству треугольников.

Приведем примеры отображений множеств: а) Пусть X — множество всех действительных чисел, У — множество всех неотрицательных чисел. Равенство Дополнение к множеству треугольниковсвязывающее с элементом множества X элемент у множества У, задает отображение X на У. При этом числу 2 соответствует число 4, числу 6 — число 36 и т. д. б) Пусть X — множество всех действительных чисел, отличных от чис­ла 3, У — множество всех действительных чисел. Равенство Дополнение к множеству треугольников, связывающее с элементом х множества X элемент множества У, задает отобра­жение X в У. Является ли это отображение отображением на У? в) Пусть X — множество всех кругов, а У — множество всех действи­тельных чисел. Поставим каждому кругу в соответствие длину его радиуса. Мы получим отображение множества X в множество У. Другое отображе­ние X в У получится, если поставить каждому кругу в соответствие его пло­щадь. г) Пусть X — множество всех треугольников, а У — множество всех окружностей. Поставим каждому треугольнику в соответствие вписанную в него окружность. Получим отображение множества X в У. Другое отобра­жение X в У получится, если поставить в соответствие каждому треуголь­нику описанную вокруг него окружность. д) Пусть У — множество всех деревьев на земном шаре, а X — множе­ство всех плодов, растущих на этих деревьях. Поставим каждому плоду в соответствие дерево, на котором он растет. Получим отображение множества X в множество У.

Пусть Дополнение к множеству треугольников— отображение множества X в множество У и пусть Дополнение к множеству треугольниковМножество всех элементов вида уДополнение к множеству треугольниковназывается образом мно­жества Дополнение к множеству треугольниковпри отображении Дополнение к множеству треугольникови обозначается Дополнение к множеству треугольников

Рассмотрим некоторый элемент у из множества У и возьмем все элементы х из X, отображающиеся в у при отображении Дополнение к множеству треугольников. Множество всех этих элемен­тов называют полным прообразом элемента у при отображении Дополнение к множеству треугольникови обознача­ют Дополнение к множеству треугольников. В первом примере в) полным прообразом положительного числа r является множество всех кругов радиуса r. В первом примере г) полным прооб­разом любой данной окружности является множество всех треугольников, опи­санных вокруг этой окружности.

Если полный прообраз каждого элемента у из У при отображении Дополнение к множеству треугольниковили пуст, или состоит только из одного элемента, то отображение Дополнение к множеству треугольниковназывается вложением в У. Например, функция Дополнение к множеству треугольниковс отрезком [1, 4] в качестве облас­ти определения определяет вложение этого отрезка в действительную ось.

Если Дополнение к множеству треугольниковесть отображение множества X на множества У и полный прообраз каждого элемента у из У состоит лишь из одного элемента, то отображение Дополнение к множеству треугольниковназывается взаимно-однозначным отображением множества X на множество У. Иными словами, отображение взаимно-однозначно, если каждый элемент из его области значений является образом одного и только одного элемента его области определения.

Краткие исторические сведения

Теоретико-множественные представ­ления в неявной форме давно использовались математиками. Геометры древ­ней Греции в III веке до н. э. рассматривали «геометрические места точек», то есть множества точек, обладающих тем или иным свойством. Однако труд­ности, связанные с понятием бесконечности, привели к тому, что в течение длительного времени математики избегали рассматривать геометрические фигуры как множества точек.

Исследования по бесконечным множествам начали чешский ученый Б. Больцано (1781— 1841) и немецкий математик Г. Кантор (родился в 1845 г. в Петербурге, умер в 1918 г. в Галле). Труд Больцано был опубликован лишь через много лет после его смерти. Основные заслуги в развитии теории мно­жеств принадлежат Кантору. Он пришел к проблемам этой теории, исходя из сравнительно узкой математической задачи (вопроса о сходимости и рас­ходимости тригонометрических рядов). Однако вскоре ему и его последова­телям стало ясно, что теория множеств имеет важнейшее значение для раз­личных областей математики. Сейчас теория множеств дает общепринятый язык для многих разделов математики. В целом ряде случаев применение теоретико-множественных понятий позволило привести в систему многие ветви математики. Большой вклад в теорию множеств сделан трудами со­ветских математиков П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, Н. Н. Лузина, П. С. Новикова, М. Я. Суслина и других. Советская школа теории множеств оказала сильное влияние на развитие этой части математики во всем мире.

Вскоре после создания теории множеств выяснилось, что «наивная» трак­товка понятия бесконечного множества может привести к противоречиям. Исследования в этом направлении потребовали развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии ее принципы составили идейную ос­нову конструирования электронных вычислительных машин и программиро­вания вычислений на этих машинах.

Правила действий над высказываниями, во многом известные еще Ари­стотелю (создателю формальной логики), были более подробно сформулиро­ваны Г. В. Лейбницем, которого часто считают создателем математической логики. Алгебраическую форму этим правилам придали английские матема­тика Дж. Буль (1815— 1864) и А. де Морган (1806—1871). По сути дела, эти правила совпадают с указанными выше правилами действий над множест­вами. Большой вклад в развитие математической логики внесли Г. Фреге, Б. Рассел, Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, советские математики П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров, А. А. Марков и другие.

Видео:ПОДМНОЖЕСТВА. Операции над множества. §14 алгебра 8 классСкачать

ПОДМНОЖЕСТВА. Операции над множества. §14  алгебра 8 класс

Дополнение к различным типам множеств

Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Операции над множествамиСкачать

Операции  над  множествами

Дополнение к множеству треугольников

Введение в теорию множеств и комбинаторику

Практическая работа №3. Действия над множествами

Вопросы к работе

1. Что такое “объединение двух множеств”?

2. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания элемента х в объединение множеств А и В .

3. Сформулируйте и запишите необходимое условие нахождения элемента х в объединении множеств А и В .

4. Что такое “пересечение двух множеств”?

5.Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания элемента х в пересечение множеств А и В .

6.Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие нахождения элемента х в пересечении множеств А и В .

7. Что такое “разность множеств А и В ”?

8. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания элемента х в разность множеств А и В .

9. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие невхождения элемента х в разность множеств А и В .

10. Что такое “дополнение множества А до множества В ”? Какое его обозначение?

11. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания элемента х в дополнение множества А до множества В .

12. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие невхождения элемента х в дополнение множества А до множества В .

13. Что такое “универсальное множество для данной системы множеств”? Приведите примеры.

14. Что такое “дополнение данного множества”? Как оно обозначается?

15. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие попадания элемента х в дополнение множества А .

16. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие невхождения элемента х в дополнение множества А .

17. Укажите диаграммы Эйлера-Венна для объединения множеств А и В , пересечения множеств А и В , разности множеств В и А , разности множеств А и В , дополнения множества А до множества В , дополнения множества А.

Образцы решения заданий

Пример 1. Найдите объединение, разность и пересечение множеств А и В , если

А = < x Дополнение к множеству треугольниковx Дополнение к множеству треугольниковR , – Дополнение к множеству треугольников≤ х ≤ Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников>, В = < x Дополнение к множеству треугольниковx Дополнение к множеству треугольниковR , – Дополнение к множеству треугольников≤ х ≤ 2>.

Решение. Если изобразить данные множества на числовой прямой, то объединение А Дополнение к множеству треугольниковВ есть часть прямой, где имеется хотя бы одна штриховка, т. е. отрезок [– Дополнение к множеству треугольников; 2]. Другими словами,

А Дополнение к множеству треугольниковВ = < x Дополнение к множеству треугольниковx Дополнение к множеству треугольниковR , – Дополнение к множеству треугольников≤ х ≤ 2>.

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Пример 2. Доказать, что для любых множеств А , В , С верно:

А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС ) = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников( А Дополнение к множеству треугольниковС ).

Решение. 1) Пусть А ≠ Ø, В ≠ Ø, С ≠ Ø. Обозначим А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС )= М 1 , ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников( А Дополнение к множеству треугольниковС ) = М 2 . Для того чтобы доказать, что М 1 = М 2 , нужно показать, что

а) если x Дополнение к множеству треугольниковМ 1 , то x Дополнение к множеству треугольниковМ 2 ;

б) если x Дополнение к множеству треугольниковМ 2 , то x Дополнение к множеству треугольниковМ 1 .

Рассмотрим случай (а):

Дополнение к множеству треугольников

Итак, если x Дополнение к множеству треугольниковМ 2 , то x Дополнение к множеству треугольниковМ 1.

Значит, Дополнение к множеству треугольниковт. е. М 1 = М 2.

2) Если А = Ø, то М 1 = В Дополнение к множеству треугольниковС, М 2 = В Дополнение к множеству треугольниковС , т. е. М 1 = М 2.

Если В = Ø, то М 1 = А Дополнение к множеству треугольниковØ = А , М 2 = А Дополнение к множеству треугольников( А Дополнение к множеству треугольниковС ) = А , т. е.
М 1 = М 2.

Аналогично, если C = Ø. Если А = В = С = Ø , то М 1 = Ø, М 2. = Ø,
т. е. М 1 = М 2.

В итоге мы можем сказать: для любых множеств А , В и С верно:

А Дополнение к множеству треугольников( B ∩ C ) = ( A Дополнение к множеству треугольниковB ) ∩ ( A Дополнение к множеству треугольниковC ).

Пример 3. Доказать, что для любых множеств А и В верно:

Дополнение к множеству треугольников= Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников.

Решение. 1) Пусть А Дополнение к множеству треугольниковØ, В Дополнение к множеству треугольниковØ и Дополнение к множеству треугольников= М 1 , Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников= М 2.

Дополнение к множеству треугольников

Дополнение к множеству треугольников

Значит, М 1 Дополнение к множеству треугольниковМ 2 и М 2 Дополнение к множеству треугольниковМ 1, т. е. М 1 = М 2 .

2) Если А= Ø , то М 1 = Дополнение к множеству треугольников, М 2 = J Дополнение к множеству треугольников= Дополнение к множеству треугольников, т.е . М 1 = М 2 .

Аналогично, если В = Ø.

3) Если А = В = Ø , то М 1 =J, М 2. = J Дополнение к множеству треугольниковJ = J, т.е. М 1 = М 2.

1. Найдите объединение, пересечение, разность множеств А и В , если

а) А = Дополнение к множеству треугольников;

б) А = Дополнение к множеству треугольников, В = Дополнение к множеству треугольников;

в) А = Дополнение к множеству треугольников, В = Дополнение к множеству треугольников.

2. Даны множества: А – тупоугольных треугольников, В – прямоугольных треугольников, С – треугольников с углом в 50 0 . Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна, выделив штриховкой область, изображающую множество ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольниковС .

3. S – множество правильных многоугольников, Т – множество прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т . Какие из фигур, изображенных на рис 9, принадлежат пересечению множеств S и Т , а какие – их объединению?

Дополнение к множеству треугольников

4. А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 7. Задайте характеристическим свойством элементов множество А В и назовите три числа, принадлежащих этому множеству.

5. Пусть А = , В = , С =. Найти длину множества:

а) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС );

б) ( С Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольниковА ;

в) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС );

г) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС );

д) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС) .

а) – 4 Дополнение к множеству треугольниковA ; г) –8 Дополнение к множеству треугольниковA ;

б) 0 Дополнение к множеству треугольниковA ; д) –5,3 Дополнение к множеству треугольниковA ;

в) 13 Дополнение к множеству треугольниковA ; е) 1,2 Дополнение к множеству треугольниковA ?

7. Найдите дополнение к множеству А до множества Z , если

8. Найдите дополнение в множестве всех треугольников к множеству:

а) всех равносторонних треугольников;

б) всех равнобедренных треугольников;

в) всех прямоугольных треугольников.

9. Для любых множеств А , В, С доказать, что:

а) А Дополнение к множеству треугольников( В Дополнение к множеству треугольниковС ) = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников( А Дополнение к множеству треугольниковС );

б) А Дополнение к множеству треугольников( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) = А ;

в) А Дополнение к множеству треугольников( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) = А ;

г) А Дополнение к множеству треугольниковØ = А ;

д) А Дополнение к множеству треугольниковØ = Ø ;

е) В Дополнение к множеству треугольников( А В ) = Ø ;

ж) ( А В ) С = ( А С ) ( В С );

з) А ( А В ) = А Дополнение к множеству треугольниковВ ;

и) В Дополнение к множеству треугольников( А В ) = А Дополнение к множеству треугольниковВ .

Результат проиллюстрировать на кругах Эйлера – Венна.

10. Докажите, что для любых подмножеств А и В универсального множества J справедливы следующие равенства:

Дополнение к множеству треугольников

1. Даны следующие пары множеств:

8) А = < х|х = 2 n, n Дополнение к множеству треугольниковN , n ≤ 30>, B = < x|x = 3 n, , n Дополнение к множеству треугольниковN , n ≤ 20>;

9) А – множество нечетных натуральных чисел,

В – множество простых чисел, больших чем 2;

10) А – множество четных натуральных чисел,

В – множество простых чисел, больших чем 2.

Задание: а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество;

б) связаны ли пары одним из соотношений: =, Дополнение к множеству треугольников, Дополнение к множеству треугольников;

в) найдите пересечение А Дополнение к множеству треугольниковВ ;

г) найдите разность А В ;

д) найдите А Дополнение к множеству треугольниковВ ;

е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

2. Проверьте равенство множеств

1) а) А Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников= ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

б) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников= ( А В ) Дополнение к множеству треугольниковА ;

в) ( А В ) С = ( А В ) ( С В ).

2) а) А Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников= ( Дополнение к множеству треугольниковДополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников) Дополнение к множеству треугольниковА ;

б) В А = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

в) А ( В С ) = ( А С ) ( В С ).

3) а) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольниковВ = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

б) В А = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

в) ( А В ) С = ( А С ) ( В С ).

4) а) А Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников= ( Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников) Дополнение к множеству треугольниковА ;

б) В А = ( А Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

в) ( А В ) С = ( А В ) Дополнение к множеству треугольников( А С ).

5) а) А Дополнение к множеству треугольниковВ = А ( А Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников);

б) А Дополнение к множеству треугольниковВ = В Дополнение к множеству треугольников( А В );

в) А ( В Дополнение к множеству треугольниковС ) = ( А В ) ( С В ).

6) а) А Дополнение к множеству треугольниковВ = В ( В Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников);

б) А Дополнение к множеству треугольниковВ = А Дополнение к множеству треугольников( Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников);

в) А Дополнение к множеству треугольников( В С ) = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) ( С А ).

7) а) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольниковВ = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

б) А Дополнение к множеству треугольников= ( А Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

в) ( А С ) С = ( А В ) Дополнение к множеству треугольников( А С ).

8) а) А Дополнение к множеству треугольниковВ = ( Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников;

б) А Дополнение к множеству треугольниковВ = В Дополнение к множеству треугольников( Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников);

в) А ( В С ) = ( А В ) Дополнение к множеству треугольников( А С ).

9) а) А Дополнение к множеству треугольниковВ = А ( А В );

б) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников= ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников;

в) А Дополнение к множеству треугольников( В С ) = ( А Дополнение к множеству треугольниковВ ) С .

10) а) А Дополнение к множеству треугольниковВ = А ( Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников);

б) В А = ( Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников Дополнение к множеству треугольников) Дополнение к множеству треугольниковА ;

в) ( А В ) С = А ( В Дополнение к множеству треугольниковС ).

Вопросы для самопроверки.

  1. Множества А , В, С изображены с помощью кругов Эйлера-Венна. Множество М – результат некоторого действия с множествами А , В, С – отмечено в диаграмме Эйлера-Венна штриховкой. Записать два варианта формул получения множества М через множества А, В, С.

📺 Видео

Подмножество. 5 класс.Скачать

Подмножество. 5 класс.

Мир чисел | дополнение множестваСкачать

Мир чисел | дополнение множества

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Множества. Операции над множествами. 10 класс алгебраСкачать

Множества. Операции над множествами. 10 класс алгебра

Пересечение множеств. Объединение множеств. 5 класс.Скачать

Пересечение множеств. Объединение множеств. 5 класс.

Альтернативные операции дополнения нечёткого множестваСкачать

Альтернативные операции дополнения нечёткого множества

Урок 50. Операции над множествами. Пересечение, объединение. (6 класс)Скачать

Урок 50.  Операции над множествами. Пересечение, объединение. (6 класс)

5 класс Математика. 2.2. Подмножества. Дополнение множествСкачать

5 класс Математика. 2.2. Подмножества. Дополнение множеств

Простейшие операции над множествамиСкачать

Простейшие операции над множествами

A.2.9 Пересечение, объединение и симметрическая разность множествСкачать

A.2.9 Пересечение, объединение и симметрическая разность множеств
Поделиться или сохранить к себе: