Доклад по теме длина окружности и площадь круга

Надо только постараться и запомнить

Всё, как есть: 3, 14, 15, 92 и 6.

Введение

Данная тема представляет определенный интерес, поскольку её истоки относятся к древности:с давних пор люди пытались решать задачи, связанные с кругом – измерять длину окружности, находить площадь круга.

Любой школьник сегодня должен уметь находить длину окружности и площадь круга, первый опыт вычислений происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными, и уже через годмало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то число, но даже с трудом вспоминают численное значение числа π, равное 3,14.

В ходе работы над проектом появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, нои приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым человечество пользуется уже много веков.

Актуальность проекта заключается в том, что появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, но и создать информационный продукт в виде буклета, который будет содержать не только основные понятия и формулы по теме «Длина окружности и площадь круга», но и интересные факты и исторические сведения.

Гипотеза: Длина окружности, её радиус и площадь связаны между собой посредством формул.

Цель работы: Исследование числа π и выявление его роли в окружающей среде . Задачи работы: 1. Познакомиться подробнее с числом π. 2. Провести практическую работу нахождения числа π. 3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

4.Изучить формулу площади круга.

5.Научится создавать буклеты с помощью текстового процессора MicrosoftWord.Предмет исследования: окружность.

Объект исследования: отношение длины окружности к диаметру.

Методы исследования: эксперимент, наблюдение, анализ.

Ожидаемые результаты: Некоторые данные и формулы достаточно трудно запоминаются, но с помощью открытия интересных фактов о числах или понятиях, можно лучше запомнить формулы, правила. Создание буклета с помощью MicrosoftOffice.

Глава 1. Теоретическая часть

У круга есть одна подруга.

Известна всем её наружность.

Она идёт по краю круга

1.1. Понятие окружности

Окружность – это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

Точка О – центр окружности. R –радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой). По-латыни radius – это спица колеса.

1.2. Длина окружности.

Если разрезать окружность в какой-либо точке и распрямить её, то получим отрезок, длина которого и есть длина окружности.

Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π.

Более точное его значение 3,1415926535897932… [1, стр.189]

Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр буквой d , то, тогда формулы для вычисления длины окружности С = πd.

Если известен радиус окружности, то формула длины окружности будет выглядеть следующим образомC = 2πr.

1.3. Круг. Площадь круга

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга вычисляется по формуле: S=R 2 [2, «Окружность. Круг»]

1.4. Исторические сведения

Ещё в древности пытались решать задачи связанные с кругом. Измерение длины окружности имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернут её и приложить к линейке ил же отметить на окружности точку и «прокатить» её вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Древние египтяне считали, что длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне – в 3,12 раза. Однако древнегреческих математиков такой опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял. К тому же такой подход не позволял определить площадь круга. Выход был найден, впервые известным учёным Архимед предложил первый математический метод вычисления числа π, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников.

Это позволяло вычислять значение π не практически – ниткой и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. [3, стр. 65-72]

Известный ученый Архимед нашел значение π =, что дает величину 3.1428. В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу π = .

В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение π =3,1416927… .

Спустя полтора столетия в Европе нашли число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников, но при этом Ф.Виету принадлежит первенство в открывшейся возможности отыскания π. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять число π с какой угодно точностью. [4]

Вначале XVII в. Голландский математик из Кельна (Кейлен) Лудольф ван Цейлен затратил 10 лет на вычисление числа Пи и нашел 32 правильных знака после запятой. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: « У кого есть охота, пусть идёт дальше». С тех пор (1615г.) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. [5]

В настоящее время число Пи вычислено с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.

Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

Если рассчитать длину экватора с точностью до 1 см – предполагая, что мы знаем длину его диаметра вполне точно – нам достаточно было бы взять π всего с 9 цифрами после запятой. А взяв вдвое больше цифр (18) , мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0003 мм (волос в 100 раз толще этой возможной ошибки!)

В штате Иллинойс (США) официально принят закон о том, чтобы чисто Пи считать равным 4! [6]

Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг – фигура с бесконечным количеством углов». Здорово, правда?!

Есть такая поговорка английского математика Моргана: «Число π лезет в дверь, в окно и через крышу».

14 марта объявлено Всемирным днем числа π. [7]

Вывод: Число π захватывает умы гениев всего мира.

(приложение 1. Портрет числа π)

Глава 2. Исследовательская часть 2.1. Эксперимент 1. Нахождение длины окружности с помощью нити

Практическая работа состояла в том, чтобы найти отношение длины окружности к её диаметру.

Берём шесть круглых предметов, в частности вазу, несколько стаканов и чашек разных размеров.

С помощью нити измеряем длину окружности.

Поставив предмет на лист бумаги, обводим его карандашом, вырезаем бумажный круг, сгибаем пополам и линейкой измеряем длины диаметров.(приложение 2)

Составим таблицу с измеренными данными, последний столбец таблицы вычислительного характера: вычислим с помощью калькулятора отношение длины окружности (столбец 2) к диаметру (столбец 3) .

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Как найти площадь круга

В этом докладе рассказывается о таком важном математическом понятии, как площадь круга. В работе приводятся исторические выкладки и рассматривается очень интересный и наглядный метод расчета площади круга. Наш доклад написан на языке понятном для шестиклассников.

А вот в статье, приведенной ниже, мы решили углубиться в исследование этой интересной темы.

Возможно к этой статье ребенок сможет вернуться, будучи в старших классах, а возможно, многое поймет уже и сейчас. Многие интересные, красивые, но и трудные теоремы связаны с окружностью. Тот, кто не изучил ее свойства или не умеет их применять, еще не знает геометрии. Так что окружность можно назвать своего рода «колесом геометрии». К тому же одно из свойств колеса – его ось остается все время на неизменном расстоянии от поверхности, по которой оно катиться, — в математической формулировке превращается в определение окружности.

Окружность – это множество точек плоскости, удаленных от некоторой точки, ее центра, на одно и то же расстояние, или радиус (от лат. Radius– «спица колеса», «луч»). Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с точками окружности. Два свойства окружности выделяют ее среди других замкнутых линий. Прежде всего она ограничивает наибольшую площадь по сравнению со всеми замкнутыми кривыми той же длины (т.е. периметра). Это так называемое изопериметрическое свойство окружности.

Далее окружность может скользить по самой себе, причем ее произвольная точка может совместиться с любой другой. Кроме окружности это свойство присуще только одной линии – прямой, но она не замкнута. А потому, для того чтобы кривая сабля точно входила в ножны, она должна быть изогнута по окружности. Часть плоскости, заключенная внутри окружности (т.е. состоящая из точек, удаленных от центра окружности на расстояние, не большее радиуса) называется кругом.

Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Он вдвое длиннее радиуса и является наибольшим возможным расстоянием между точками окружности. Любая хорда, а значит и любой отрезок между точками круга, целиком принадлежит кругу; другими словами, круг – выпуклая фигура. Прямая имеет не более двух общих точек с окружностью. Если таких точек две, прямая называется секущей, а если одна – касательной. Две окружности не могут иметь более двух общих точек. Если таких точек две – говорят, что окружности пересекаются, если же одна, -что они касаются друг друга. Причем касание бывает внешним, когда окружности расположены одна вне другой, или внутренним, когда одна лежит внутри другой. Если у окружностей нет общих точек, но есть общий центр, то они называются концентрическими.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности и площадь круга.

Формулы 2πR для величины окружности радиуса R и, πR² для вычисления площади ограниченного ею круга, известны многим. Они пользовались особым вниманием математиков и вычислителей на протяжении тысячелетий. Интерес к все более точному определению постоянной π долгое время поддерживался надеждами осуществить квадратуру круга – построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу, а еще более – стремлением опровергнуть ложные «решения» этой задачи. В дальнейшем уточнение значения числа π стало своего рода математическим спортом, а в наше время – еще и способом продемонстрировать достоинства компьютерных программ и самих компьютеров.

Собственно, же формулы просто выражают тот факт, что длина окружности пропорциональна ее радиусу, а площадь круга – квадрату радиуса, причем первый коэффициент пропорциональности вдвое больше второго. Указанные свойства следуют из определений длины окружности и площади круга. Но сами эти определения не столь просты, как в случае длины отрезка или площади многоугольника. Ведь здесь нам приходиться иметь дело с «кривыми» фигурами. Площади криволинейных фигур определяют, строя все более близкие к ним по форме многоугольники. Детали определений могут отличаться, но в любом случае их суть сводиться к следующему предложению. Если последовательность многоугольников mₓ, содержащихся в данной фигуре Ф, и последовательность многоугольников Мₓ, содержащих ее таковы, что разность площадей Мₓ и mₓ становиться сколь угодно малой с ростом x, то площади многоугольников обеих последовательностей стремятся к одному и тому же предельному значению, которое и принимается за площадь Ф.

Другие интересные презентации по этому предмету:

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Урок 25 Бесплатно Длина окружности и площадь круга

На этом уроке мы рассмотрим одни из самых древнейших геометрических фигур: окружность и круг.

Определим, какими элементами характеризуются круг и окружность, в чем сходство и различие этих фигур.

Узнаем, как рассчитать длину окружности и площадь круга.

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Окружность и круг

Мы часто встречаем такие понятия, как окружность и круг.

Давайте попробуем разобраться, что называют окружностью, а что кругом.

Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.

Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности, ее обозначают обычно заглавной буквой О.

По сути, окружность — это изогнутая линия. Наглядно представить данную геометрическую фигуру можно, обведя стакан или блюдце карандашом, — оставшийся нарисованный след и будет окружностью.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Можно также сказать что это часть плоскости, которая находится внутри линии окружности.

Круг — плоская фигура, ее можно получить, закрасив окружность или вырезав его из бумаги по контуру окружности.

Свои имена окружность и круг приобрели не сразу.

В древние времена специальных названий для этих фигур не существовало. Люди пытались описать различные геометрические формы, сравнивая объекты. Например, говоря про что-то круглое, говорили: «такой, как солнце» или «такой, как орех» и т.п.

Только в Древней Греции окружность и круг приобрели себе свои названия.

Круг всегда привлекал к себе внимание как самая простая фигура из кривых, но самая загадочная.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Древние греки считали круг и окружность символом бесконечности и совершенства. Поражало то, что в каждой своей точке окружность устроена одинаково, представляя собой бесконечную линию, которая движется сама по себе.

У древних славян еще за долго до христианства круг был символом солнца.

В Древнем Египте и Греции круг изображали в виде змея Уробороса, который кусает свой хвост, образуя тем самым, окружность — этот символ обозначал бесконечность и цикличность во всей вселенной (смена дня и ночи, жизни и смерти т.д.).

Символика круга в различных религиях сопоставляется с целостностью, вечностью и бесконечной мудростью.

Например, в масонских учениях круг как форма без начала и конца — это источник бесконечного времени и пространства, в котором заключена тайна творения.

У буддистов круг символизирует единство внутреннего и внешнего мира.

В дзен-буддизме круг — это символ высшей степени просветления и совершенства. На основе этого представления построены принципы инь и янь (в виде круга, разделенного на две части, — символа взаимодействия и борьбы двух начал).

В христианстве круг служит эталоном божественного и духовного совершенства.

В живой и неживой природе круги и окружности встречаются как на макроуровнях, так и на микроуровнях. Например, движение электронов вокруг атомного ядра; вращение планет вокруг солнца; распространение волн на воде от упавшего груза; образование солнечного и лунного гало; срез дерева; зрачок глаза у человека и многое другое.

Рассмотрим подробней элементы, характерные для окружности.

Радиус окружности— это отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.

С латинского радиус (radius)- луч, спица колеса. Радиус не сразу приобрел себе такое название.

Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса, а общепризнанным становится к концу XVII века.

Радиус обозначается маленькой латинской буквой (r) или заглавной (R).

В окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия окружности; все эти радиусы равны.

Диаметр — это отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на этой окружности.

Диаметр в переводе с греческого (diametros) — поперечник.

Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D.

По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.

d = 2r

Следовательно, радиус- это половина диаметра.

r = d: 2

Пример 1

Радиус окружности равен 6 см.

Чему равен диаметр окружности?

r = 6 см

d — ?

Решение:

d = 2r

d = 2r= 2*6 = 12 (см) диаметр окружности

Ответ: d= 12 см

Пример 2

Диаметр окружности равен 12 см.

Чему равен радиус окружности?

d = 12 см

r — ?

Решение:

r = d : 2

r = 12 : 2 = 6 (см) радиус окружности

Ответ: r = 6 см

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Секущая окружности — это прямая, пересекающая окружность в двух точках. В результате окружность делится на дуги.

Точки А и В — точки пересечения секущей с окружностью.

Образовались две дуги: (mathbf)

Отрезок, который соединяет любые две точки на окружности (отрезок секущей), называется хордой.

Отрезок АВ (отрезок секущей) на рисунке — хорда окружности.

Хорда в переводе с греческого — струна, тетива.

На рисунке отрезок MN является хордой.

Если хорда проходит через центр окружности, то она является самой большой хордой для этой окружности. По своей сути она является диаметром для данной окружности и делит окружность на две равные дуги.

По мере удаления хорды от центра размеры ее уменьшаются, а дуги делятся на большую и малую.

АВ— самая большая хорда окружности- диаметр окружности.

CD, N₁M_1, NM, FE— хорды окружности.

Хорды окружности, удаленные на равные расстояния от центра, равны.

Хорды NM и N₁M₁ равны.

Если две хорды пересекаются в точке, то их отрезки пропорциональны.

Важно отметить, что все рассмотренные элементы окружности одинаковы и для круга.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Длина окружности, площадь круга и площадь кругового сектораСкачать

Длина окружности и площадь круга

Давайте выясним, что такое длина окружности и как ее определить.

Представьте, что окружность обернута нитью.

Если разрезать эту нить в некоторой точке и размотать ее, то длина нитки будет равна длине окружности.

Обычно длина окружности обозначается заглавной буквой С

Длина окружности (С) зависит от длины ее диаметра (d)

Обратите внимание на рисунок.

Вы можете заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.

Из этого следует, что длина окружности прямо пропорционально зависит от диаметра окружности.

А значит, для любых окружностей отношение длины окружности (С) к длине диаметра (d) является числом постоянным.

Это число (коэффициент пропорциональности) обозначают греческой буквой (mathbf), читается «пи».

С— это длина окружности

d— диаметр окружности

запишем отношение (mathbf)

отсюда следует, что длина окружности равна

Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса d = 2r, получим еще одну формулу для вычисления длины окружности

Выясним, чему равна постоянная величина — число (mathbf)

Число (mathbf)- это иррациональное число, т.е. число, которое представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

История числа (mathbf) насчитывает около 4 тысячелетий.

Одно из первых доказательств древнего существования этого числа (mathbf) заключено в папирусе Ахмеса, в одном из старейших задачников (1650 год до н.э.), найденного в Древнем Египте.

В папирусе дано достаточно точное, особенного для того времени, значение числа, равного 3,1605.

Точнее число (mathbf) рассчитал древнегреческий математик Архимед. Он приближенно представил значение константы в виде обыкновенной дроби (mathbf<frac >)

Архимеду удалось найти точное приближение числа (mathbf) (т.е. узкий числовой промежуток к которому принадлежит число (mathbf)).

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Решения задач по теме «Длина окружности и площадь круга»

Рассмотрим примеры решения задач

Задача 1

Найдите длину окружности, если ее радиус равен 4 см.

Число (mathbf<>) округлите до сотых.

r = 4 см

Длину окружности С — ?

Решение:

Подставив в формулу известные значения радиуса и постоянной (mathbf), получим:

Ответ: (mathbf)(см)

Задача 2

Длина окружности надувного бассейна 15,7м.

Найдите диаметр этого бассейна.

Число (mathbf) округлите до сотых.

C = 15,7 м

Диаметр d — ?

Решение:

Подставив в формулу известные значения длины окружности и постоянной (mathbf), получим:

Ответ: (mathbf) (м)

Задача 3

Диаметр окружности равен 6 см.

Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Значение числа (mathbf) округлить до сотых.

d = 6 cм

Площадь круга S — ?

Решение:

Подставим в формулу известные значения диаметра окружности и постоянной , получим:

(mathbf<S = frac 3,146^2 = frac <3,1436> > = 3,149=28,26) (cм 2 ) площадь круга

Ответ: (mathbf) (см 2 )

Задача 4

Вычислите площадь полукруга, если радиус круга равен 5 см.

Значение (mathbf) округлить до целых.

r = 5 cм

Площадь полукруга S_п — ?

Решение:

Площадь круга найдем по формуле:

Площадь полукруга будет равна половине площади всего круга.

Следовательно, формула для расчета площади полукруга получится вида:

Подставим в формулу известные значения радиуса круга и постоянной (mathbf), получим:

(mathbf<S_п = frac =37,5>) (cм 2 ) площадь полукруга

Ответ: (mathbf) (см 2 )

Задача 5

Найдите площадь круга, если известна длина окружности С.

Длина окружности С

Площадь круга S — ?

Решение:

Длина окружности выражается формулой:

Выразим неизвестный радиус окружности через длину окружности:

Площадь круга определяем по формуле:

Подставим, полученные выражения для радиуса окружности, в формулу площади круга, получим:

Сократим полученную дробь:

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Кроме вычислительных задач, существуют задачи на построение окружности и круга.

Окружность и круг можно начертить с помощью чертежного инструмента, который называется циркуль.

В переводе с латинского языка circulus означает «окружность», «круг».

Циркуль использовали еще с древности, много тысяч лет назад, об этом свидетельствуют найденные на раскопках находки, изображения.

Циркуль представляет собой две одинаковые по длине «ножки». На конце одной из них игла, а на второй- грифель.

Есть циркуль, у которого вместо «ножки» с грифелем помещается карандаш.

Рассмотрим, как построить окружность (круг) на бумаге с помощью циркуля и линейки.

Если задан радиус окружности (круга), то в нулевую отметку на линейке ставим иголку циркуля, другая «ножка» циркуля с грифелем в точку на линейке, равной по значению заданному радиусу.

Ставим точку на листе бумаги — это будет центр окружности (круга), в эту точку ставим иголку циркуля.

Не отрывая грифеля второй «ножки» циркуля от бумаги проводим окружность с заданным радиусом.

Если в задаче задан диаметр, то, прежде чем совершать замер по линейке, необходимо диаметр разделить пополам.

Таким образом, устанавливаем раствор циркуля по линейке на расстояние d:2 = r и чертим окружность по выше изложенной схеме.

Чтобы начертить окружность на местности, пользуются колышком и веревкой. Колышек вбивают в землю — предполагаемый центр окружности; веревка одним концом закрепляется к этому колышку, второй конец веревки туго натягивается; далее очерчивают окружность.

Данный способ построения окружности (круга) может быть применен и на бумаге, если под рукой не оказалось циркуля.

В качестве колышка берется кнопка, к ней привязывается нить определенной длинны (длина нити равна значению заданного радиуса), ко второму концу привязывается карандаш

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

💥 Видео

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга | Математика 6 класс #24 | ИнфоурокСкачать

6 класс, 24 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности. 9 класс.Скачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга.Скачать

МАТЕМАТИКА 6 класс: Длина окружности и площадь круга | ВидеоурокСкачать

Длина окружности. Площадь круга.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. 9 класс.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.Скачать