Докажите свойство медиан треугольника билет

Билет 1, 2 изученое

Докажите свойство медиан треугольника билет

Просмотр содержимого документа
«Билет 1, 2 изученое»

1 вопрос: дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

Определение. Многоугольником называют фигуру, составленную из отрезков так, что:

смежные отрезки не лежат на одной прямой

несмежные не имеют общих точек

Докажите свойство медиан треугольника билет

Вершинами называются точки: А, В, С, D, E, F.

Сторонами многоугольника называются отрезки: AB, BC, CD, DE, ЕF, FA.

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех сторон.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2) Докажите свойство медиан треугольника билет180°

2 вопрос: докажите теорему о средней линни

4 вопрос: периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Докажите свойство медиан треугольника билет

1 вопрос: дайте определение и свойства параллелограмма.

Определение. Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно – параллельны.

Докажите свойство медиан треугольника билет

1° В параллелограмме противоположные углы равны. В параллелограмме противоположные стороны равны.

2° Диагонали параллелограмма точкой пересечения делится пополам.

3° В параллелограмме сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.

4° Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2 вопрос: доказать свойство медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Докажите свойство медиан треугольника билет

Дано: ∆АВС, О — точка пересечения медиан АА₁ и ВВ₁; А₁В₁ — средняя линия ∆АВС.

Доказать: точка О пересечение медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезок А₁В₁ параллелен стороне АВ, поэтому Докажите свойство медиан треугольника билет1 = Докажите свойство медиан треугольника билет2 ; Докажите свойство медиан треугольника билет3 = Докажите свойство медиан треугольника билет4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А₁В₁.).

Следовательно, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: Докажите свойство медиан треугольника билет

Но АВ=2 А₁В₁, поэтому АО=2 Докажите свойство медиан треугольника билетА₁О и ВО= 2 Докажите свойство медиан треугольника билетВ₁О.

Таким образом, точка О пересечение медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Докажите свойство медиан треугольника билет

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Докажите свойство медиан треугольника билет

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Докажите свойство медиан треугольника билет

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Докажите свойство медиан треугольника билет

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Докажите свойство медиан треугольника билет

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Докажите свойство медиан треугольника билет

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Докажите свойство медиан треугольника билет

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Докажите свойство медиан треугольника билет

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Докажите свойство медиан треугольника билет

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Докажите свойство медиан треугольника билетплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса.

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Докажите свойство медиан треугольника билетДано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Докажите свойство медиан треугольника билет

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

Докажите свойство медиан треугольника билет

из чего следует, что

Докажите свойство медиан треугольника билет

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

Докажите свойство медиан треугольника билет

Что и требовалось доказать .

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

7 Comments

Промогите пожалуйста:
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
(Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
x²+2xy+y²=19600; x+y=140).

Прошу помощи в решении задачи: на стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Во-первых, большое спасибо за решение, даже не ожидала ответа, но, по счастью, ошиблась! Но я к этому времени уже решила так:провела ВМ, которая в равностороннем треугольнике является также высотой.
Рассмотрим четырехугольник ОВМС: угол ВОС =углу ВМС=90 градусов (диагонали ромба взаимно перпендикулярны),отсюда, ВМ параллельна ОС, тогда угол МОС=20 градусам. Рассм. треугольник ОМС: угол МСО= 180-20-70=90 градусов, и одновременно= 60+x, т.о., угол х=30 градусам, и искомый острый угол ромба=60 градусам. Мы получили разные ответы, в чем может быть дело (окружности мы еще не проходили).

Наталия углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ.

🎥 Видео

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Теорема о трёх медианахСкачать

Теорема о трёх медианах

Урок 33. Свойство медиан треугольника (8 класс)Скачать

Урок 33.  Свойство медиан треугольника (8 класс)

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точке

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: