Докажите что средняя линия треугольника пересекает вписанную окружность (8 видео)

Задание 16. Математика ЕГЭ. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

Заданиею

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Решение:

Средняя линия пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС, если FH > EH.

Радиус, вписанной в треугольник АВС окружности, найдем используя формулу:

P = 2·38 + 26 = 102

Из треугольника ∆АВН по теореме Пифагора найдем ВН:

ВН 2 = АВ 2 – АН 2

ВН 2 = 38 2 – 13 2 = 1444 – 169 = 1275 = 5·5·51

Так как MN – средняя линия треугольника, то

Сравниваем FH и EH:

Получим, что FH > EH, следовательно, средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Треугольник ∆OKL – равнобедренный треугольник, так как OK = OL = r.

ОЕ – высота и медиана треугольника ∆OKL, следовательно, KL = 2KE.

Содержание

Докажите что средняя линия пересекает окружность
Докажите что средняя линия пересекает окружность
Задание 16. Математика ЕГЭ. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
Докажите что средняя линия пересекает окружность
Как найти среднюю линию треугольника?
Понятие треугольника
Понятие средней линии треугольника
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Свойства средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника
📽️ Видео

Видео:Снова ЕГЭ Доказать, что средняя линия ранобедренного треугольника пересекаетСкачать

Докажите что средняя линия пересекает окружность

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Докажите что средняя линия пересекает окружность

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжени высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P.

а) Докажите, что треугольник MNP — прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 12.

Ответ:

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причем ∠BEC=120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника A1B1C1.

а) Докажите, что C1Q — биссектриса угла AC1B1.

б) Найдите расстояние от точки O до центра окружности, вписанной в треугольник AC1B1, если известно, что BC = 15, AB = 13, AC = 14.

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Задание 18 (Типовые варианты для подготовки к ЕГЭ-2015)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.

а) Докажите, что четырехугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB = 5 и AH = 4.

Видео:Задание 16 ЕГЭ 2022 Докажите, что средняя линия треугольника пересекает вписанную окружностьСкачать

Задание 16. Математика ЕГЭ. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

Заданиею

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Решение:

Средняя линия пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС, если FH > EH.

Радиус, вписанной в треугольник АВС окружности, найдем используя формулу:

P = 2·38 + 26 = 102

Из треугольника ∆АВН по теореме Пифагора найдем ВН:

ВН 2 = АВ 2 – АН 2

ВН 2 = 38 2 – 13 2 = 1444 – 169 = 1275 = 5·5·51

Так как MN – средняя линия треугольника, то

Сравниваем FH и EH:

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Треугольник ∆OKL – равнобедренный треугольник, так как OK = OL = r.

ОЕ – высота и медиана треугольника ∆OKL, следовательно, KL = 2KE.

Видео:Теорема о средней линии треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Докажите что средняя линия пересекает окружность

В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Решение:

Опустим высоту ВН на сторону АС, т.е. BH⟂AC

Так как MN — средняя линия, то MN || AC

→ MN ⟂ BH → △KLO — прямоугольный, тогда KO — гипотенуза и

Пусть r — радиус вписанной окружности, тогда KO = r и r > LO → MN пересекает окружность, вписанную в треугольник.

Точка Е — точка касания вписанной окружности с боковой стороной △АВС. Тогда АЕ = АН = 13 ( если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны).

AM = BM = 38/2 = 19 (т.к. MN — средняя линия)

EM = AM — AE = 19 — 13 = 6

△KLO: KL² = KO² — LO² = KO² — (MO² — ML²) = KO² — MO² + ML² = KO² — (EM²+EO²) + ML² = KO² — EM² — EO² + ML² = r² — 6² — r² + (13/2)² = 169/4 — 36 = 25/4 → KL = 5/2

Аналогично LF = 5/2

Тогда KF = KL + LF = 5/2 + 5/2 = 5

MK = ML — KL = 13/2 — 5/2 = 8/2 = 4

FN = LN — LF = 13/2 — 5/2 = 4

Получаем MK:KF:FN = 4:5:4

Ответ: б) 4:5:4

Видео:Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Как найти среднюю линию треугольника?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математике #8Скачать

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Видео:12.41.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Видео:ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.