Доказательство внешних углов треугольника

Внешний угол треугольника

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный к любому углу этого треугольника.

Доказательство внешних углов треугольника

На Рис.1 угол 4 внешний так как углы 2 и 4 смежные.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Докажем, что ( small angle 4=angle 1+ angle 3. ) Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем:

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Внешний угол треугольника доказательство

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Многоугольники

Доказательство внешних углов треугольникаОпределение многоугольника
Доказательство внешних углов треугольникаДиагонали n – угольника
Доказательство внешних углов треугольникаВнешний угол многоугольника
Доказательство внешних углов треугольникаСвойства углов треугольника
Доказательство внешних углов треугольникаСвойства углов многоугольника
Доказательство внешних углов треугольникаСвойства углов правильного n – угольника
Доказательство внешних углов треугольникаДоказательства теорем о свойствах углов многоугольника

Доказательство внешних углов треугольника

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Определение многоугольника

Рассмотрим n отрезков

[A1 A2], [A2 A3], … , [An An +1](1)

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Доказательство внешних углов треугольника

Определение 1 . Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L , составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Доказательство внешних углов треугольника

Определение 2 . Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию ( звенья ), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Доказательство внешних углов треугольника

Определение 3 . Многоугольник называют n – угольником , если он имеет n сторон.

Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником , многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

Величину, равную половине периметра, называют полупериметром .

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Диагонали n — угольника

ФигураРисунокОписание
Диагональ
многоугольника
Доказательство внешних углов треугольникаДиагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали
n – угольника, выходящие из одной вершины
Доказательство внешних углов треугольникаДиагонали, выходящие из одной вершины
n – угольника, делят n – угольник на
n – 2 треугольника
Все диагонали
n – угольника
Доказательство внешних углов треугольника

Число диагоналей n – угольника равно

Доказательство внешних углов треугольника

Диагональ многоугольника
Доказательство внешних углов треугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольникаДиагонали n – угольника, выходящие из одной вершиныДоказательство внешних углов треугольника

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольникаВсе диагонали n – угольникаДоказательство внешних углов треугольника

Число диагоналей n – угольника равно

Доказательство внешних углов треугольника

Видео:теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.Скачать

теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными , если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Доказательство внешних углов треугольника

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Доказательство внешних углов треугольника

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Свойства углов треугольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы
Углы треугольникаДоказательство внешних углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольникаДоказательство внешних углов треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Углы треугольника
Доказательство внешних углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Доказательство внешних углов треугольника

Доказательство внешних углов треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Видео:Сумма углов треугольника (доказательство). Внешний угол треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Сумма углов треугольника (доказательство). Внешний угол треугольника - 7 класс геометрия

Свойства углов многоугольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы
Углы
n – угольника
Доказательство внешних углов треугольника

Сумма углов многоугольника равна

Доказательство внешних углов треугольника

Внешние углы
n – угольникаДоказательство внешних углов треугольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Углы n – угольника
Доказательство внешних углов треугольника

Сумма углов многоугольника равна

Доказательство внешних углов треугольника

Внешние углы n – угольникаДоказательство внешних углов треугольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Видео:Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Примеры задач. Геометрия 7 класс.Скачать

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Примеры задач. Геометрия 7 класс.

Свойства углов правильного n – угольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы
Углы правильного
n – угольника
Доказательство внешних углов треугольника

Все углы правильного n – угольника равны

Доказательство внешних углов треугольника

Внешние углы
правильного
n – угольникаДоказательство внешних углов треугольника

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Доказательство внешних углов треугольника

Углы правильного n – угольника
Доказательство внешних углов треугольника

Все углы правильного n – угольника равны

Доказательство внешних углов треугольника

Внешние углы правильного n – угольникаДоказательство внешних углов треугольника

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Доказательство внешних углов треугольника

Видео:ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉  #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

Доказательства свойств углов многоугольника

Теорема 1 . В любом треугольнике сумма углов равна 180° .

Доказательство . Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Доказательство внешних углов треугольника

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE . Поскольку углы ABD , ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180° . Теорема доказана.

Теорема 2 . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство . Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Доказательство внешних углов треугольника

Доказательство внешних углов треугольника

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC . Теорема доказана.

Замечание . Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3 . Сумма углов n – угольника равна

Доказательство внешних углов треугольника

Доказательство . Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Доказательство внешних углов треугольника

Получим n треугольников:

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O . Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

Доказательство внешних углов треугольника

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° .

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Доказательство внешних углов треугольника

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Видео:Теорема о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника ДоказательствоСкачать

Теорема о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника Доказательство

Внешний угол треугольника

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный к любому углу этого треугольника.

Доказательство внешних углов треугольника

На Рис.1 угол 4 внешний так как углы 2 и 4 смежные.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Докажем, что ( small angle 4=angle 1+ angle 3. ) Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

Доказательство внешних углов треугольника

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Доказательство внешних углов треугольника

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство внешних углов треугольника

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Доказательство внешних углов треугольника

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.

Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

Доказательство внешних углов треугольника

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Доказательство внешних углов треугольника

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство внешних углов треугольника

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Доказательство внешних углов треугольника

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.

🎦 Видео

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.Скачать

№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

7 класс. Внешний угол треугольника.Скачать

7 класс. Внешний угол треугольника.

Теорема о сумме внутренних углов треугольникаСкачать

Теорема о сумме внутренних углов треугольника

№233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника,Скачать

№233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника,

⚠️🔺Геометрический Секрет Треугольника: Почему внешний угол равен сумме двух несмежных углов?Скачать

⚠️🔺Геометрический Секрет Треугольника: Почему внешний угол равен сумме двух несмежных углов?
Поделиться или сохранить к себе: