Определение 1. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются продолжениями друг друга.
 |
На Рис.1 углы AOB и BOC смежные, так как сторона OB общая для этих углов, а стороны OA и OC являются продолжениями друг друга. Поскольку угол AOC является развернутым углом, то сумма смежных углов равна 180°:
 . | (1) |
Видео:7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать
Свойства смежных углов
1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежгых углов равны, но имеют противоположный знак.
Справедливость пунктов 2 и 3 очевидны и следуют из (1).
Доказательство пункта 4. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн)
 . |
То есть синусы смежных углов равны.
Доказательство пункта 5. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но
 , |
 , |
 . |
То есть косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.
Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать
Смежные и вертикальные углы. Треугольник. Равнобедренный треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Видео:Смежные углы. 7 класс.Скачать
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
Факт 1.
(bullet) Смежные углы — два угла, имеющие общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одна другой.
Смежные углы: (angle AOB) и (angle BOC) .
Теорема: Сумма смежных углов равна (180^circ) : (angle AOB+angle BOC=180^circ) .
Факт 2.
(bullet) Вертикальные углы — два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (образуются, например, при пересечении двух прямых).
Вертикальные углы: (angle 1) и (angle 2) , (angle 3) и (angle 4) .
Теорема: Вертикальные углы равны: (angle 1=angle 2) и (angle 3=angle 4) .
Факт 3.
(bullet) Сумма углов (angle A, angle B, angle C) треугольника (ABC) равна (180^circ) .
(bullet) Внешний угол (angle BCD) треугольника (ABC) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Факт 4.
(bullet) Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
(bullet) Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых взаимно перпендикулярны.
Факт 5.
(bullet) Прямая теорема: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.
(bullet) Обратная теорема: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Факт 6.
(bullet) Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны. Третья сторона треугольника называется основанием.
Первое свойство равнобедренного треугольника:
Второе свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны.
Первый признак равнобедренного треугольника: если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный.
Второй признак равнобедренного треугольника: если у треугольника совпадают высота и медиана (высота и биссектриса или медиана и биссектриса), проведенные к одной и той же стороне, то этот треугольник является равнобедренным.
Факт 7.
(bullet) Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Факт 8.
(bullet) Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.
Факт 9.
(bullet) Медиана треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Факт 10.
(bullet) Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит его на два треугольника, подобных исходному.
(bullet) Квадрат этой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
Факт 11.
(bullet) Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
(bullet) 1. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.
(bullet) 2. Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
(bullet) 3. Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник.
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Видео:Вертикальные углы. 7 класс.Скачать
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Видео:Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать
Смежные углы
Что такое смежные углы? Какие у них свойства?
Определение.
Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.
∠1 и ∠2 — смежные углы
Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?
При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:
Но, так как ∠1 =∠4, ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.
Свойство смежных углов.
Сумма смежных углов равна 180º.
1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.
∠AOC и ∠BOC — смежные,
∠AOC на 42º больше, чем ∠BOC
Найти: ∠AOC и ∠BOC.
Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.
Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.
Ответ: 69º и 111º.
2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.
Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.
Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.
Ответ: 80º и 100º.
3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.
Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,
∠AOD в 5 раз больше, чем ∠BOD
При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD — смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.
Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.
Ответ: 30º и 150º.
Могут ли смежные углы быть равными?
Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.
угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?
Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.
Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.
Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).
💡 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№6 - Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы.)Скачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
СМЕЖНЫЕ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ геометрия 7 класс. Теорема, доказательствоСкачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Смежные углыСкачать
Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать
Задачи: смежные и вертикальные углы. 4 задачи за 7 минут. Все о смежных и вертикальных углахСкачать
Свойство смежных угловСкачать
