Курс школьной геометрии » Треугольник

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Обновлено Просмотров 839
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. AB = A1B1 и AC = A1C1.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. AC = A1C1, Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковC = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковC1

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Содержание
  1. Теорема
  2. Доказательство
  3. Теорема
  4. Доказательство
  5. Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения
  6. Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)
  7. Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)
  8. Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)
  9. Пятый признак (по катету и гипотенузе).
  10. Доказательства первых трех признаков равенства прямоугольных треугольников
  11. Первый признак равенства прямоугольных треугольников
  12. Доказательство первого признака
  13. Второй признак равенства прямоугольных треугольников
  14. Доказательство второго признака
  15. Третий признак равенства прямоугольных треугольников
  16. Доказательство третьего признака
  17. 💡 Видео

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны

Пример:

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. BC = B1C1, Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковB = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковB1

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Пример:

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. BC = B1C1, AB = A1B1

Доказательство

Дано: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC, Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1, BC = B1C1, AB = A1B1

Доказать: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Так как Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA = Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1, то Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковABC можно наложить на Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковA1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A1C1 и A1B1. При этом вершина B совместится с вершиной B1, потому что AB = A1B1. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C1. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C2 луча A1C1, то получим равнобедренный треугольник C1B1C2.

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

В Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковC1B1C2 углы при основании не равны (Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковC2 — острый, а Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковC1 — тупой, так как он смежный с углом B1C1A1, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C1. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A1B1C1, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения

Содержание:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Вы уже знаете три признака равенства треугольников. Поскольку часто приходится иметь дело с прямоугольными треугольниками, то выделяют пять признаков равенства прямоугольных треугольников. Сформулируем и докажем их.

Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников

Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказать: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство:

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковпо стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольников

Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников(рис. 264).

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказать: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковследует, что Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковТогда Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковпо стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:36. Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

36. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников(рис. 265).

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказать: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковследует, что Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковТогда Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковпо стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольников

Пятый признак (по катету и гипотенузе).

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковДоказательство признаков равенства прямоугольных треугольников Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников(рис. 266).

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказать: Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство:

Приложим треугольников А1В1С1 к треугольнику АВС так, чтобы совместились равные катеты А1С1 и АС, а вершины В1 и В лежали по разные стороны от прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Так как Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковB2CB — развернутый и АВ2 = АВ, то треугольник В2АВ — равнобедренный, катет АС — его высота. По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, будет и медианой. Тогда В2С=СВ и треугольники ABC и АВ2С равны по двум катетам.

Отсюда Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Пример:

На рисунке 267 Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказать равенство треугольников: а) Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковАВС и Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковADC б) Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковАОВ и Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковCOD.

Доказательство:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC. У них гипотенуза АС — общая, катеты AD и ВС равны по условию. Тогда Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковАВС =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковADC по катету и гипотенузе.

б) Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство сторон АВ и CD (доказано в пункте а). Тогда Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковАОВ =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковCOD. по катету (АВ = CD) и противолежащему острому углу (Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковAOB =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковCOD как вертикальные).

Пример:

Дан треугольник ABC, АК и СМ — его высоты, проведенные к боковым сторонам, О — точка их пересечения (рис. 268). Доказать, что если треугольники АОМ и СОК равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников

Доказательство:

Так как Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковAOM =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковCOK как вертикальные, то Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковMAO =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковKCO (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°). Из равенства треугольников АОМ и СОК следует равенство гипотенуз АО и СО. Треугольник АОС — равнобедренный,Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковOAC =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковOCA как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковBAC =Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковBCA как составленные из равных углов. Треугольник ABC равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Признаки равенства прямоугольных треугольников #11Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников #11

Доказательства первых трех признаков равенства прямоугольных треугольников

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Первый признак равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольников

Доказательство первого признака

Поскольку угол между катетами прямой , то два рассматриваемых треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольниковДоказательство первых трёх признаков равенства прямоугольных треугольников

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Второй признак равенства прямоугольных треугольников

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Доказательство второго признака

Поскольку угол, прилежащий к катету, прямой — то рассматриваемые треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Видео:Четвёртый признак равенства прямоугольных треугольников 1е доказательствоСкачать

Четвёртый признак равенства прямоугольных треугольников 1е доказательство

Третий признак равенства прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Доказательство третьего признака

Поскольку второй угол в треугольнике прямой, то третий угол равен разности 90° минус первый угол. Также и в другом треугольнике: третий острый угол равен разности 90° минус первый острый угол. И следовательно рассматриваемые треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

💡 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Плутон в Водолее. Чего ждать?Скачать

Плутон в Водолее. Чего ждать?

Доказательство II признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство II признака равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Доказательство III признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство III признака равенства прямоугольных треугольников

7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать

7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Доказательство IV признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство IV признака равенства прямоугольных треугольников

Первые три признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Первые три признака равенства прямоугольных треугольников
Поделиться или сохранить к себе: