Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Подобные треугольники
Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.
длины сторон треугольника KLM , расположенные в порядке возрастания.
длины сторон треугольника TRP , расположенные в порядке возрастания.
Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.
На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A1B1C1 , а треугольник TRP обозначается как треугольник A2B2C2 .
вершины A1 и A2 , B1 и B2 , C1 и C2 называют сходственными вершинами ,
стороны A1B1 и A2B2 , A1C1 и A2C2 , B1C1 и B2C2 называют сходственными сторонами ,
углы A1 и A2 , B1 и B2 , C1 и C2 называют сходственными углами
Определение 2 . Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
а, во-вторых, существует положительное число k , такое, что справедливы равенства:
a1 = k a2 , b1 = k b2 , c1 = k c2 .
(1)
Видео:Подобие в прямоугольных треугольникахСкачать
Признаки подобия треугольников
Название признака
Рисунок
Формулировка признака
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по двум углам
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по трём сторонам
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
Формулировка признака подобия:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по двум углам
Формулировка признака подобия:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия треугольников по трём сторонам
Формулировка признака подобия:
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
Следствие 1 . Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).
Следствие 2 . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)
Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Формулы:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник выражается следующим образом:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
По катету и гипотенузе: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольникиравны.
По катету и острому углу: Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Видео:Подобие прямоугольных треугольников и его применениеСкачать
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно доказать, что треугольник прямоугольный.
По теореме Пифагора: Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
По центру описанной окружности: Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то треугольник прямоугольный.
По медиане: Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
По площади: Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, то треугольник прямоугольный.
По радиусу описанной окружности: Если радиус описанной окружности равен половине, то треугольник прямоугольный.
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать
Подобие прямоугольных треугольников
Подобие прямоугольных треугольников обычно доказывают, используя не общие признаки, а специальные признаки подобия для прямоугольных треугольников.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
1- й признак подобия прямоугольных треугольников
( подобие прямоугольных треугольников по острому углу)
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
— прямоугольные (∠C=90º, ∠C=90º).
(по острому углу).
2- й признак подобия прямоугольных треугольников
( подобие прямоугольных треугольников по двум катетам)
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
— прямоугольные (∠C=90º, ∠C=90º).
(по двум катетам).
3- й признак подобия прямоугольных треугольников
( подобие прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
— прямоугольные (∠C=90º, ∠C=90º).
(по катету и гипотенузе).
Из подобия прямоугольных треугольников следуют соотношения между высотой, проведённой к гипотенузе, гипотенузой, катетами и проекциями катетов на гипотенузу, а также свойство биссектрисы треугольника.
Подобные треугольники
