Доказать mc медиана треугольника kmn

Геометрия | 5 — 9 классы

Дано : треугольник KMN, AK = BN, AM = BM, CA перпендикулярно KM, CB перпендикулярно NM доказать : MC — медиана треугольника KMN.

Дано : треугольник KMN, AK = BN, AM = BM, CA перпендикулярно KM, CB перпендикулярно NM

доказать : MC — медиана треугольника KMN В треугольнике KMN боковые стороны состоят из равных отрезков

AK = BN, AM = BM, следовательно

КМ = МК + АМ = ВN + MB = MN

Треугольник KMN — равнобедренный.

так как это прямоугольные треугольники,

углы К и N равны как углы при основании равнобедренного треугольника,

Если в прямоугольном треугольнике острый угол и катет равен острому углу и катету другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Следовательно, гипотенузы АС и CN этих треугольников равны.

Точка С — середина стороны КN

МС — медиана треугольника KMN, что и требовалось доказать.

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMР была в два раза меньше площади треугольника KMN?

На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMР была в два раза меньше площади треугольника KMN.

Видео:Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD , AB = 4 BM = 2корня из 7?

В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD , AB = 4 BM = 2корня из 7.

Найти длины биссектрисы AD и стороны BC.

Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

Дано : треугольник ABC и KMN AB = 8 BC = 12 AC = 16 KM = 10 MN = 15 NK = 20 срочно пжл?

Дано : треугольник ABC и KMN AB = 8 BC = 12 AC = 16 KM = 10 MN = 15 NK = 20 срочно пжл.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Даны два треугольника : CNM и KNM ?

Даны два треугольника : CNM и KNM .

Угол CMN равен углу KMN , а угол CMN равен углу KMN .

Докажите , что треугольники CNM и KNM равны.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

В треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке O и перпендикулярны?

В треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке O и перпендикулярны.

Найдите Sabc и Saob, если AM = 9 cм , BN = 12 см.

Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Доказать, что если медиана треугольника перпендикулярна противоположной стороне , то треугольник является равнобедренным?

Доказать, что если медиана треугольника перпендикулярна противоположной стороне , то треугольник является равнобедренным.

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и KM, BC и MN являются сходственными?

В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и KM, BC и MN являются сходственными.

Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, (KM / AB) = 2, 1.

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

Найдите отношение площадей треугольников abc и треугольника kmn если ab 8 bc 12 ac 16 km 10 mn 15, nk 20?

Найдите отношение площадей треугольников abc и треугольника kmn если ab 8 bc 12 ac 16 km 10 mn 15, nk 20.

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Отрезки AB, AC, AD не принадлежат одной плоскости?

Отрезки AB, AC, AD не принадлежат одной плоскости.

K, M, N — середины сторон соответственно.

Доказать, что плоскость BCD || KMN.

Найти S треугольника BCD, если S треугольника KMN = 36 м2.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD?

Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD.

Найдите AB, если AC = 12 см.

На странице вопроса Дано : треугольник KMN, AK = BN, AM = BM, CA перпендикулярно KM, CB перпендикулярно NM доказать : MC — медиана треугольника KMN? из категории Геометрия вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Теорема о трёх медианахСкачать

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:№114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.Скачать

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Видео:22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

🌟 Видео

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

№106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный ADСкачать