Видео:Доказать, что точки лежат на одной окружностиСкачать
Ваш ответ
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,029
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Равные хорды
Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.
Равные хорды равноудалены от центра окружности.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
1) AB=CD (по условию)
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.
II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.
2) ∠A=∠C (по доказанному).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.
Что и требовалось доказать .
Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.
1)OF=OK (по условию)
2)OD=OB (как радиусы).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.
По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.
Что и требовалось доказать.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
1) AB=CD (по условию)
2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).
Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.
Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD
Что и требовалось доказать .
Хорды, стягивающие равны дуги, равны.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
Соединим центр окружности с концами хорд.
Рассмотрим треугольники AOB и COD
Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.
Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.
Видео:Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис ТрушинСкачать
Хорды и дуги
Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.
При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.
Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.
Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.
Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.
Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).
Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: (breve = breve).
Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.
Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).
Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.
Доказательство. Передвинем по окружности дугу СК так, чтобы точка К совместилась с точкой А, тогда точка С займёт положение С’ на дуге АВ между точками Aи В, дуга СК примет положение дуги АС’, а хорда СК примет положение хорды АС’. Проведём радиусы в точки A, В и С’. Опустим из центра О перпендикуляры ОЕ и ОD на хорды АВ и АС’. В треугольнике ОFE отрезок ОЕ — катет, а отрезок ОF — гипотенуза, поэтому OF > ОЕ, а потому и OD > OE.
Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.
Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.
Пусть хорда А В больше хорды СК.
Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:
Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.
Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, (breve > breve).
Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами
Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).
Требуется доказать, что (breve = breve). Проведём диаметр MN ⊥ AB. Так как CD || AB, то MN ⊥ CD.
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.
Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).
Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда (breve = breve).
Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой
Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.
Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).
Требуется доказать, что (breve = breve).
Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.
OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.
Следовательно, (breve = breve).
Видео:✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, breve = breve, breve = breve $$
Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ breve = breve $$
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.
Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.
Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,
Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ breve = breve; breve = breve $$
Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.
Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что
Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы (breve) = (breve), поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр AB проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.
🔍 Видео
№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать
Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать
✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать
ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать
№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать
Окружность. 7 класс.Скачать
Решение задач на окружность явную и вспомогательнуюСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать