Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:
1. RangA=RangA¢= 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).
2. RangA=RangA¢= 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).
3. RangA=RangA¢= 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14).
4. RangA=2, RangA¢= 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).
5. RangA=1, RangA¢= 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Пересекающиеся плоскости
Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Содержание:
Понятие пересекающихся плоскостей
Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.
Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой . Плоскости и в этом случае являются пересекающимися по прямой (рис. 2.379).
Пример:
Дана плоскость . Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая .
Решение:
Из условия задачи имеем:
1. Плоскость (дано) (рис. 2.380).
2. Нужно доказать, что существует другая плоскость , пересекающая .
Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.
3. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости , и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую (построение) (рис. 2.381).
4. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость , и притом только одну (3, аксиома 3).
5. Плоскости и имеют общую точку (1, 3, 4).
6. Плоскости и пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).
7. Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая . (6)
Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости , что противоречит выбору точки С.
Двугранные углы
При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.
Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.
На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.
Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).
Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.
На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.
Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).
Определение.Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.
Определение.Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.
Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.
Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.
Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.
Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.
Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.
Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.
Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.
Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.
Пример:
Докажем теорему 3.
Из условия теоремы имеем:
1. PABQ и — два данных двугранных угла (рис. 2.388).
2. Вложим угол в угол АВ так, чтобы ребро совпало с ребром АВ, а грань — с гранью Р (построение) (рис. 2.389).
3. Если эти двугранные углы равны, то грань совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение (1, 2).
4. Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость , перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).
5. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.
Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань займет положение то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно ) (3, 4).
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
📽️ Видео
10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать
Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать
(5)
.
. Плоскости 
и 
в этом случае являются пересекающимися по прямой 
(рис. 2.379).
. Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая 
.
(дано) (рис. 2.380).
, пересекающая 
.
, и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую 
(построение) (рис. 2.381).
, и притом только одну (3, аксиома 3).
и 
имеют общую точку (1, 3, 4).
и 
пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).
. (6)
— два данных двугранных угла (рис. 2.388).
в угол АВ так, чтобы ребро 
совпало с ребром АВ, а грань 
— с гранью Р (построение) (рис. 2.389).
совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение 
(1, 2).
, перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).
) (3, 4).
