Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве

Три плоскости в пространстве могут располагаться так и только так, как показано в следующей таблице.

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют единственную общую точку (на рисунке — это точка S)

Все три плоскости имеют общую прямую

ФигураРисунокСвойство
Три параллельные плоскостиДоказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостьюДоказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостейДоказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостейДоказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостейДоказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Плоскости попарно не пересекаются.

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Все три плоскости имеют единственную общую точку (на рисунке — это точка S)

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Все три плоскости имеют общую прямую

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

77. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть a, b и g три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0, A32 + B32+ C32 ≠ 0. Рассмотрим систему трех уравнений

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым(5)

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. Rang A = Rang A¢ = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. Rang A = Rang A¢ = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. Rang A = Rang A¢ = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14).

4. Rang A =2, Rang A¢ = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

5. Rang A =1, Rang A¢ = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Пересекающиеся плоскости

Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Содержание:

Понятие пересекающихся плоскостей

Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым. Плоскости Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямыми Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымв этом случае являются пересекающимися по прямой Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым(рис. 2.379).

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Пример:

Дана плоскость Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым. Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Плоскость Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым(дано) (рис. 2.380).

2. Нужно доказать, что существует другая плоскость Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым, пересекающая Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

3. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым, и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым(построение) (рис. 2.381).

4. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым, и притом только одну (3, аксиома 3).

5. Плоскости Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямыми Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымимеют общую точку (1, 3, 4).

6. Плоскости Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямыми Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымпересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).

7. Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым. (6)

Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым, что противоречит выбору точки С.

Двугранные углы

При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.

Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.

На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).

Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.

Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).

Определение. Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.

Определение. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.

Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.

Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Все сказанное можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 2. 1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Верна и обратная теорема.

Теорема 3. 1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.

Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.

Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.

Пример:

Докажем теорему 3.

Из условия теоремы имеем:

1. PABQ и Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым— два данных двугранных угла (рис. 2.388).

2. Вложим угол Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымв угол АВ так, чтобы ребро Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымсовпало с ребром АВ, а грань Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым— с гранью Р (построение) (рис. 2.389).

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

3. Если эти двугранные углы равны, то грань Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымсовпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым(1, 2).

4. Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым, перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).

Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

5. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.

Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымзаймет положение Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямымто у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно Доказать что плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым) (3, 4).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

🎥 Видео

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположены

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространстве

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскости

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости
Поделиться или сохранить к себе:
Три параллельные плоскости
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостью
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей