Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .
Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.
Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.
Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.
Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.
Вышеизложенное можно сформулировать так:
Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:
- Первый признак равенства треугольников
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- Задачи и решения
- 3 признак равенства треугольников
- Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- 🎬 Видео
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Первый признак равенства треугольников
Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, AС=A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что .
Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что .
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.
Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.
. |
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:
. |
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать
Задачи и решения
Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).
Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .
Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T
Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .
Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать
3 признак равенства треугольников
(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы
- вершина A1 совместилась с вершиной A,
- вершина B1 совместилась с вершиной B,
- точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.
При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.
I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.
Проведём отрезок CC1.
По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.
Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:
Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.
Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.
Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:
Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.
Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).
Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:
III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.
По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.
Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Признаки равенства треугольников
О чем эта статья:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
Видео:7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольниковСкачать
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Видео:7 класс, 20 урок, Третий признак равенства треугольниковСкачать
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
- Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
- Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
- Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
- Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
- Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
🎬 Видео
7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать
Третий признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать
Второй признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать
ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать
Третий признак равенства треугольников (доказательство) - геометрия 7 классСкачать
Первый признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать
Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Геометрия 7. Урок 8 - Признаки равенства треугольников.Скачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т8. Третий признак равенства треугольников.Скачать