Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Длина вписываемой окружности в треугольник формулаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Длина вписываемой окружности в треугольник формулаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Длина вписываемой окружности в треугольник формулаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Содержание
  1. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  3. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Длина окружности
  5. Как найти длину окружности через диаметр
  6. Как найти длину окружности через радиус
  7. Как вычислить длину окружности через площадь круга
  8. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
  9. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
  10. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
  11. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
  12. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
  13. Задачи для решения
  14. Окружность, вписанная в треугольник
  15. Определение окружности, вписанной в треугольник
  16. Теорема об окружности, вписанной в треугольник
  17. 🌟 Видео

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Длина вписываемой окружности в треугольник формула.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула
Равнобедренный треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула
Равносторонний треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула
Прямоугольный треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Длина вписываемой окружности в треугольник формула.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Длина вписываемой окружности в треугольник формула.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Произвольный треугольник
Длина вписываемой окружности в треугольник формула
Равнобедренный треугольник
Длина вписываемой окружности в треугольник формула
Равносторонний треугольник
Длина вписываемой окружности в треугольник формула
Прямоугольный треугольник
Длина вписываемой окружности в треугольник формула
Произвольный треугольник
Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Длина вписываемой окружности в треугольник формула.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Длина вписываемой окружности в треугольник формула.

Равнобедренный треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Равносторонний треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникДлина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Длина вписываемой окружности в треугольник формула– полупериметр (рис. 6).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

с помощью формулы Герона получаем:

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Длина окружности

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона квадрата

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:
Длина вписываемой окружности в треугольник формула

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Длина вписываемой окружности в треугольник формулаПодставим туда наши переменные и получим Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Видео:Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.Длина вписываемой окружности в треугольник формула

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Длина вписываемой окружности в треугольник формула

🌟 Видео

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность
Поделиться или сохранить к себе: