Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Как найти длину дуги зная координаты 2ух точек на окружности?

В процессе разработки 2d игры на юнити, я столкнулся с проблемой — как определить кратчайшие расстояние от позиции объекта1 до объекта2 (каждая из позиций лежит на окружности), учитывая что объект1 движется по окружности.

Простыми словами вопрос звучит так: как определить длину дуги между точками A и B, зная координаты этих точек на окружности и радиус окружности? Для удобства можно считать что центр окружности в точке (0; 0), это не принципиально

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Введение. Длина дуги окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Длина дуги окружности по координатам точек

На этом уроке мы вспомним, что такое окружность, круг и части круга и числовая окружность. Дадим определение радиана и рассмотрим окружность с единичным радиусом. Далее рассмотрим четыре четверти окружности и решим несколько примеров на нахождение длины дуги единичной окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:

Видео:Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Длина дуги окружности по координатам точекОсновные определения и свойства. Число π
Длина дуги окружности по координатам точекФормулы для площади круга и его частей
Длина дуги окружности по координатам точекФормулы для длины окружности и ее дуг
Длина дуги окружности по координатам точекПлощадь круга
Длина дуги окружности по координатам точекДлина окружности
Длина дуги окружности по координатам точекДлина дуги
Длина дуги окружности по координатам точекПлощадь сектора
Длина дуги окружности по координатам точекПлощадь сегмента

Длина дуги окружности по координатам точек

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Основные определения и свойства

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьДлина дуги окружности по координатам точек

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаДлина дуги окружности по координатам точек

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругДлина дуги окружности по координатам точек

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторДлина дуги окружности по координатам точек

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментДлина дуги окружности по координатам точек

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникДлина дуги окружности по координатам точек

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Длина дуги окружности по координатам точек

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность
Длина дуги окружности по координатам точек

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаДлина дуги окружности по координатам точек

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругДлина дуги окружности по координатам точек

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторДлина дуги окружности по координатам точек

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментДлина дуги окружности по координатам точек

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникДлина дуги окружности по координатам точек

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Длина дуги окружности по координатам точек

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Длина дуги окружности по координатам точек

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Формулы для площади круга и его частей

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаДлина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораДлина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаДлина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга
Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораДлина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаДлина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Формулы для длины окружности и её дуг

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиДлина дуги окружности по координатам точек

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиДлина дуги окружности по координатам точек

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности
Длина дуги окружности по координатам точек

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиДлина дуги окружности по координатам точек

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности по координатам точек,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Точки на числовой окружности

Длина окружности

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Длина дуги окружности по координатам точек

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина дуги окружности по координатам точек

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности по координатам точек

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности по координатам точек

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности по координатам точек

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности по координатам точек

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина дуги окружности по координатам точек

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности по координатам точек

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности по координатам точек

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности по координатам точек

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности по координатам точек

Видео:9 Длина дуги числовой окружностиСкачать

9  Длина дуги числовой окружности

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина дуги окружности по координатам точек

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Как найти длину дуги зная координаты 2ух точек на окружности?

В процессе разработки 2d игры на юнити, я столкнулся с проблемой — как определить кратчайшие расстояние от позиции объекта1 до объекта2 (каждая из позиций лежит на окружности), учитывая что объект1 движется по окружности.

Простыми словами вопрос звучит так: как определить длину дуги между точками A и B, зная координаты этих точек на окружности и радиус окружности? Для удобства можно считать что центр окружности в точке (0; 0), это не принципиально

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

Вычисление длины дуги

Формула для вычисления длины дуги кривой заданной уравнением у=f(x) в прямоугольной системе координат:

Длина дуги окружности по координатам точек

a — начала дуги по оси OX;

b — конец дуги по оси OX a

Если плоская кривая задана уравнением x=g(y) то формула имеет вид:

Длина дуги окружности по координатам точек

c — начала дуги по оси OY;

d — конец дуги по оси OY a

Если кривая задана в полярных координатах r=r(φ), α≤φ≤β, то длина дуги вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности по координатам точек

Если кривая задана параметрическим уравнением вида x=x(t) и y=y(t), то длина дуги определяется по формуле

Длина дуги окружности по координатам точек

t2, t1 — значения параметров, которые соответствуют концам дуги t1

Найти длину дуги функции на промежутке от 0 до 1.

Длина дуги окружности по координатам точек

Найдем производную функции:

Длина дуги окружности по координатам точек

Возведём в квадрат функцию:

Подставляя в формулу, найдем длину дуги:

Длина дуги окружности по координатам точек

Найти длину дуги окружности от точки $left( right)$ до точки $left( right)$. Уравнение окружности задано в параметрическом виде.

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Найдем параметр t в точках M1 и M2, решим системы уравнений.

Длина дуги окружности по координатам точек

Здесь t1=0

Длина дуги окружности по координатам точек

Подставляя в формулу, найдем длину дуги окружности.

Длина дуги окружности по координатам точек

Вычислить длину дуги одного лепестка циклоиды. Уравнение циклоиды задано параметрическим уравнением.

Длина дуги окружности по координатам точек

Продифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды:

Длина дуги окружности по координатам точек

Длина дуги окружности по координатам точек

Подставляя в формулу, получаем

Длина дуги окружности по координатам точек

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

One comment

Была бы оценка 5, если бы не дурак, который не от большого ума изукрасил весь текст, особенно формулы и ответы, серыми узорами! Сколько времени и усилий ушло на расшифровку ответов! Так что 3,5 балла — это ещё слишком много! Так и передайте идеологу этой мазни!

💥 Видео

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности
Поделиться или сохранить к себе: