Динамика материальной точки по окружности

Умение описывать движение по окружности является важным для проведения расчетов технических характеристик вращающихся валов и шестерен. Этот вид движения также встречается в быту и природе, например вращение планет вокруг Солнца и фигуристов во время выступления на спортивных соревнованиях. В данной статье рассмотрим, как с точки зрения физики можно описать этот вид движения.

Видео:Динамика равноускоренного движения материальной точки по окружности. Видеоурок 55. Физика 10 классСкачать

Динамика вращения

Движение по окружности — это вращение некоторого тела или материальной точки вокруг оси. Чтобы тело начало вращаться, необходимо наличие внешнего момента сил, действующего на рассматриваемую систему. Этот момент определяется по формуле:

Здесь F — сила, d — длина рычага (расстояние между осью и точкой приложения силы). Момент силы является величиной векторной. Приведенная формула используется для расчета модуля M.

Действие момента M отражается на системе в виде появления углового ускорения. То есть система начинает вращаться. Главная формула движения по окружности записывается в виде:

Здесь I — момент инерции, α — ускорение угловое. Обе величины имеют свои аналоги для линейного случая. Если с аналогом величины α все понятно, то для момента инерции I необходимо пояснить. Величина I отражает инерционные свойства вращающейся системы. То есть при вращении она играет такую же роль, как обычная масса тела.

Отметим, что приведенное выражение является аналогом второго закона Ньютона для вращения.

Видео:Методика решения задач по динамике материальной точки. Часть 1Скачать

Центростремительная и центробежная силы, ускорение

Процесс вращения предполагает наличие некоторой внутренней силы, которая бы обеспечивала криволинейное движение тела. Эта сила называется центростремительной. Согласно названию, она направлена всегда от тела к оси вращения. Поскольку длина рычага d для нее равна нулю, то к возникновению углового ускорения α она не приводит. Тем не менее она изменяет вектор линейной скорости, то есть создает ускорение.

Ускорение при движении по окружности без изменения модуля линейной скорости называется центростремительным. Оно вычисляется по формуле:

Где v — линейная скорость материальной точки, вращающейся на расстоянии r от оси.

Помимо центростремительной, можно часто услышать и о центробежной силе. Последняя стремится вывести тело из круговой траектории на прямолинейную. Причиной ее появления являются инерционные свойства вращающейся системы.

При движении по окружности центростремительная и центробежная силы по модулю равны друг другу, а по направлению они противоположны.

Видео:Движение материальной точки по окружности | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Кинематические уравнения вращения

Движение по окружности, как и по прямой линии, может быть равномерным или происходить с ускорением. В первом случае справедлива формула:

То есть центральный угол θ, на который повернется тело за время t, прямо пропорционален угловой скорости ω. Угол θ выражается в радианах, а скорость ω — в радианах в секунду.

Если действует постоянный внешний момент сил на систему, то движение по окружности происходит с некоторым постоянным ускорением α. В таком случае будет справедливо следующее кинематическое выражение:

Если система сначала вращалась с некоторой скоростью ω_0, а затем стала увеличивать частоту своего вращения с ускорением α, то, начиная с момента времени t, когда появилось ускорение, будет справедлива формула:

Заметим, что это выражение является линейной комбинацией двух предыдущих.

Видео:Якута А. А. - Механика - Динамика материальной точкиСкачать

Связь линейных и угловых кинематических характеристик

Выше была приведена формула для центростремительного ускорения, записанная через линейную скорость v. Однако эту формулу можно записать также через соответствующую угловую характеристику ω.

Предположим, что вращающееся тело совершило один оборот по окружности за время t. Тогда для линейной и угловой скоростей можно записать:

Откуда видно, что модуль линейной скорости v в r раз больше модуля величины ω, то есть:

Это равенство связывает угловую и линейную скорости. Используя его, можно записать формулу для a_c через ω:

Теперь вычислим в формуле со скоростями производную по времени для левой и правой частей равенства, получим:

Это равенство связывает направленное по касательной к окружности линейное ускорение a и его угловой аналог α.

Нетрудно доказать, что центральный угол поворота θ при движении по окружности связан с длиной ее дуги L, следующим выражением:

Здесь, если θ будет равен 2*pi радиан (полный оборот), мы получим длину окружности L.

Видео:Динамика равномерного движения материальной точки по окружности. Видеоурок 11. Физика 9 классСкачать

Решение задачи на определение центростремительной силы

Известно, что к веревке длиной 1 метр привязали камень массой 0,5 кг и стали его вращать с угловой частотой 3 об/с. Необходимо найти силу натяжения веревки F_c.

Сила натяжения F_c является центростремительной. Ее можно вычислить по формуле:

Масса камня m известна. Центростремительное ускорение a_c можно рассчитать из знания угловой скорости ω. С заданной в задаче частотой f величина ω связана выражением:

Тогда центростремительное ускорение будет рассчитываться так:

Искомая сила F_c будет равна:

Если из условия задачи подставить данные в эту формулу, то получится значение силы F_c, приблизительно равное 177,5 Н.

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Динамика движения материальной точки по окружности.

Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса.

Динамика движения материальной точки по окружности.

При движении по окружности радиуса R ускорение материальной точки равно , где нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения рассчитывается по формулам и , w – угловая скорость материальной точки. Если ввести понятие углового ускорения , то тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением формулой

. (4.11.1)

Запишем второй закон Ньютона для описания движения материальной точки по окружности: . В проекциях на оси, направленные к центру окружности и по касательной к ней, имеем

, (4.11.2)

, (4.11.3)

где (см. рис. 4.11.1).

Из выражении (4.11.1) и (4.11.3) следует

. (4.11.4)

Умножим (4.11.4) на R, тогда получим

. (4.11.5)

Назовем моментом силы M произведение тангенциальной составляющей силы на радиус.

. (4.11.6)

Из рисунка 4.11.1 можно получить другую формулу для момента силы. Т.к. , а , то

. (4.11.7)

Плечом силы d называется расстояние между центром вращения и линией действия силы.

Формула (4.11.7) позволяет дать другое определение момента силы.

Моментом силы называется произведение силы на плечо.

Моментом инерции материальной точки J называется произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до центра вращения.

. (4.11.8)

Момент инерции является мерой инертности материальной точки при движении ее по окружности. Это можно объяснить на таком примере. Как известно, камень на длинной веревке, раскрутить труднее, чем на короткой. Момент инерции камня на длинной веревке больше, чем на короткой.

Пользуясь определениями момента силы (4.11.6) и момента инерции материальной точки (4.11.8), запишем выражение (4.11.5) в виде

, (4.11.9)

которое называется основным уравнением динамики вращательного движения материальной точки.

Замечание. О знаке момента силы. Так как сила – вектор, который может увеличивать или уменьшать угловую скорость вращения, то момент силы должен это учитывать. Будем считать положительным направлением движения материальной точки – ее движение против часовой стрелки. Тогда M > 0, если сила увеличивает скорость обращения точки в направлении против часовой стрелки, и M

, Þ . Т.к. J = const, то Þ .

Физическая величина (4.11.11)

называется моментом импульса (моментом количества движения).

Пользуясь введенной выше величиной момента импульса, основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки можно записать в виде:

. (4.11.12)

Для системы материальных точек основное уравнение динамики вращательного движения системы материальных точек имеет вид:

, (4.11.13)

где – полный момент импульса системы, — сумма механических моментов внешних сил.

В замкнутой системе , Þ L = const, т.е. выполняется закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной оси сохраняется

= const. (4.11.14)

Рассмотрим следующий пример проявления закона сохранения момента импульса. Балерина или фигуристка, делая повороты вокруг своей оси, чтобы увеличить скорость вращения, распрямляет руки вдоль тела, т.е. уменьшает свой момент инерции, увеличивая тем самым свою угловую скорость: .

Замечание. Момент импульса также сохраняется, если на систему действуют центральные силы (например, сила тяготения).

Видео:Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Вращательное движение тела в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Вращательное движение тела:

До сих пор мы изучали прямолинейное движение тел, хотя в природе и технике часто совершаются более сложные движения тел — криволинейные, когда траекторией тела является кривая линия. Любую кривую линию всегда можно представить как совокупность дуг окружностей разных радиусов (рис. 18).

Поэтому, изучив движение материальной точки по окружности, сможем в дальнейшем изучать и любые другие криволинейные движения. Кроме того, из всех возможных криволинейных движений в технике широко применяется вращательное движение деталей машин и механизмов, например вращение шестерён машин и станков, деталей, обрабатываемых на токарных станках, валов двигателей, колес машин, фрез, свёрл и т. п. Любая точка этих деталей движется по окружности. Эти две особенности и обусловили обязательное изучение движения по окружности, а именно — равномерное движение тела по окружности.

Движение материальной точки по круговой траектории с постоянной по значению, но изменяющейся по направлению скоростью, называют равномерным движением по окружности.

Предположим, что тело равномерно движется по окружности из точки А в точку В (рис. 19). Тогда пройденный им путь — это длина дуги

где — скорость движения тела по окружности; — пройденный телом путь (длина дуги); — время движения тела.

Направление скорости проще всего определить на опыте.

Опыт:

К вращающемуся точильному кругу, прикоснемся железным стержнем. Увидим, что искры из-под стержня летят по касательной к окружности этого круга (рис. 20).

Результат будет таким же в любой точке этого круга. Но каждая искра — это раскалённая частичка, оторвавшаяся от круга и летящая с такой же скоростью, какую она имела в последний момент движения вместе с кругом.

Итак, скорость материальной точки при движении по окружности направлена по касательной к ней в любой точке круга (рис. 21), а с учётом представления кривой на рисунке 18 этот вывод можно распространить на любые криволинейные движения (рис. 22).

Опыт:

Закрепим на горизонтальной оси О фанерный диск (рис. 23), на котором проведен радиус ОА. Напротив точки А поставим указатель В и будем медленно и равномерно вращать диск. Увидим, что точка А с каждым оборотом диска снова появляется напротив указателя В, т. е. совершает движение, повторяющееся через определенный интервал времени.

Движения, при которых определенные положения материальной точки повторяются через одинаковые интервалы времени, называют периодическими движениями.

Равномерное движение по окружности — это периодическое движение. Периодическое движение характеризуют такими величинами, как период обращения и частота обращения.

Период обращения — это интервал времени, в течение которого материальная точка совершает один оборот при равномерном движении по окружности.

Обозначается период обращения большой латинской буквой Т.

Если за время материальная точка при равномерном движении по окружности совершает N оборотов, то период обращения определяется формулой:

Единицей периода обращения в СИ является одна секунда (1 с).

Если период обращения равняется 1 с, то материальная точка при равномерном движении по окружности осуществляет один оборот за 1 с.

Частота обращения определяется числом оборотов, которое материальная точка совершает за единицу времени при равномерном движении по окружности

Обозначается частота обращения малой латинской буквой .

* В научной и учебной литературе частоту обращения еще обозначают малой греческой буквой (ню).

Если за время материальная точка совершила N оборотов, то, чтобы определить частоту обращения , нужно N поделить на , т. е.:
а так как = ТN , то .
Из последней формулы видно, что частота обращения и период обращения связаны обратно пропорциональной зависимостью, а для определения единицы частоты обращения нужно единицу разделить на единицу периода обращения, т. е. на секунду.

Единицей частоты обращения в СИ является единица, разделённая на секунду . это частота обращения, при котором за 1 с материальная точка совершает 1 полный оборот, двигаясь равномерно по окружности. В технике такую единицу иногда называют одним оборотом в секунду , часто применяют также единицу один оборот в минуту .

Видео:Лекция №1 "Кинематика материальной точки" (Булыгин В.С.)Скачать

Движение точки по окружности

Движения, происходящие в природе и технике, могут отличаться по изменению значения скоростей и по изменению направления скоростей. Так, например, при движении точки вдоль прямой линии в одном направлении направление скорости не меняется, хотя ее значение может быть различным. В этом случае движение считается неравномерным.

Но движения могут быть и криволинейными, например, точки могут двигаться по окружностям. На рисунке 18 изображена траектория движения точек нити или ленты между круглыми барабанами. Такие траектории можно представить в виде отрезков прямых линий и окружностей разных размеров. Понятно, что такие движения могут быть и равномерными, каждая точка все время будет иметь одинаковую скорость по значению, хотя направление скорости от точки к точке траектории может меняться.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности, когда это движение равномерно, т. е. значение скорости остается постоянным (рис. 19). Точка, двигаясь по окружности радиуса R, за определенное время переходит из точки А в точку В. При этом отрезок OA поворачивается на угол — угловое перемещение точки. Такое движение можно характеризовать угловой скоростью:

где (греческая буква «омега») — угловая скорость; (греческая буква «фи») — угловое перемещение.

Угловое перемещение определяется в радианах (рад.). 1 радиан — это такое перемещение, когда траектория движения точки — длина дуги окружности АВ — равна длине радиуса R.

Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

1 рад/с равен угловой скорости такого равномерного движения по окружности, при котором за 1 с осуществляется угловое перемещение 1 рад.

При определении угловой скорости слово «рад» обычно не пишут, а просто обозначают 1/с (имеется в виду рад/с).

Движение точки по окружности (и вращение твердого тела) характеризуют также такие величины, как период и частота вращения.

Период вращения (Т) — это время, на протяжении которого точка (тело) совершает один полный оборот по окружности. Период вращения:

где t — время вращения, N — количество выполненных оборотов.

Период вращения Т измеряется в секундах. Период равен 1 с, если точка (тело) осуществляет один оборот в секунду. Частота вращения (вращательная частота):

где N — количество совершенных оборотов за время t .

Частота вращения измеряется в оборотах за секунду (об/с).

Частота вращения определяет количество оборотов точки (тела) вокруг центра (оси вращения) за 1 с.

Еще Архимед установил, что для всех окружностей любого радиуса отношение длины окружности к его диаметру является величиной постоянной. это число обозначили греческой буквой («пи»).

Таким образом, длина окружности

За один оборот материальная точка осуществляет угловое перемещение 2 рад.

Движение по окружности характеризуется привычным для нас понятием скорости как пути, который проходит точка за единицу времени. В данном случае эта скорость называется линейной. Если учитывать, что за один оборот (время Т) точка проходит путь то линейная скорость равномерного движения точки по окружности или

Вращение твердого тела

Твердые тела состоят из большого количества частичек. Абсолютно твердыми наукой считаются тела, расстояние между точками которых не изменяется во время явлений, которые с ними происходят. Однако следует иметь в виду, что абсолютно твердых тел в природе нет.

Как упоминалось в § 3, движения твердых тел бывают поступательные и вращательные. Твердые тела могут вращаться вокруг любых осей, в том числе и тех, которые проходят через их центры.

В случае а (рис. 20) ось вращения проходит через центр шара (например, вращаются колеса транспортных средств или Земля в своем суточном вращении вокруг оси). В случае в ось проходит через край шара. В случае в шар находится на определенном расстоянии от оси (например, Земля движется вокруг Солнца или Луна вокруг Земли). В некоторых случаях даже Землю и Луну можно считать материальными точками, а в некоторых случаях это сделать невозможно. Подумайте, в каких?

Что же является наиболее характерным для вращательного движения твердых тел? Очевидно, что при этом все точки этих тел в своем движении описывают окружности, центры которых находятся на осях вращения.

Понятно также, что разные точки тел за одно и то же время проходят по своим траекториям разные расстояния — чем дальше от оси вращения лежат точки, тем больше эти расстояния. Но за одно и то же время угловое перемещение всех точек одинаково. Следовательно, и угловая скорость для всех точек данного тела также будет одинаковой.

Для характеристики вращательного движения твердых тел используют такие же понятия, что и для движения точки по окружности: период вращения Т — время одного полного вращения; вращательная частота (частота вращения) — количество полных вращений за единицу времени; угловая скорость со. Кроме основной единицы частоты вращения об/с, используют об/мин, об/ч и т. п.

Период вращения Земли вокруг- Солнца равен в среднем 365 суток, а период вращения Луны вокруг Земли в среднем 28 суток. Изучая физику, астрономию, вы узнаете, что небесные тела, например планеты Солнечной системы, движутся не по окружностям, а по так называемым эллипсам.

Динамика вращательного движения

При просмотре фильмов-боевиков вы могли наблюдать, что при резком вращении руля автомобиля машина опрокидывается. В цирке мотоциклисты катаются по поверхности стен.
Проведем такой опыт. Нальем воду в ведро и раскрутим его в вертикальной плоскости. При определенной скорости вращения вода не выливается из ведра.

Из приведенных выше примеров можно сделать заключение, что существует сила, которая опрокинет машину при резком повороте, удержит мотоциклиста на стене и не даст вылиться воде из ведра при вращении.
Откуда появляется эта сила? От чего зависит ее величина?
Для этого вспомним о возникновении центростремительной силы в теле при равномерном вращательном движении:

По третьему закону Ньютона:

и при вращении появляется также центробежная сила.
Вот эта центробежная сила опрокинет резко разворачивающуюся машину, удержит воду в ведре при вращении и т.д.

На рисунке 4.12 показаны силы, действующие на тело, которое совершает вращательные движения по кругу радиусом . В точке 1, из-за того что центробежная сила направлена противоположно силе тяжести , вес тела уменьшается:

В точке 3 сила тяжести тела и центробежная сила направлены вниз, т.е. в одном направлении. В этом случае вес тела растет:

Центробежную силу нужно учитывать при вращении тела и в случаях поворота в ходе движения.
Кроме того, на поворотах дороги под воздействием центробежной силы наблюдается отклонение тела от вертикального положения. Чтобы это не приводило к авариям, велосипедисты или мотоциклисты должны двигаться с небольшим уклоном в сторону от центра вращения (рис. 4.13а).
Для уравновешивания этой силы специально для автомобилей на поворотах строят участки дороги с уклоном с одной стороны (рис. 4.13б). Для трамваев и поездов рельсы на поворотах дороги с внешней стороны круга делаются чуть выше.

Пример

При движении по кругу тело опускается вниз. При каком радиусе круга тело не упадет с точки . Скорость тела в точке равна 30 м/с.
Дано:

Чтобы тело не упало из точки должно выполняться следующее условие:

Ответ: 90 м.

Кинематика вращательного движения

При криволинейном движении материальной точки ее мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке.
Движение тела (МТ) по окружности является частным случаем криволинейного движения по траектории, лежащей в одной плоскости.

Одним из простейших и широко распространенных видов такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Это такое движение, при котором тело (МТ) за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги. Подчеркнем, что при подобном движении скорость точки постоянно меняет свое направление.

Для описания движения по окружности используется ряд физических величин. Рассмотрим некоторые из них.

Удобным параметром для определения положения материальной точки М, совершающей движение по окружности радиусом R с центром в начале координат, является угол поворота (рис. 25)

радиус-вектора точки М. Он отсчитывается от оси Ох против хода часовой стрелки и связан с декартовыми координатами соотношениями:

По теореме Пифагора можно найти, что координаты х и у материальной точки в декартовой системе координат удовлетворяют соотношению

Скорость с которой материальная точка движется по окружности, называется линейной скоростью (рис. 26).

Проходимый точкой путь s (длина дуги окружности) равен, как и для всякого равномерного движения, произведению модуля скорости v и промежутка времени движения

Модуль угловой скорости — это отношение угла поворота к промежутку времени за который этот поворот произошел:

Угловая скорость со является величиной векторной. Она направлена вдоль оси вращения материальной точки, и ее направление определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения конца буравчика, рукоятка которого вращается в том же направлении, что и тело (рис. 27).

Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью v угловая скорость является величиной постоянной и ее модуль равен отношению угла поворота к промежутку времени за который этот поворот произошел:

Здесь n — частота вращения — физическая величина, численно равная числу оборотов N материальной точки в единицу времени:

Единица частоты вращения в СИ — секунда в минус первой степени Время совершения одного оборота называется периодом вращения Т.

В СИ период измеряется в секундах (1с).

При совершении полного оборота период определяется по формуле

Модуль постоянной линейной скорости тела (МТ), движущегося по окружности, вычисляется по формуле

Проекции скорости (см. рис. 25) с течением времени изменяются по закону

Модуль угловой скорости определяется соотношением

Следовательно, соотношение между модулями линейной и угловой скорости имеет вид

Поскольку (докажите самостоятельно), где — угол поворота радиус-вектора в момент начала движения, то кинематический закон движения МТ но окружности имеет вид

При движении МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью ее направление непрерывно изменяется и, следовательно, движение МТ происходит с ускорением, которое называется центростремительным или нормальным Ускорение направлено по радиусу к центру окружности и характеризует быстроту изменения направления скорости с течением (см. рис. 26). Его модуль определяется формулой

Нормальное ускорение в любой момент времени перпендикулярно скорости

Как и при прямолинейном равноускоренном движении, ускорение называемое тангенциальным (касательным), совпадает с направлением скорости или направлено противоположно ей и поэтому изменяет только модуль скорости. Следовательно, при движении по окружности с непостоянной по модулю скоростью (например, математический маятник) или при любом криволинейном движении полное ускорение можно представить в виде векторной суммы нормального ускорения и тангенциального ускорения направленного по касательной к окружности в данной точке (рис. 28):

Полное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории (см. рис. 28).

Модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

где — нормальное ускорение, с которым точка двигалась бы по дуге
окружности радиусом r, заменяющей траекторию в окрестности рассматриваемой точки. Этот радиус r называют радиусом кривизны траектории.

• Равномерное движение материальной точки по окружности
• Колебательное движение
• Физический и математический маятники
• Пружинные и математические маятники
• Поступательное движение
• Равномерное и неравномерное движение
• Равномерное движение
• Неравномерное движение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности. Видеоурок 12. Физика 10 классСкачать

Динамика для ОГЭ и ЕГЭ по физикеСкачать

Как решать задачи по динамике материальной точки.Скачать

Динамика движения по окружности. Алгоритм решения задач.Скачать

Динамика точки. Законы Галилея-НьютонаСкачать

Лекция 03 Динамика материальной точкиСкачать

Динамика материальной точки. Движение точки по цилиндрической поверхностиСкачать

Урок 89. Движение по окружности (ч.1)Скачать

Методика решения задач по динамике материальной точки. Часть 2Скачать

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать