Динамическое программирование треугольник паскаля

Видео:#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов | Python для начинающихСкачать

Реализация треугольника Паскаля

Простейшая (и наименее эффективная) реализация треугольника Паскаля выполняется в виде рекурсивной процедуры PascalTriangle0. В ней нужно предусмотреть возврат 1 при условии (i = 0) OR (j = i), а также возврат i при (i = 1) OR (j = i-1). Эти условия определяют бедра треугольника и первые внутренние диагонали. В остальных случаях должно вычисляться выражение x:= PascalTriangle0(i-1,j-1) + PascalTriangle0(i-1,j). Оно определяет суммирование элементов, стоящих выше текущего. Неэффективность алгоритма связана с тем, что чем глубже мы будем спускаться внутрь треугольника, тем больше будет повторяться вычислений, сделанных уже на предыдущих шагах.

Другим вариантом реализации алгоритма может служить использование факториала для значений, не превышающих 12 (как мы уже отмечали выше, это связано с ограничением разрядной сетки). Эту реализацию разместим в процедуре с именем PascalTriangle1. Здесь при реализации факториала (но уже не в виде рекурсивной процедуры, а через импровизированный стек) мы добьемся куда лучших результатов: stack[0] := x; stack[1] := k; x := stack[0] * stack[1]; INC(k).

Наконец мы вплотную подошли к реализации основного решения, за которое будет отвечать процедура PascalTriangle2. Обратим внимание (рис.1) на ту особенность треугольника Паскаля, что он симметричный, следовательно, вычисления необходимо делать только для левой его половины. Далее заметим, что вычислять верхние две диагонали не нужно — одна состоит из единиц, а лежащая под ней из последовательности натуральных чисел. Чтобы сократить время вычислений, имеет смысл вырезать в треугольнике Паскаля значимый внутренний треугольник и построить процесс определения его элементов. Для этого нам понадобится ввести понятие сегмента (это половина строки исходного треугольника Паскаля без первых двух элементов). Воспользуемся идеей динамического программирования (этот термин активно используется в области оптимизации). Данный подход позволяет решать задачу, разбивая ее на подзадачи и объединяя их решения. Нам необходимо выявить набор значений (для строк от 0 до 31), которые мы вычислим заранее (при загрузке модуля), а недостающие при запросе будем вычислять отдельно. Этот «зарезервированный» набор будем хранить в одномерном массиве pas. Его размер (за это отвечает константа PasCOUNT) при общем количестве 32 строки треугольника вы можете посчитать самостоятельно.

Для адресации элементов треугольника будем использовать индексы i (номер строки) и j (номер элемента в строке), а для адресации элементов в сегментах — индексы s (номер сегмента) и t (номер элемента в сегменте). Первым элементом одномерного массива pas будет c(4,2). Соответственно связь между индексами выглядит так: i = s+3; j = t+2.

Обратим внимание на зависимости при формировании сегментов: они показаны на рис.2. Реализуем их через процедуру LoadPas (для преобразования индексов она использует процедуру Segment). Теперь осталось включить вызов процедуры LoadPas в инициализацию модуля (процедура On) и для вычисления элементов треугольника Паскаля написать простейшую процедуру PascalTriangle2, обеспечивающую обращение к элементам готового массива. Нам еще необходимо доделать каркас, и задача будет решена (листинг 6).

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Реализация архитектуры

Теперь, когда у нас каркас с базовыми алгоритмами решения нашей задачи почти готов, можно дополнить модуль Pascaline полезными командами вычисления чисел Фибоначчи (листинг 7) и простых чисел (листинг 8). Поскольку особенность алгоритма нахождения простых чисел связана с тем, что он вычисляет сразу целый набор чисел в заданном диапазоне, то для доступа к результатам мы можем вопользоваться таким полезным приемом, как реализация механизма итератора с помощью классов. Основная его идея (впервые, пожалуй, реализованная в языке CLU) состоит в том, чтобы объединить список и процедуры доступа к нему в специальный объект. В нашем случае класс итератора обладает тремя методами: Init, First и Next. Подобная реализация (листинг 9) удобна на уровне контроллера и внесена в модуль TriangleTF.

Для проверки эффективности наших альтернативных реализаций создадим модуль TriangleTst, процедуры которого будут запускаться после обработки командной строки процедурой TriangleTF.ExecCommand. В модуле TriangleTst сформируем неоднородный список процедур (листинг 10) с альтернативными реализациями PascalTriangle и Fibonacci и, последовательно его обрабатывая, будем запускать процедуры с параметрами, полученными с помощью генератора случайных чисел. Попутно мы реализовали процедуры вычисления чисел Фибоначчи.

А теперь вернемся к нашей первой задаче об игре в камешки. Она носит название «фибоначчиев ним» и была предложена Р.Гаскелом и М.Виниганом (подробное доказательство см.[1], с.552). В одном ее названии уже таится ключ к разгадке. Да, это числа Фибоначчи.

Упростим условия задачи. Будем считать, что число камешков в кучке не 1000, а всего 20. Как мы помним, любое натуральное число можно представить в виде суммы несоседних чисел Фибоначчи единственным способом: 20 = 13 + 5 + 2 = F₇ + F₅ + F₃. Последнее слагаемое в таком разложении и показывает, сколько камешков для победы должен взять игрок, делающий первый ход. Если второй игрок, скажем, возьмет в ответ максимально возможное на этом ходу число камешков — 4, то первому играющему останется вновь разложить оставшиеся 14 камешков в сумму ряда Фибоначчи (14 = F₇ + F₂ = 13 + 1) и взять один камешек. Такая стратегия всегда будет приводить его к успеху. А вот если число камешков в кучке изначально совпадало бы с одним из чисел Фибоначчи, то победу одержал бы второй игрок (проверьте это сами). Теперь нам осталось выяснить, сколько же надо взять камешков первому игроку, когда общее их число составляет 1000. Разложим его в сумму ряда Фибоначчи: 1000 = F16 + F7 = 987 + 13. Итак, первому игроку для победы нужно взять 13 камешков. Попробуйте сами расширить модуль Pascaline, включив в него процедуру разложения любого натурального числа в ряд Фибоначчи.

Видео:Спортивное программирование 9М. Динамическое программирование. Треугольник ПаскаляСкачать

Красота — критерий правильности

Подведем итоги. Построение каркаса отняло у нас значительное время, однако позволило создать такую архитектуру, которая может легко наращиваться и при этом оставаться достаточно простой и прозрачной для понимания и поиска возможных ошибок. Реализация альтернативных вариантов алгоритмов сняла многие вопросы за счет проверки на практике их эффективности. К тому же они служили дополнительным контролем для более сложных в реализации, но зато и более эффективных алгоритмов. Не менее важно и то, что мы на конкретном проекте познакомились с механизмами языков Оберон и Оберон-2, поддерживающих как концепцию ООП, так и концепцию модульного (компонентного) программирования. Модули стали главными строительными блоками, а классы ввиду их гибкости и расширяемости больше всего подошли для уровня контроллера (специального преобразователя), где требуется соединять разные виды представления данных и обеспечивать исполнение команд модельного слоя.

Профессор Роберт Флойд, автор одного из первых компиляторов языка Алгол-60, раскрывая секреты своей творческой лаборатории, заметил: «После того как поставленная задача решена, я повторно решаю ее с самого начала, прослеживая и повторяя только суть предыдущего решения. Я проделываю эту процедуру до тех пор, пока решение не становится настолько четким и ясным, насколько это для меня возможно. Затем я ищу общее правило решения аналогичных задач, которое заставило бы меня подходить к решению поставленной задачи наиболее эффективным способом с первого раза».

Вы, наверное, уже обратили внимание, что ряд Фибоначчи и треугольник Паскаля могут реализовываться через рекурсивные процедуры. Иными словами, их элементы подобны общему. В этом смысле они вполне подпадают под определение фрактала, предложенное Бенуа Мандельбротом (1987), который называл этим именем структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Кстати, относительно недавно в контуре канонического фрактала Мандельброта обнаружили «лепестки», в точности подчиняющиеся числам Фибоначчи.

Формируя каркас проекта и решая поставленные задачи, мы познакомились с одним из возможных стилей программирования. Разумеется, выбор автора был субъективен, и на практике вам придется самостоятельно выбирать стиль. Главное, чтобы он помогал строить понятные и эстетичные программы. Красота не только в математике служит критерием правильности. Если реализация алгоритмов на языке программирования выглядит понятно, органично и не вызывает отторжения, значит, у нее есть все шансы быть правильной.

1. Кнут Д. Искусство программирования, т.1. М.: Вильямс, 2000.
2. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
3. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир, 2000.
4. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Структуры данных и алгоритмы. М.: Вильямс, 2000.
5. Moessenboeck H. Object-Oriented Programming in Oberon-2. Springer, 1993.
6. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2001.

Видео:Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома НьютонаСкачать

Оберон/Оберон-2 и Object Pascal. Десять важных отличий

1. Имена идентификаторов. Ключевые и зарезервированные идентификаторы записываются заглавными буквами (при просмотре текста это сразу бросается в глаза и как бы задает каркас программы). Идентификаторы чувствительны к регистру. Поэтому очень удобно переменную записывать со строчной буквы, а тип с заглавной, например, map: Map.

2. Составные операторы. Отсутствие лишних скобок begin-end. Для составных операторов требуется только завершающая скобка END: начало определяется самим оператором. Связка BEGIN-END используется лишь для задания границ процедур и модулей (в теле инициализации). При этом после END обязательно указывается имя процедуры/модуля. В операторе IF применяется ступенчатая схема IF-ELSIF-ELSE, сокращающая избыточную вложенность.

3. Операторы безусловного перехода. Отсутствие оператора goto и его меток. В случае необходимости оператор goto можно легко моделировать с помощью универсального цикла LOOP (с выходом из него по оператору EXIT). Кроме того, имеется оператор HALT, принудительно останавливающий выполнение программы.

4. Типы данных. Числовые типы задают иерархию, учитываемую при совместимости типов: LONGREAL і REAL і LONGINT і INTEGER і SHORTINT. Больший тип поглощает меньший. Для работы со строками используются массивы литер: ARRAY OF CHAR. Признаком завершения строки является литера с кодом 0X (до X указывается шестнадцатизначное значение кода). Все операции над строками, кроме стандартной процедуры COPY, вынесены в библиотечные модули.

5. Конструкторы типов. Вся индексация массивов ведется с 0: при его описании задается размер, а не диапазон индексов. В качестве типа для формальных параметров процедур и базового типа для указателей могут использоваться открытые массивы. Отсутствие типа «перечисление». Отсутствие вариантных записей. Тип «множество» (SET) задает только набор целых чисел 0..MAX(SET), зависящий от платформы.

6. Экспорт-импорт идентификаторов. Области видимости идентификаторов определяются не блоками, а границами модулей и процедур. Вместо конструкций unit, interface, uses, отвечающих в Object Pascal за экспорт-импорт идентификаторов в Обероне/Обероне-2 используется единая конструкция модуля (MODULE с оператором IMPORT, регламентирующим список импортируемых модулей). Экспорт в Обероне-2 избирательный: если после идентификатора ставится признак «*», то экспорт полный (поддерживается чтение и запись), если признак «-», то экспорт частичный (только чтение). Интерфейс модуля (DEFINITION) генерируется автоматически по заданным признакам экспорта и обеспечивает раздельную компиляцию. Имеется механизм локальной синонимизации имен модулей.

7. Обработка исключений. Отсутствие операторов обработки исключений. Используются только контрольные вставки ASSERT с указанием булевого выражения. Если оно ложно, то выполнение программы в данной точке будет остановлено.

8. Системное программирование. Средства низкоуровневого программирования (работа с байтами и битами, регистрами, адресами, обощенными указателями) заключены в псевдомодуле SYSTEM (в исполняющей системе языка) и его импорт сигнализирует о возможном появлении проблем переносимости при последующем использовании импортирующего модуля на других платформах.

9. Наследование. В Обероне/Обероне-2 используется понятие расширения типа. Расширению подвергается только тип «запись» (как универсальная конструкция). Это означает, что новый тип может создаваться с расширением полей своего предшественника (механизм наследования): новый тип «проецируется» на предшествующий.

10. Классы и объекты. Для объектно-ориентированного программирования в дополнение к расширению типа добавляются связанные процедуры (type-bound procedures), играющие роль методов классов/объектов. С их помощью и благодаря операторам IS и WITH (в Обероне/Обероне-2 это аналог оператора CASE для разных классов) обеспечивается полиморфизм. Классы в Обероне/Обероне-2 присутствуют не в явном виде, а через расширение типов и специальные процедуры—методы. Динамическое порождение объектов (с помощью NEW, с размещением в куче и последующей сборкой мусора) и понятие изменяемого динамического типа (а не вариантного типа, как в Object Pascal) обеспечиваются указателями в комбинации с расширением типа. Инкапсуляция реализуется механизмом экспорта-импорта модулей.

Видео:4.3 Треугольник Паскаля 1. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать

Числа Фибоначчи и «золотое сечение»

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 . — это знаменитая последовательность чисел Фибоначчи (F_n+2 = F_n + F_n+1). Она хорошо известна в связи с так называемой задачей о кроликах, которую в 1202 г. в работе «Liber Abaci» («Книга абака») представил великий европейский математик средневековья, итальянский купец Леонардо Фибоначчи (Пизанский). В соответствии с ее условиями каждая пара кроликов ежемесячно дает одну пару приплода, при этом она становится способной к размножению спустя месяц после появления на свет. Числа Фибоначчи дают ответ на вопрос, сколько пар кроликов будет всего через 1, 2, 3 и т.д. месяцев.

Леонардо Фибоначчи (1170—1250), будучи купцом, неоднократно путешествовал по странам Востока и в своей книге использовал труды арабских математиков (аль-Хорезми, Абу Камила и др.). Числа Фибоначчи были известны еще индийским ученым, которые анализировали ритмику стихосложения. Имя итальянца было увековечено в названии последовательности этих чисел с легкой руки французского математика Эдуарда Люка, доказавшего благодаря их удивительным свойствам, что число 2 127 –1 является простым.

Если посмотреть на отношение соседних чисел Фибоначчи, то можно заметить, что оно стремится к числу 6=(1+5 1/2 )/ 2 = 1,61803398874989484820. Наиболее замечательное свойствo ряда Фибоначчи состоит в том, что отношение двух последовательных членов ряда попеременно то больше, то меньше «золотого сечения». Соответственно, 6 n-2 Fn n-1. Евклид называл число 6 отношением крайнего и среднего (пропорции при делении отрезка). И по сей день многие архитекторы, скульпторы, художники, писатели, поэты считают «золотое сечение» наиболее эстетичным.

«Золотое сечение» было известно архитекторам эпохи Возрождения, но они применяли его сравнительно редко. Лука Пачоли называл «золотое сечение» божественной пропорцией. Термин «золотое сечение» возник в Германии в первой половине XIX в. В XX в. известный архитектор Ле Корбюзье изобрел модулер — систему двух шкал, обеспечивающую соблюдение архитектурных пропорций и повторение однотипных форм. Деления голубой шкалы вдвое крупнее делений красной шкалы, которая основана на числах Фибоначчи (т. е. на «золотом сечении»).

Одно из интересных свойств чисел Фибоначчи было открыто в начале XVII в. Й.Кеплером: F_n+1x F_n-1 – F 2 _n = (–1) n . Числа Фибоначчи могут вычисляться не только рекурсивно. В начале XVIII в. Бине вывел следующую формулу: Fn = ((1+5 1/2 ) n+1 – (1–5 1/2 ) n +1) / (2 n+1 x5 1/2 ). Как мы уже отмечали, числа Фибоначчи имеют прямую связь с треугольником Паскаля: Fn = Σ n _k=0 C_k n-k . Хорошо известна теорема Люка, в соответствии с которой некоторое целое число делит Fm и Fn тогда и только тогда, когда оно является делителем Fd, где d = gcd(m,n), т. е. d — наибольший общий делитель m и n. В частности, gcd(Fm,Fn) = F_gcd(m,n) .

Другие интересные свойства чисел Фибоначчи:

1. Если n не является простым числом, то и Fn не является простым.
2. Σ n _k=0 F_k = F_n+2 – 1.
3. F 2 _n + F 2 _n+1 = F 2 _2n+1.
4. F2_n — F2_n-1 = F_n-2 x F_n+1.
5. Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Две последние цифры образуют периодическую последовательность с периодом, равным 300. Для трех последних цифр период равен 1500, для четырех — 15 000, для пяти — 150 000.
6. Делители чисел Фибоначчи сами образуют ряд Фибоначчи (каждое третье число делится на 2, каждое четвертое на 3, каждое пятое на 5, каждое шестое на 8 и т.д.).
7. Каждое число Фибоначчи, которое является простым (кроме F₄ = 3), имеет простой индекс. Обратное утверждение неверно.

Интересен и тот факт, что с помощью суммы чисел Фибоначчи можно представлять любое натуральное число. Так что подобно двоичной системе счисления может использоваться и система счисления Фибоначчи. Она также записывается в виде последовательности 0 и 1 (стоящих на местах соответствующих чисел Фибоначчи). Таких представлений может быть несколько, но если мы примем правило, согласно которому рядом не могут находиться две единицы (их можно обнулить и перенести в старший разряд), то представление будет единственным.

Ряд Фибоначчи привлекал внимание математиков своей загадочной особенностью возникать в самых неожиданных местах. Числа Фибоначчи эффективно применяются при распределении памяти, при сортировке и обработке информации, генерировании случайных чисел, в методах оптимизации, позволяющих находить приближенные значения максимумов и минимумов сложных функций.

Видео:Динамическое программирование — это просто | Скринкасты | Академия данных MADE | #1Скачать

Информатики

Видео:Треугольник Паскаля алгоритмСкачать

1. Идея метода динамического программирования

Динамическое программирование является одним из методов решения задач, в которых задачу большой размерности можно решать, опираясь на уже решенные задачи меньшего размера.

Словосочетание «динамическое программирование» впервые было использовано в 1940-х годах Р. Беллманом для описания процесса нахождения решения задачи, где ответ на одну задачу может быть получен только после решения задачи, «предшествующей» ей.

Динамическое программирование может быть применено при выполнении следующих условий:

1) Существует способ выразить решение задачи через решение подзадач меньшей размерности. Этот способ задается рекуррентными соотношениями.

2) Существуют известные решения для задачи малой размерности (задача малой размерности решается просто).

Динамическое программирование вычисляет решение для всех подзадач. Вычисление идет от малых подзадач к большим. Решения подзадач запоминаются в таблице. Мы заполняем эту таблицу независимо от того, нужна ли нам на самом деле конкретная подзадача для получения общего решения.

Преимущество метода состоит в том, что раз уж задача решена, ее ответ хранится и никогда не вычисляется заново.

Можно выделить два класса задач, решаемых методом динамического программирования.

Задачи из первого класса связаны с вычислением сумм или произведений в зависимости от постановки задачи.

Ко второму классу относятся оптимизационные задачи, для которых может быть сформулирован принцип оптимальности; суть принципа оптимальности состоит в том, что решения подзадач, используемые для нахождения оптимального решения задачи, также должны быть оптимальными.

Мы рассмотрим на примерах использование метода динамического программирования для задач из обоих классов.

Видео:Задача о рюкзаке. Динамическое программирование.Скачать

2. Рекуррентные соотношения

Приведем два примера задач, для которых можно записать такие рекуррентные соотношения.

Задача о числах Фибоначчи.

Задача состоит в вычислении N-ого числа в последовательности Фибоначчи 0, 1, 2, 3, 5, 8, . , в которой первое число равно нулю, второе равно единице, а все остальные представляют собой сумму двух предыдущих чисел.

Обозначим F_i число Фибоначчи, стоящее на i-м месте в последовательности (считаем 0 нулевым членом последовательности). Последовательность чисел Фибоначчи определяется рекуррентным соотношением

Задача о числе сочетаний.

Для n-элементного множества сочетанием из n элементов по k называется произвольное подмножество из k элементов. Например, для множества B=<a,b,c,d> его подмножество <b,d> – это сочетание из 4-х элементов по 2.

Обозначение применяется для числа всех сочетаний из n элементов по k. Так, для множества B множество всех двухэлементных подмножеств равно <<a,b>, <a,c>, <a,d>, <b,c>, <b,d>, <c,d>> и, следовательно,

Величины называются также биномиальными коэффициентами.

Известно рекуррентное соотношение для вычисления :

позволяющее вычислять значение по значениям для числа сочетаний при меньших значениях параметров n и k.

Заметим, что – быстро растущая функция, поэтому для вычислений по этой формуле нужна арифметика «больших чисел».

Видео:Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

3. Динамическое программирование в задачах на поиск суммы

3.1. Числа Фибоначчи

Формула (1) задает рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи, позволяющее решать задачу нахождения n-го числа Фибоначчи методом динамического программирования.

Вычисление начинается с задания значений для первых двух чисел Фибоначчи: F₀ =0, F₁ =1. Таким образом, нам известны решения для самых маленьких подзадач. Далее по F₀ и F₁ мы вычисляем F₂ , складывая F₀ и F₁, и запоминаем в таблице, по F₁ и F₂ находим F₃ и его значение запоминаем в таблице, и т.д., до тех пор, пока не найдем n-е число Фибоначчи.

Для хранения вычисляемых чисел Фибоначчи будем использовать одномерный массив F; элемент F[i] содержит значение F_i.

Алгоритм на псевдокоде выглядит так:

begin

for i = 2 to n do F[i] = F[i-1]+F[i-2]

end

Число ячеек используемой памяти для вычисления F_n имеет порядок n. Поскольку время вычислений пропорционально числу используемых ячеек массива F, трудоемкость алгоритма оценивается как O(n).

Объем используемой памяти можно сократить, если заметить, что для вычисления очередного числа Фибоначчи используются только два предыдущих значения. Поэтому достаточно трех ячеек для запоминания чисел из последовательности Фибоначчи.

3.2. Треугольник Паскаля

Из формулы (2) вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов, который можно представить в графической форме, известной как треугольник Паскаля.

В этом равнобедренном треугольнике каждое число (кроме единиц на боковых сторонах) является суммой двух чисел, стоящих над ним. Число сочетаний находится в (n+1)-м ряду на (k+1)-м месте.

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

Рис. 1. Треугольник Паскаля

Чтобы найти значение , достаточно последовательно заполнить таблицу по строкам для n = 1, 2, … , пока не дойдем до нужных значений n и k.

Приведем описание на псевдокоде алгоритма вычисления числа сочетаний, в основе которого лежит метод динамического программирования. Алгоритм использует двумерный массив D, для элемента D[i, j] индекс i соответствует номеру строки таблицы в треугольнике Паскаля, индекс j – номеру столбца.

procedure БИНОМ_КОЭФ(n,k)

begin

for i=3 to n+1 do

begin

for j=2 to i-1 do

end

end

Таблица для треугольника Паскаля занимает O(n 2 ) ячеек памяти, но можно сократить ее до O(n), заметив, что для вычисления следующей строки нужна только предыдущая. Время работы алгоритма пропорционально числу заполненных клеток таблицы и имеет порядок n 2 .

Применение метода динамического программирования позволяет во многих случаях улучшить трудоемкость алгоритма за счет сокращения дублирования вычислений. К примеру, для вычисления используются ранее вычисленные значения и , для вычисления которых в свою очередь используется значение . Если бы мы не хранили в таблице результаты всех предыдущих вычислений, пришлось бы вычислять дважды.

Заметим, что уменьшение вычислительной сложности алгоритма достигается за счет увеличения объема используемой памяти.

Видео:Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

4. Динамическое программирование в оптимизационных задачах. Перекрытие подзадач

Метод динамического программирования может применяться для комбинаторных задач, в которых требуется найти оптимальное решение, то есть решение, дающее минимум (или максимум) некоторой целевой функции. Динамическое программирование применяется к решению таких задач, для которых может быть сформулирован принцип оптимальности, заключающийся в следующем:

Частичные решения, т.е. решения подзадач, из которых получается решение всей задачи, являются оптимальными решениями этих подзадач.

Применение принципа оптимальности к решению комбинаторных задач по существу означает использование принципа декомпозиции: вначале находятся оптимальные решения подзадач малого размера, затем они используются для отыскания оптимальных решений бóльших подзадач и, наконец, для решения самой задачи.

Второе свойство задач, необходимое для использования динамического программирования – малость множества подзадач. Благодаря этому при рекурсивном решении задачи мы все время выходим на одни и те же подзадачи. В таком случае говорят, что у оптимизационной задачи имеются перекрывающиеся подзадачи. В типичных случаях количество подзадач полиномиально зависит от размера исходных данных.

Алгоритмы, основанные на динамическом программировании, используют перекрытие подзадач следующим образом: каждая из подзадач решается только один раз, и ответ заносится в специальную таблицу; когда эта же подзадача встречается снова, программа не тратит время на ее решение, а берет готовый ответ из таблицы.

Продемонстрируем использование метода динамического программирования на примере задачи триангуляции выпуклого многоугольника.

4.1. Оптимальная триангуляция многоугольника

Прежде чем сформулировать задачу, введем некоторые определения.

Многоугольник – это замкнутая кривая на плоскости, составленная из отрезков, называемых сторонами многоугольника. Многоугольник называется выпуклым, если для любых двух точек, лежащих внутри или на границе многоугольника, соединяющий их отрезок целиком лежит внутри или на границе многоугольника. Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две вершины, не являющиеся соседними.

Выпуклый многоугольник можно задать, перечислив его вершины в порядке обхода по часовой стрелке. Будем считать, что многоугольник имеет n вершин v₁, v₂, … , v_n, заданных своими координатами на плоскости.

Под триангуляцией будем понимать набор непересекающихся диагоналей, которые разбивают многоугольник на треугольники. Триангуляцию можно также определить как наибольшее множество непересекающихся диагоналей.

Многоугольник может иметь несколько различных триангуляций, но все они состоят из n-3 диагоналей и разбивают многоугольник на n-2 треугольника. Примеры триангуляций семиугольника приведены на рис. 2.

Стоимость триангуляции определим как сумму длин диагоналей.

Задача о триангуляции многоугольника состоит в нахождении триангуляции с наименьшей стоимостью.

Видео:Несколько красивых свойств треугольника ПаскаляСкачать

Динамическое программирование. Классические задачи

Здравствуй, Хабрахабр. В настоящий момент я работаю над учебным пособием по олимпиадному программированию, один из параграфов которого посвящен динамическому программированию. Ниже приведена выдержка из данного параграфа. Пытаясь объяснить данную тему как можно проще, я постарался сложные моменты сопроводить иллюстрациями. Мне интересно ваше мнение о том, насколько понятным получился данный материал. Также буду рад советам, какие еще задачи стоит включить в данный раздел.

Во многих олимпиадных задачах по программированию решение с помощью рекурсии или полного перебора требует выполнения очень большого числа операций. Попытка решить такие задачи, например, полным перебором, приводит к превышению времени выполнения.

Однако среди переборных и некоторых других задач можно выделить класс задач, обладающих одним хорошим свойством: имея решения некоторых подзадач (например, для меньшего числа n), можно практически без перебора найти решение исходной задачи.

Такие задачи решают методом динамического программирования, а под самим динамическим программированием понимают сведение задачи к подзадачам.

Последовательности

Классической задачей на последовательности является следующая.

Один из способов решения, который может показаться логичным и эффективным, — решение с помощью рекурсии:

Используя такую функцию, мы будем решать задачу «с конца» — будем шаг за шагом уменьшать n, пока не дойдем до известных значений.

Но как можно заметить, такая, казалось бы, простая программа уже при n = 40 работает заметно долго. Это связано с тем, что одни и те же промежуточные данные вычисляются по несколько раз — число операций нарастает с той же скоростью, с какой растут числа Фибоначчи — экспоненциально.

Один из выходов из данной ситуации — сохранение уже найденных промежуточных результатов с целью их повторного использования:

Приведенное решение является корректным и эффективным. Но для данной задачи применимо и более простое решение:

Такое решение можно назвать решением «с начала» — мы первым делом заполняем известные значения, затем находим первое неизвестное значение (F₃), потом следующее и т.д., пока не дойдем до нужного.

Именно такое решение и является классическим для динамического программирования: мы сначала решили все подзадачи (нашли все F_i для i 2, соответственно.

Следующая задача одномерного динамического программирования встречается в различных вариациях.

Задача 1. Посчитать число последовательностей нулей и единиц длины n, в которых не встречаются две идущие подряд единицы.

При n 2. То есть данная задача фактически сводится к нахождению чисел Фибоначчи.

Двумерное динамическое программирование

Классической задачей двумерного динамического программирования является задача о маршрутах на прямоугольном поле.
В разных формулировках необходимо посчитать число маршрутов или найти маршрут, который является лучшим в некотором смысле.

Приведем пару формулировок таких задач:

Задача 2. Дано прямоугольное поле размером n*m клеток. Можно совершать шаги длиной в одну клетку вправо или вниз. Посчитать, сколькими способами можно попасть из левой верхней клетки в правую нижнюю.

Задача 3. Дано прямоугольное поле размером n*m клеток. Можно совершать шаги длиной в одну клетку вправо, вниз или по диагонали вправо-вниз. В каждой клетке записано некоторое натуральное число. Необходимо попасть из верхней левой клетки в правую нижнюю. Вес маршрута вычисляется как сумма чисел со всех посещенных клеток. Необходимо найти маршрут с минимальным весом.

Для всех таких задач характерным является то, что каждый отдельный маршрут не может пройти два или более раз по одной и той же клетке.

Рассмотрим более подробно задачу 2. В некоторую клетку с координатами (i,j) можно прийти только сверху или слева, то есть из клеток с координатами (i – 1, j) и (i, j – 1):

Таким образом, для клетки (i, j) число маршрутов A[i][j] будет равно
A[i – 1][j] + A[i][j – 1], то есть задача сводится к двум подзадачам. В данной реализации используется два параметра — i и j — поэтому применительно к данной задаче мы говорим о двумерном динамическом программировании.

Теперь мы можем пройти последовательно по строкам (или по столбцам) массива A, находя число маршрутов для текущей клетки по приведенной выше формуле. Предварительно в A[0][0] необходимо поместить число 1.

В задаче 3 в клетку с координатами (i, j) мы можем попасть из клеток с координатами
(i – 1, j), (i, j – 1) и (i – 1, j – 1). Допустим, что для каждой из этих трех клеток мы уже нашли маршрут минимального веса, а сами веса поместили в W[i – 1][j], W[i][j – 1],
W[i – 1][j – 1]. Чтобы найти минимальный вес для (i, j), необходимо выбрать минимальный из весов W[i – 1][j], W[i][j – 1], W[i – 1][j – 1] и прибавить к нему число, записанное в текущей клетке:

W[i][j] = min(W[i–1][j], W[i][j – 1], W[i – 1][j – 1]) + A[i][j];

Данная задача осложнена тем, что необходимо найти не только минимальный вес, но и сам маршрут. Поэтому в другой массив мы дополнительно для каждой клетки будем записывать, с какой стороны в нее надо попасть.

На следующем рисунке приведен пример исходных данных и одного из шагов алгоритма.

В каждую из уже пройденных клеток ведет ровно одна стрелка. Эта стрелка показывает, с какой стороны необходимо прийти в эту клетку, чтобы получить минимальный вес, записанный в клетке.

После прохождения всего массива необходимо будет проследить сам маршрут из последней клетки, следуя по стрелкам в обратную сторону.

Задачи на подпоследовательности

Рассмотрим задачу о возрастающей подпоследовательности.

Задача 4. Дана последовательность целых чисел. Необходимо найти ее самую длинную строго возрастающую подпоследовательность.

Начнем решать задачу с начала — будем искать ответ, начиная с первых членов данной последовательности. Для каждого номера i будем искать наибольшую возрастающую подпоследовательность, оканчивающуюся элементом в позиции i. Пусть исходная последовательность хранится в массиве A. В массиве L будем записывать длины максимальных подпоследовательностей, оканчивающихся текущим элементом. Пусть мы нашли все L[i] для 1

💡 Видео

Лекция 4. Динамическое программирование 1Скачать

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Динамическое программирование. Часть 3. Двумерная динамика. Динамика на таблицах. Код на PythonСкачать

Треугольник Паскаля программаСкачать

Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

Треугольник ПаскаляСкачать

Динамическое программирование: траектории кузнечикаСкачать

Динамическое программирование. Часть 1. Одномерная динамика. Код на PythonСкачать

Задача из Собеседования в Google на Динамическое Программирование: Количество Уникальных ПутейСкачать